О необходимых и достаточных условиях просто приводимости сплетения конечных групп

Конечную группу назовем вещественной, если все значения её комплексных неприводимых характеров ле- жат в поле вещественных чисел. Отметим, что сформулированное выше условие вещественности равносиль- но тому, что каждый элемент группы сопряжен со своим обратным. Конечная группа называется просто приводимой, или SR-группой, если она вещественна и все коэффициенты разложения тензорного произведения любых двух её неприводимых характеров равны нулю или единице. Понятие SR-группы возникло в работе Р. Винера в связи с решением задач на собственные значения в кван- товой теории. В настоящее время имеется достаточно литературы по теории SR-групп и их приложениям в физике. Простейшие примеры SR-групп дают элементарные абелевы 2-группы, диэдральные группы и обоб- щенные группы кватернионов. С точки зрения теории групп прежде всего представляют интерес вопросы, связанные со строением про- сто приводимых групп. Например, А. И. Кострикин отмечает следующий вопрос: как выразить принадлеж- ность конечной группы к классу SR-групп в терминах структурных свойств самой группы. Также продолжи- тельное время не было известно, является ли просто приводимая группа разрешимой (вопрос С. П. Струнко- ва). Положительный ответ на последний вопрос был получен в работах Л. С. Казарина, В. В. Янишевского и Е. И. Чанкова. Вопросы, касающиеся переносимости свойств группы на подгруппы, фактор-группы, а также сохранения их при переходе к прямым (декартовым) и полупрямым произведениям или сплетениям, всегда вы- зывают интерес. Доказано, что необходимым условием просто приводимости сплетения конечной группы H с конечной группой K является вещественность H, а группа K должна быть элементарной абелевой 2-группой. Также указаны достаточные условия просто приводимости сплетения просто приводимой группы с циклической группой порядка 2.