Price performance and its modelling

ку цены влияют неопределенные или случайные факторы, то естественно возникает вопрос о достоверности полученных результатов.

Результаты ценового анализа необходимы для решения целого ряда конкретных задач. В частности, оценка ценовой динамики существенно влияет на выбор и точность моделей формирования портфелей ценных бумаг [1, 2]. Исходные данные для ценового анализа обычно представляют собой временной ряд x i , i = 1,2,..., n , где каждое x i определяет цену во время t i = i • A _t где A _t - заданный интервал времени, например, день, месяц, год и т.п.

Стандартный подход к анализу данного временного ряда (см., например [3, 4]) состоит в построении некоторого ценового тренда y ( t ) на основе метода наименьших квадратов. В этом случае, при заданном виде функции y ( t ) получаем, что:

x = У ⁽ t i ) + ^Д где в трактуется как ошибка наблюдения. Конкретный вид функции y ( t ) определяется из условия минимума функции ошибки:

n

E = Z Д.

i = 1

В простейшем случае линейного тренда: y ( t ) = at + b , параметры а и b подлежат определению из условия минимума функции ошибки E ( а , b ). При этом ошибки Д должны удовлетворять уравнениям:

nn £ Д = 0 . Z « А = 0 ■ i = 1                       i = 1

Из последнего условия следует, что ошибки не могут рассматриваться как реализации некоторой случайной величины, так как при исследовании случайных величин порядок появления отдельных наблюдений не важен. В данном подходе это не так. Подход исходит из фактических значений цены и не опирается на какую-либо модель ее формирования, а полученный ценовой тренд определяет прямую, наилучшим образом (в смысле минимума функции ошибок) приближающую реальную динамику цены.

В данной работе будут рассмотрены модели формирования цены, опирающиеся не только на временной ряд исходных данных, но и на некоторые гипотезы относительно процесса формирования цены. Будем рассматривать две основные модели формирования цены.

Первая модель предполагает возможность формирования цены на основе объективного экономического анализа. В этом случае цена будет определяться по формуле

x = x(ti) + ^i,    i = 1,2,...,n, где функция x(ti) определяет объективное значение цены в момент времени ti, а qi - ошибка, вызванная неполнотой и неточностью имеющейся информации.

Будем считать, что имеет место линейная динамика цены. Тогда получаем:

xi = ati + b + qi,   i = 1,2,...,n .

По сути, в данной модели предполагается, что игроки рынка располагают информацией, позволяющей им достаточно точно определять параметры тренда, хотя при этом и возникают ошибки, определяемые величиной q i . В данном случае можно ввести в рассмотрение случайную величину q и считать q i отдельными независимыми реализациями этой случайной величины. Тогда естественно считать, что математическое ожидание M ( q ) = 0, а ее дисперсия D ( q ) = СТ .

Для определения параметров данной модели, основанной на объективном экономическом анализе, рассмотрим разности:

Axi = x-xi-- = aAt+qi-q- = Ax-qi-q^ i=1,2,.■■,n.

Приращения А х_t можно рассматривать как реализацию некоторой случайной величины А х с математическим ожиданием M ( А х ) = a A t = A _х и дисперсией D ( А х ) = 2о \. . Для определения параметра b следует рассмотреть:

M ( X ( t ) - at ) = b.

Статистические оценки приведенных выше параметров можно получить по формулам:

1 n

А х = M (Ах) ~ M в (Ах) = ---- j (х, - х,_1) = (xn - Х1И n - I), n-1и

2 а . ² = D ( А х ) « D_e ( А х ) = M . (( А х )²) - M_e ( А х )² =

=----(j ^{( х} , - А л) - ^{(( х} п - ^х 1 ^)/( n - 1)) , n - 1

b ” M в ( х ( t ) - at ) « ¹ j ( х , - at , ) = ¹ j ( х , - А х , ). n и n и

Рассмотрим свойства данной модели формирования цены. Для этого дополнительно предположим, что случайная величина ^ распределена по нормальному закону, и для оценки ее колебаний можно воспользоваться правилом «трех сигм» [5]. Получаем следующую оценку, характеризующую отклонение фактической цены от ее объективного значения:

|х , - х ( t )| <  3 о _; , ," = 1,2,..., n .

