Описание сопряженной задачи теплообмена в половолоконных мембранах

Теплообменники с использованием непроницаемых полипропиленовых половолоконных мембран [1] имеют высокую удельную поверхность теплообмена и могут эффективно применяться в некоторых областях промышленности. Однако низкая теплопроводность и соотношение размера отверстия и толщины стенки мембран оказывает существенное влияние на описание процесса теплообмена.

Поставлена задача переноса тепла от ламинарного потока жидкости внутри трубы к наружным стенкам трубы, интенсивно охлаждаемым внешней средой для случая, когда размеры потока текущей жидкости сопоставимы с размерами трубы, а конвективный перенос тепла внутри потока сопоставим с тепловым сопротивлением стенок трубы.

В данном случае рассматривается задача описания теплопереноса в потоке и стенке трубы как сопряженная. В этом случае перенос тепла в жидкости описывается следующим дифференциальным уравнением конвективного переноса [2]:

где w _ж( r ) – скорость потока жидкости в трубе в направлении x движения жидкости. В случае

установившегося ламинарного гидродинамического режима эта величина определяется

уравнением

w

р нач

р кон

⁴ • А ж • L тр

где P нач и P кон – давления соответственно в на-

чальном и конечном сечениях; µ ж – динамическая вязкость жидкости; L тр – длина трубы.

Переменные r и x меняются в пределах области существования решения по x (0 ≤ x≤ L тр ) и по r (0 ≤ r ≤ R тр ).

Дифференциальное уравнение теплопроводности для полого цилиндра имеет вид [3] ^{6 Т} тр ( r , x^{, Т} ) _

дт

. ^{d 2} T p ( r , ^{x, т} ) + 1 ⁶ T p ( r , ^{х , т} ) + ⁶ 2 ^Т тр ( r , ^{x, т} )

’       6r²       r       6 r            д х²

6 ' (r, x Т) + ^ (r ^^(^ =, дт        ж( )      6х(1)

=    , Г ⁶ 2 ^Т ж ( r , ^{х , т} ) + 1 _ ⁶ T ( r , x^{, т} ) + б ² T ж ( r , x^{, т} )

ж 6 r2 r 6 r             6x2’

В отличие от уравнения (1) в нем отсутствует конвективная составляющая, и область существования решения по радиусу r ограничена стенками трубы ( R тр ≤ r ≤ R ст ).

Для уравнения (1) имеет место граничное условие симметрии:

⁶ T ж ( 0, x , ^т ) _ _n                    I

6 r " ⁰-              4)

Уравнение (4) показывает, что имеет место осевая симметрия теплового поля относительно оси x , направление которой совпадает с

направлением потока жидкости в трубе. Начальное условие для жидкости следующее:

« ж ( r ) •

^д T ( ^r , x ) _

T ж ( r , x ,0 ) _ T нач -

_ а_ж ж

Уравнение (5) показывает, что в начальный момент времени жидкость в трубе нагрета до температуры среды ( T _нач)- Начальные условия для трубы соответствуют граничным условиям для жидкости внутри этой трубы:

д x

^ T- ж ( ^r , ^x ), 1 ^д T- ж ( ^r , ^x ), ^{д 2} T- ж ( ^r , ^x ) ¹¹

д r ²       r     д r         д x²

-

Уравнение (10) получено из уравнения (1), и для его решения используются следующие граничные условия:

T _Т р ( r , x ,0 ) = T нач -

Из уравнения (6) следует, что стенки трубы в начальный момент времени имеют ту же температуру, что и жидкость внутри трубы-Это соответствует случаю, когда по трубе достаточно долго течет нагретая жидкость и температурное поле в жидкости и стенках трубы выравнивается-

Граничными условиями для трубы являются условия первого рода:

^{д T} ж ( ⁰, x ) _ ₀

д r                              1

Уравнение (11) - условие симметрии-

^T ж ( r ^,0 )_ ^T нач -             1

( 11)

( 12)

^T тр ( ^R ст . ^{x , T} ) ^{_ T} кон -

Уравнение (7) показывает, что в начале переходного процесса поверхность трубы мгновенно охлаждается до температуры ( T _$он), Условием сопряжения тепловых полей жидкости и стенки трубы считаем условие идеального теплового контакта, определяемое уравнениями равенства температур на границе:

Уравнение (12) - поршневое течение жидкости на входе в трубу.

