The hydraulic characteristics of the reactor - clarifier including ripple contact mass particles

Определение гидравлического сопротивления

Рассмотрим гидравлическую схему реактора-осветлителя (рис. 1). Введем обозначения: L - полная высота столба жидкости в реакторе, L, - высота взвешенного слоя загрузочной мас '

сы, R 1 , R ₂ - внутренний и внешний радиусы канала.

Свободное течение на участке [ L 1 , L ] длиной L ₂ = L - L 1 описывается в гидравлическом приближении. Следствие уравнения неразрывности на этом участке имеет вид р v 1 S = р v ₂ S , поэтому скорость постоянна, v = const , и скоростной напор h_{v 2} равен нулю. Из уравнения Бернулли определяется статический напор h z ₂ = A p z ₂ / pg = L ₂.

При скорости v= U = 0,0028 м/c течение на участке [ L 1 , L ], очевидно, носит ламинарный характер. Площадь поперечного сечения канала равна S ₀ = π ( R ₂ ² - R ₁ ² ) , поэтому эффективный 0           2 1

диаметр канала определяется по формуле

D e = 4 ⁴ S о / ^п = ² 4R 2 ^- R 12 ,

ρvD а число Рейнольдса можно оценить значением Re2 =----, где ц - коэффициент вязкости. Опре-

µ делим потерю напора ht2 за счет трения на участке [L 1, L]. Она выражается через коэффициент сопротивления (вязкого трения) X с использованием формулы Вейсбаха-Дарси h2 = X ^2v ,

D e 2 g где X = 75 / Re₂, отсюда h 2 = 75 L 2 ^ v .

De ^{2 P}

Таким образом, на участке [L 1, L] потеря напора имеет вид h 2 = ht 2 + hz2.                                                                              (1)

Определим величину потери напора h s 1 на участке [0, L i ], в столбе взвешенного псевдоожиженного слоя, следуя методике, изложенной в [2]. Воспользуемся известными формулами Д. Минца для коэффициента сопротивления ψ и числа Рейнольдса:

A p,m_s ³ d

V = V-TT1 5—Г", L1pv 6(1 - m5 )а

p vd

Re 1 =------------ ,

6^(1 - ms )a где ms – пористость загрузки; d – диаметр зерен; α – коэффициент формы частиц загрузки. Величину коэффициента сопротивления можно также оценить на основании теории подобия:

A

V =--- , где параметр А имеет представление: A = 1,5а ² .

Re1

Подставляя в формулу (2) зависимость A p = pg h s 1 , приходим к соотношению

,      12(1 - m_s ^cL^v ².

h s i = ^V        з S 1⁽. )'

m_s ³ d     2 g

Отсюда, в частности, можно определить гидравлический уклон данного участка канала

h i1 = ^1, что вполне согласуется с численными оценками этой характеристики по формуле L1

^А Pzv

Козени-Кармана [2]. К этому слагаемому добавляются потери напора hz 1 = —z1 = L1 на пре-Pg одоление силы тяжести.

В результате проведенного анализа получаем, что суммарные потери напора по длине реактора-осветлителя вычисляются по формуле h = ht 2 + hz 2 + hs 1 + hz 1 + A h, где Ah - потери напора на границе раздела в канале при z = Lь

Для вычисления расхода энергии за единицу времени в виде требуемой мощности насосов по обеспечению функционирования системы используем соотношение h = A p / (p g ). Умножим числитель и знаменатель дроби на элемент объема A V = v A tS , соответствующий приращению времени Δ t :

h _ Ap A V _ FvA tS = pg A V ~ SpgA V

- A V_„

Учитывая, что pg   - Q - это массовый расход жидкости через сечение канала, a Fv = P - мощность, получаем требуемое выражение

P = Qh .

Влияние нестационарного движения частиц взвешенного слоя на величину потери напора

В работе [5] предложен подход к моделированию нестационарных характеристик движения частиц в псевдоожиженном слое контактной массы. Движение зерен в вертикальном канале описывается обыкновенным дифференциальным уравнением m— = - mg + pVg - 6npR(u - U), dt где U – скорость несущего потока очищаемой воды; m – масса частицы; R – радиус частицы; V = (4 / 3)nR3 - ее объем; pv плотность воды; Fc = 6пцR(u - U) сила сопротивления вязкой жидкости по закону Стокса; (u – U) – относительная скорость.

На участке движения вверх начальные условия имеют вид

u ( t =0) = u о , x(t =0) = 0.

Для последующего участка движения в противоположном направлении для функции u(t 1) ставится начальное условие u (t1 =0)=- u (tо), t1 = t- t0.

Интегрирование этих уравнений позволяет получить решение в виде

" ⁽ t ⁾ " ⁽ u " "p ⁾ e ^-' ^{+ p} ,                                                            ⁽⁵⁾

x(t) = x0 + tp + (и0 -p)(1 - e"qt) / q, где p = U - (mg - PvVg)/(6пцR); q = 6пцR / m.

На рис. 2 приведен фазовый портрет автоколебательного процесса для модуля скорости частицы.

Во время движения на частицу за счет эффектов вязкости действует сила / Т = -6пц R ( u - U ). Модуль мощности взаимодействия вязкого потока с частицей при обтекании оценивается выражением

P ( t ) = | f _Т ( u - U )| = 6 пц R ( u - U ) 2 .

