Использование законов сохранения для решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне

Рассмотрен процесс распространения пластических деформаций в полубесконечном упруго-пластическом стержне, вызванных приложенной к концу стержня динамической нагрузкой, не убывающей во времени. Урав- нения записаны в лагранжевой системе координат. Предполагается, что в процессе деформации не происхо- дит бокового выпучивания стержня и что влияние поперечных деформаций стержня на процесс распростра- нения продольных волн пренебрежимо мало. В начальный момент стержень находится в деформированном состоянии и состоянии покоя. Рассмотрены малые деформации стержня. Плотность стержня в процессе деформирования не изменяется. Единственной отличной от нуля составляющей тензора напряжений будет компонента вдоль оси ox, отличными от нуля составляющими тензора деформаций будут компоненты вдоль осей Ox, Oy. В результате построена система двух квазилинейных однородных уравнений первого порядка. Уравнения являются гиперболическими. Для них построены характеристики и соотношения на них. Далее уравнения записаны в терминах инвариантов Римана. Для построенных уравнений найдены законы сохранения в случае, когда сохраняющийся ток зависит только от искомых функций. В результате получена система линейных уравнений с коэффициентами, зависящими только от искомых функций. Построение законов сохра- нения сведено к решению краевой задачи для известных уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Эта задача решена с помощью функций Римана. Законы сохранения позволили найти координаты точек пересечения характе- ристик, а значит, и решить поставленную задачу. В заключение рассмотрен случай, когда одна из характери- стик пересекает линию, на которой заданы начальные условия. В этом случае, как известно, задача Коши решена быть не может. Это приводит к процедуре, которая с помощью законов сохранения позволяет выяс- нить вопрос о разрешимости задачи Коши. Она сводится к решению несложного интегрального уравнения методом последовательных приближений.