Заметим, что в данной модели точность оценки объективного значения цены не зависит от момента времени.

Второй подход к определению динамики цены предполагает, что ее объективное теоретическое определение невозможно в силу недостоверности имеющейся информации, и текущее значение цены определяется ее предыдущей динамикой и случайными факторами. В этом случае имеем:

х= хм + А х + п„ где Ах определяет динамику цены, а п, — случайная ошибка.

В данной модели рыночные игроки не могут определить объективное значение цены, но могут оценить динамику ее изменения через величину приращения А _х . Здесь объективное значение цены можно представить в виде:

х ( t , ) = х (0) + А _х, , i = 1,2,..., n .

Однако, игроки не имеют ясного представления о величине х (0) значения цены в момент, предшествующий началу рассматриваемого ряда наблюдений.

Если ввести в рассмотрение случайную величину п и считать п , отдельными реализациями этой случайной величины, то тогда естественно считать, что математическое ожидание M ( п ) = 0, а ее дисперсия D (п ) = 0 2 .

Как и при анализе предыдущей модели рассмотрим приращения:

Ах, = х- х- = А х+п,

Которые можно рассматривать как реализацию некоторой случайной величины А х с математическим ожиданием M ( А х ) = А _х и дисперсией D ( А х ) = о ^.

Рассмотрим свойства данной модели, основанной на анализе предыдущей динамики формирования цены. Во-первых, отметим, что:

M ( х , .) = х ( t ) = х (0) + А _х г' ,

D ( ^х , ) = ^D ( ^х , - 1 ^{+ А} х ⁺ п , ) = ^D ( ^х , - 2 ^{+ 2 А} х ⁺ п , ⁺ п , - 1 ) =

= D ^{( х (0)} + i ^А х + j п , ) = О ².

к = 1

Для получения оценки, характеризующей отклонение фактической цены от ее объективного значения, дополнительно предположим, что случайная величина η распределена по нормальному закону, и для оценки ее колебаний можно воспользоваться правилом «трех сигм». Имеем:

I x_i - x ( t_i ) ≤ 3V i σ_η , i = 1,2,..., n .

Заметим, что в данной модели точность оценки объективного значения цены уже зависит от момента времени и весьма значительно.

Для выявления различия между предложенными двумя моделями определения цены предположим, что случайные ошибки в обеих моделях имеют одинаковые свойства и σ_ς = σ_η = σ .

Можно отметить, что при i =10 отклонение фактической цены от ее объективного значения во второй модели будет более чем в 3 раза большим, чем в первой модели. Это означает, что в данной модели полученная динамика цены на основе анализа математического ожидания приращения может носить иллюзорный характер и объясняться большой дисперсией порождаемой моделью формирования цены. Следовательно, если цена определяется на основе анализа предыдущей динамики, то ее колебания (волатильность) могут быть в разы большими, чем в случае определения цены на основе объективного экономического анализа. Кроме того, большие отклонения цены от среднего значения могут быть приняты за рост или падение цены. Также возможен обвал цены (или скачкообразный рост) при осознании того, что цена слишком сильно отклонилась от разумного значения.

Возникает вопрос об определении модели формирования цены на основе анализа ее динамики. Заметим, что анализ приращений цены позволяет однозначно определить параметры ∆ _x = a ∆ _t , определяющие динамику цены. Однако, без знания типа формирования цены невозможно на основе приведенных выше формул определить дисперсию случайных ошибок σ 2 . Для определения σ 2 следует рассматривать приращения цены не за один, а за два периода. Для модели, основанной на объективном экономическом анализе, имеем:

∆ ₂ x_i = x_i - x_{i - 2} = 2 ∆ _x + ς _i - ς _{i - 2} .