Для стенок трубы уравнение (3) преобразуется к виду

^А р ( rx ) + 1 T ( rx ) + ^д 2 ^Т р ( rx ) _ ₀     (₁₃)

дг²     r    д r        O x

Граничным условием для этого уравнения является условие на внешней поверхности трубы:

Т тр ( R ст , x ) _ T^

( 14)

На внутренней стенке трубы имеет место условие сопряжения, определяемое уравнениями, полученными из (8) и (9):

T тр ( R тр , x ) _ T ж ( R тр , x ) -

T тр ( R тр , x , т ) _ T ж ( R _тр, x , т ) -

Уравнение (15) - условие сопряжения

Тепловые потоки на внутренней поверхности трубы между трубой и жидкостью определяются уравнением:

тепловых полей

, ^{д T} ж ( R тр , x )

ж

д r

■ тр •

^{д T} тр ( ^R тр >  x ) д r

-

ж

д T ж ( R тр , x, т )

д r

тр

•

^{д T} тр ( ^R тр , x , т ) -----------------------------------,

д r

где А ж - коэффициент теплопроводности жидкости; А - коэффициент теплопроводности трубы-

Для решения задачи (1)-(9) методом конечных разностей [4], который основан на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности значений функций в отдельных дискретных точках -узлах сетки-

Вначале рассмотрим стационарное температурное поле, которое является предельным случаем задачи (1)-(9) при времени переходного процесса т ^да- В этом случае производные по времени обращаются в ноль-

Для потока жидкости в трубе это соответствует следующему соотношению:

Уравнение (16) - условие сопряжения тепловых потоков на внутренней стенке трубы-

Таким образом, система уравнений (10)-(16) определяет стационарное температурное поле установившегося теплового режима сопряженной задачи теплопереноса между движущейся жидкостью и трубой, наружная стенка которой интенсивно охлаждается до конечной температуры внешней среды-

С практической точки зрения задача (10)-(16) интересна для расчета длины трубы, которая позволяет получить требуемую температуру охлаждения жидкости на выходе их аппарата- В этом случае определяем одномерную сетку по текущему радиусу ( r )- Для упрощения последующих выкладок узлы сетки определяем с равномерным шагом (A h ), значение которого определяется из условий сходимости и устойчивости явной схемы решения задачи-Дополнительным условием выбора шага сетки является положение одного из узлов сетки

точно на границе жидкости и внутренней сетки трубы, а также последнего узла сетки на внешней поверхности трубы.

Рассмотрим пример численного решения задачи (10)-(16) для случая, когда число узлов сетки по оси течения потока изменяется от 0 до Max X (0 ≥ I ≥ Max X ) с шагом (∆ x ), где Max X – варьируемый параметр числа шагов, обеспечивающий требуемый нагрев жидкости. Число шагов по текущему радиусу изменяется от 0 до Max R (0 ≥ j ≥ Max R ), где Max R – варьируемый параметр числа шагов перпендикулярно оси потока от центра (0) к внешней стенке трубы (Max R ). Положение внутренней стенки трубы определяется точкой ( jR ), для которой выполняются неравенства (3 ≥ jR >  Max R ). Минимальное число точек

Для получения расчетной схемы с учетом условия симметрии (20) подставим в него индекс ( j= 0):

(P -p нач кон

_{R т}2_р

( ti + i,0

ti - i,0 ^J

внутри потока жидкости равно трем, для корректного учета условий симметрии и сопряже-

ния рассматриваемой задачи.

Рассмотрим разностные схемы этой стационарной задачи в области потока жидкости и стенки трубы.

В данном случае сетка определяется в

пространстве решений по номерам узлов опре-

деляемым матрицей ( t i,j ), где i = 0,1,… , Max X ; j= 0,1,… ,jR . Для внутренних узлов сетки разно-

стный аналог уравнения (10) имеет вид:

w- ж ( A h • j ) •

ti + 1, j t - i, j

2 •A x

t i + 1, j - ² • t i , j ⁺ t - i, j

A x ²

= a

tu + i ^{- 2} • t i , j ⁺ t i -. j -i        1      4j ₊ i ^- t ij - 1

A h ²          A h • j    2 •A h

⁴ Д ж ^L тр

( ti + i,0 ^{- 2} ti ,0 ⁺ ti - i,0 )          f ² ti i ^{- 2} ti 0 )         ⁽²ⁱ⁾

^{- a} ж -------- 71 -------- = ^a ж • I ’ I•

A x             I A h )

