Метод функций Грина в математических моделях для двухточечных краевых задач

В различных прикладных задачах, в которых рассматриваются вопросы управления и оптимизации, теории систем, теоретической и строительной механике при изучении структур из струн и стержней, теории колебаний, теории упругости и пластичности, в задачах механике, связанных с разрушениями и моделированием ударных волн, используются математические модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Подобная методология также применяется при исследовании математических моделей методами дифференциальных уравнений на графах, описывающих различные связанные системы с возможным упорядочиванием. Такие уравнения используются как в теоретическом обосновании математических моделей, так и служат основой для конструирования численных методов решения и компьютерных алгоритмов. В работе исследование таких моделей проводится методом функций Грина. В первой части работы приводятся общие сведения о методе функций Грина для многоточечных краевых задач. Описывается основное уравнение, вводятся понятия многоточечных краевых условий, граничных функционалов, вырожденных и невырожденных задач, фундаментальной матрицы решений. В основной части работы вначале даётся постановка задачи, включающая условия разрывов и деформаций. Далее приводятся основные результаты работы. В теореме 1 приведены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи. В теореме 2 установлены условия строгой положительности решения и соизмеримости для пары решений. В теореме 3 установлено существования и оценки для минимального собственного значения, свойства точек спектра, положительность собственных функций. В теореме 4 доказана весовая монотонность функции Грина. В конце работы приводятся возможные приложения к теории сигналов и теории операторов преобразования.