Для модели, основанной на анализе предыдущей динамики цены, получаем:

∆ ₂ x_i = x_i - x_{i - 2} = 2 ∆ _x + η _i + η _{i - 1} .

Таким образом, независимо от модели формирования цены:

M ( ∆ ₂ x ) = 2 ∆ _x , D ( ∆ ₂ x ) = 2 σ ².

Следовательно, если рассматривать вторые разности, то, независимо от способа формирования цены, можно получить оценку для дисперсии случайных факторов. Сравнивая выборочные дисперсии приращений за один и два периода, можно установить тип формирования цены. Если цена формировалась на основе объективного экономического анализа, то в этом случае:

D в ( ∆ x ) ≈ D в ( ∆ 2 x ) ≈ 2 σ ².                                    (1)

Если же цена формировалась на основе анализа предыдущей динамики, то:

D в ( ∆ x ) ≈ σ ², D в ( ∆ 2 x ) ≈ 2 σ ², 2 D в ( ∆ x ) ≈ D в ( ∆ 2 x ).                    (2)

Таким образом, получен простой критерий определения модели образования цены.

Рассмотрим теперь практические аспекты, вытекающие из наличия двух моделей формирования цены. Пусть имеется временной ряд цен. Для его исследования найдем оценку M_в ( ∆ x ) ≈ a ∆ _t =∆ _x , из которой легко определить динамику цены независимо от модели ее формирования.

Оценивая Dв(∆2x)≈2σ2 , получаем статистическую оценку для величины σ2 . Далее вычисляем Dв (∆x) и проверяем выполнение равенств (1) и (2). Если выполнено равенство (1), то есть основания считать, что при формировании цены использовалась модель, основанная на объективном экономическом анализе. Следовательно, в данном случае можно оценить точность текущего значения цены и предсказывать будущую динамику цены. Если равенство (1) не выполнено, а равенство (2) выполняется, то естественно считать, что при формировании цены была использована модель ее определения, основанная на анализе предыдущей динамики. Значит, в этом случае, предсказывать будущую динамику цены затруднительно из-за роста возможных ошибок. Более того, при осознании того, что ошибки в определении цены велики, возможны резкие коррекции ее значения, т.е. возможны резкие колебания цены без видимых внешних причин.

Для понимания разницы между моделями введем в рассмотрение коэффициент: q = 2 - D_в ( ∆ ₂ x )/ D_в ( ∆ x ) . Можно считать, что если его значение близко к 1, то на данном периоде времени процесс ценообразования проходил на основе объективных данных. Если же его значение близко к 0, то при определении цены не было объективной информации, позволяющей оценить ее динамику, и использовалась модель, основанная на анализе предыдущей динамики. Промежуточные значения коэффициента указывают на использование некоторой смешанной модели, использующей как достоверную, так и сомнительную информацию. Из сказанного следует, что коэффициент q можно рассматривать как некоторую оценку, дающую представление о вероятности правильности полученных выводов относительно динамики цены.

Для проверки предложенных выше моделей ценообразования был проведен анализ динамики цены евро в долларах за 2015 год. Исследовалась динамика цены на периодах в 10-11 дней и определялось – какая модель формирования цены использовалась в течение рассматриваемого периода времени. Исследование показало (см. табл. 1), что можно выделить ряд периодов, на которых выполнено соотношение (1), что указывает на возможное использование при формировании цены евро в долларах модели, основанной на объективном экономическом анализе.