На стенке трубы скорость потока жидкости равна нулю (условие «прилипания»), следовательно, в уравнении (18) при ( j=jR ) конвективный член отсутствует:

ti + i,jR ^-2 ti , jR ⁺ ti -i, jR _

Ax2"

ti, jR+i - 2ti, jR + ti, jR-i +     i     x ti, jR+i - ti, jR-i ^

Ah2         Ah X jR     2AhJ

В уравнение (22) входят значения температурного поля границы ( t i, jR ) и стенки трубы ( t i, jR+ 1 ). Эти величины должны учитывать условия сопряжения тепловых потоков (16). Для учета условия сопряжения используем разностную схему этого уравнения:

ti , jR ^- ti , jR - i _ ti , jR + 1 ^- ti , jR

^{X ж}      A h        ^ ^тр      A h          ⁽²³⁾

Выражая из уравнения (23) температуру в точке ( t i, jR+ 1 ):

_ Xж^ti,jR + XTp^ti,jR - Xж^ti,jR-i ti ,jR + i =                \P                    (24)

С учетом (2) разностная схема (17) приобрета-

ет вид:

P™ P™ Г R -A h • j J ² T t^{i+vj t -j} 4 ^ Д ж • L p ^^J^ ^A

t + i, j 2 t j ⁺ t - i, j _•

A x

ti, j + i   ² ti, j ⁺ t ’ j - i       1     ti, j + i ^- ti, j - i

—---+------—

Разностная схема (18) определяет изме-

нение температурного поля для внутренних узлов сетки потока жидкости. В то же время для точек на оси потока необходимо учесть условие симметрии (11). В этом случае в уравнении (10) слагаемое:

i ^d T ж ( r’x )_₀ ( r' d r " i9)

Следовательно с учетом (19) расчетная

схема (18) для оси потока приобретает вид:

P ^: ' P н Г R p - ( A h • j J ²

4 Д ж • L p^L

t i +ij t i -ij

2 A x

t i+U  ² t i, j ⁺ t - i, j

•------------------------------------------------------ A x

ti,j + i   ² t i , j ⁺ t i,j - i

A h ²

получаем расчетную схему для температурного поля в точке сопряжения:

t i -i, jR ^{- 2} t i , jR ⁺ t i + i, jR

A x2⁼

= ( t i’jR - t i’jR -i J ( А ж + ^ тр + 2 jR X, - 2 jR^ Tp J         (25)

2 jR A h ²A p              •

Таким образом, уравнения (18), (21), и (25) образуют систему разностных уравнений для расчета температурного поля потока жидкости внутри трубы.

Для разностной схемы температурного поля стенок трубы сетка определяется в пространстве решений по номерам узлов, определяемым матрицей ( t i,j ), где i= 0,1,… , Max X ; j=jR , jR +1,… , Max R . Для внутренних узлов сетки разностный аналог уравнения (13) имеет вид:

ti ’ j + i -² ti ’ j ⁺ ti ’ j -i + i ti ’ j + i - ti ’ j -i +

A h^         A hj 2 A h

• t:,, : -2л _; + л .                           •        ⁽²⁶⁾

• +²⁺ⁱ ’ ^j---—i-^j = 0.

A x ²

Используем уравнение (26) для слоя на внутренней поверхности трубы ( j=jR ):

ti , jR + 1 -2 ti , jR ⁺ t i , jR -1 +     1 t i , jR + 1 ^- t i , jR -1 +

A h ²          A hjR    2 A h

^{0 2} t i ,Max R - 1 ⁺ ti ,Max R - 2

A h ²

+ t i

^^^^^B

⁰ ti ,Max R - 2 __ +

2A h ² -2Max R -A h ²

i - 1,Max R - 1 ⁺ t i + 1,Max R - 1   ² ti ,Max R - 1

A x ²

_ 0.

t i' + 1, jR ^{- 2} t i\ jR ⁺ t i' -1, jR

aX^        _ 0"

Таким образом, уравнения (26), (28), и (30) образуют систему разностных уравнений

В уравнении (27) присутствует температура точки, находящейся в потоке жидкости ( t , jR- 1 ). Для ее аппроксимации используем уравнение (23), из которого выразим ( t , jR- 1 ):

t i -1, jR ^{- 2} ti; jR ⁺ t i + 1, jR ⁽ t i ', jR ^- t i ', jR + 1 ⁾⁽ ^ ж ^- ^ тр )

--

Ax2              Ah 2 А ж

для расчета температурного поля стенки трубы.

В конечных разностях сформулирована

задача сопряженного теплопереноса потока в трубчатой мембране.