За один период автоколебаний силами вязкого взаимодействия будет совершена работа

A Т = A Т1 ⁺ A Т2 .                                                                        (6)

Рис. 2. Фазовый портрет автоколебаний

Здесь

T 1              T 1

A _{т 1} = J P ( t ) dt = J 6 пц Я ( u - U )² dt

– работа на участке движения вверх, а

T 2              T 2

A _т 2 = J p ( 1 1 ) dt 1 = J б пц й ( u + U )² dt 1

– работа, совершенная при движении вниз.

Раскрывая подынтегральные выражения, получим

2           T1

A T1 = 6ЛЦЙ (U 2 T1 - 2U J udt +J u 2 dt),

T2

Aτ2=6πµR(U2T2+2U0∫udt2+0∫u2dt2).(8)

Принимая во внимание представление для скорости частицы (5), приходим к вспомогательным формулам

^T ∫ ¹ udt = ^T ∫ ¹( u 0 - p ) e ^{- qt} dt + pT 1 = ( u 0 - p )(1 - e ^{- qT 1})/ q ,

T ⁰ T ⁰

∫ ¹ u ² dt = ∫ ¹(( u 0 - p ) e ^{- qt} + p ) ² dt = ( u 0 - p ) ² (1 - e ^{- 2 qT} 1 )/(2 q )+ 00

+ 2( u 0 - p ) p (1 - e ^{- qT 1} )/ q + p ² T 1 .

Аналогичные выражения для

TT udt и u2dt справедливы

и на втором участке движения.

Подстановка найденных соотношений в (7, 8) позволяет согласно (6) вычислить A_т.

Перейдем к оценке величины Δ E – суммарной потери энергии за цикл для всех частиц контактной массы. Количество частиц во взвешенном слое можно приближенно определить по формуле, учитывающей возможное их размещение в объеме, зависящее от поперечного сечения частицы:

0.8SL0.53

N,h =----з =------ ch    2nR3V где V - объем взвешенного слоя, а Vch - объем частицы загрузки. Таким образом, AE = NcAт. Осредненная по периоду колебаний расходуемая мощность находится по формуле

T1

P sr

N_C h ( J P (t ) dt + J P (t j dt , )

A E

.

T , + T 2

T , + T 2

Учитывая соотношение (4), связывающее потерю напора с массовым расходом жидкости, получаем зависимость hkoi = Psr / Q,                                                                         (9)

которая соответствует выражению для приращения гидравлического уклона ikol = Psr / (L1 QX где L 1 - высота взвешенного столба контактной массы.

Гидродинамический гистерезис в псевдоожиженном слое

Предложенная и рассмотренная выше физико-математическая модель установки способствует уточнению и дополнительному описанию гистерезисных характеристик поведения высоты столба взвешенного слоя при различных режимах работы конструкции.

При увеличении скорости подачи очищаемой жидкости ожижение столба контактной массы происходит не сразу, а лишь когда скорость превысит некоторый порог, равный U_ps (рис. 3). Дальнейшее возрастание скорости приводит к заметному росту высоты слоя L 1 , в свою очередь потеря напора стабилизируется на определенном значении. Этот процесс длится до достижения верхней критической скорости U kr , характеризующейся массовым уносом частиц загрузки потоком. Если теперь начать постепенно уменьшать скорость подачи воды, то высота взвешенного слоя уменьшается уже по иной зависимости, образуя при этом гистерезисную петлю.

В рамках предлагаемой модели ветвление гидродинамического решения объясняется следующим образом. При одной и той же скорости подачи воды возможны два режима автоколебаний. Первый - с более высокой частотой колебаний и_ь соответствующей меньшей высоте взвешенного слоя, и второй режим - с меньшей частотой колебаний и₂, реализующийся при увеличенной высоте слоя L 1 . В нелинейной теории колебаний этот эффект известен под названием «захват» частоты [6]. Расчеты по формулам (7-9) показывают, что на поддержание автоколебаний (с учетом поперечных пульсаций) требуется не более 0,5 % всех потерь напора, обеспечивающего фильтрацию через слой загрузочной контактной массы.

Если в процессе дальнейшего уменьшения скорости подачи очищаемой воды происходит фильтрация через слой при скорости меньшей U ps , то высота слоя после его первоначального псевдоожижения остается несколько выше, чем у полностью неподвижного слоя. Отмеченное

Рис. 3. Высота взвешенного слоя. Петля гистерезиса увеличение высоты объясняется действием сил сцепления между неподвижными зернами. Данное обстоятельство приводит к понижению (подтвержденному и в эксперименте) примерно на ∆p ≈ 7 % гидравлического сопротивления при указанном режиме работы установки.

Заключение

С использованием предложенной ранее математической модели автоколебаний зерен загрузки в системе для очистки воды проведены уточненные исследования величины гидравлического сопротивления на различных компонентах установки. В результате интегрирования зависимостей для фазовых переменных получены оценки дополнительных потерь для поддержки нестационарных пульсаций. Показано, что возникновение петли гидродинамического гистерезиса может быть связано с захватом частоты автоколебаний при различных режимах фильтрования с применением технологии псевдоожиженного слоя.