Таблица 1

Номер	Период	D в ( ∆ X )	D в ( ∆ 2 X )	D в ( ∆ 2 X )/ D в ( ∆ X )
1	12-22.01.2015	7,61982E-05	7,23515E-05	0,95
2	30.01-08.02.2015	7,91228E-05	8,49086E-05	1,07
3	12-22.02.2015	2,51314E-05	2,72256E-05	1,08
4	10-20.03.2015	0,000222378	0,000246497	1,11
5	10-20.06.2015	2,31583E-05	2,37309E-05	1,02
6	21.06-01.07.2015	0,000122723	0,000124543	1,01
7	18-28.07.2015	2,2066E-05	2,8484E-05	1,29
8	08-18.09.2015	4,98094E-05	4,7065E-05	0,94
9	29.09-08.10.2015	1,92362E-05	1,98762E-05	1,03
10	24.11-03.12.2015	0,000109575	0,000100757	0,92

Также было установлено (см. табл. 2), что можно выделить ряд периодов, на которых выполнено соотношение (2), что указывает на возможное использование при формировании цены евро в долларах модели, основанной на анализе предыдущей динамики. В данном случае у игроков не было достоверной информации.

Таблица 2

Номер	Период	D в ( ∆ X )	D в ( ∆ 2 X )	D в ( ∆ 2 X )/ D в ( ∆ X )
1	03-13.01.2015	1,47665E-05	3,38023E-05	2,29
2	19-29.01.2015	0,000116673	0,000245129	2,10
3	01-11.03.2015	5,32868E-05	0,000110571	2,08
4	18-28.04.2015	2,4652E-05	5,02039E-05	2,04
5	01-11.05.2015	4,23368E-05	8,29343E-05	1,96
6	18-28.05.2015	5,13826E-05	0,000105103	2,05
7	06-16.08.2015	1,6807E-05	3,38287E-05	2,01
8	01-10.09.2015	3,62657E-05	7,26678E-05	2,00
9	20-30.09.2015	2,87236E-05	6,23721E-05	2,17
10	14-24.10.2015	6,88743E-05	0,000153373	2,23

Если рассматривать другие периоды времени, то можно говорить о возможном использовании смешанной модели формирования цены евро в долларах.

В работе была также проанализирована динамка цены акций Сбербанка. Исследование было проведено на данных, полученных в течение 2015 года. Однако, в связи с высокой волатильностью и рез- кими, возможно неслучайными, колебаниями цены, объективный анализ на большинстве интервалов оказался невозможен. Однако и в данном случае было выделено несколько периодов (см. табл. 3), на которых возможно имеет место модель, основанная на объективном экономическом анализе. Также было установлено (см. табл. 4), что можно выделить ряд периодов, на которых выполнено соотношение (2), что указывает на возможное использование при формировании цены акций Сбербанка модели, основанной на анализе предыдущей динамики.

Таблица 3

Номер	Период	D в ( ∆ X )	D в ( ∆ 2 X )	D в ( ∆ 2 X )/ D в ( ∆ X )
1	07-17.04.2015	4,455876364	4,473689091	1,00
2	20-30.06.2015	1,1347	1,142765455	1,01

Таблица 4

Номер	Период	D в ( ∆ X )	D в ( ∆ 2 X )	D в ( ∆ 2 X )/ D в ( ∆ X )
1	18-28.01.2015	2,711609091	5,715587273	2,11
2	03-13.02.2015	1,629196364	3,309325455	2,03
3	29.03-08.04.2015	2,801867273	5,805265455	2,07
4	04-14.07.2015	2,154585455	4,464649091	2,07
5	20-30.11.2015	9,679185455	19,38312545	2,00
6	18-28.12.2015	5,223525455	10,86586545	2,08

Таким образом, выполненный анализ показал, что описанные в моделях формирования цены соотношения дисперсий имеют место на практике. Это указывает на то, что данные модели согласуются с практическими данными и адекватно моделируют ситуацию на рынках. Следовательно, цена на один и тот же товар в различные периоды времени может формироваться по-разному. Модель формирования цены определяет степень доверия к оценке ее динамики. Однако, вопрос о том, какие количественные выводы можно сделать о динамике цены, зная модель ее формирования, остался не рассмотренным в полном объеме в рамках данной работы. Ответ на этот вопрос может быть получен только в результате целенаправленного анализа ценовой динамки.