Контрпример к гипотезе Андреотти - Грауэрта

В 1962 г. Андреrотти и Грауэрт показали, что любое q-полное комплексное пространство X когомологически q-полно, т. е. для любого когерентного аналитического пучка F на X группа когомологии Hp(X,F) исчезает при p≥q. С тех пор вопрос о том, верно ли обратное утверждение, является предметом обширных исследований, в ходе которых появились и другие специальные предположения. До сих пор неизвестно, являются ли эти два утверждения эквивалентны. Используя тестовые классы когомологий было показано, что если X - многообразие Стейна, а D⊂X - открытое множество с C2 границей, причем Hp(D,OD)=0 для всех p≥q, то D является q-полным. Цель настоящей статьи - дать контрпример к гипотезе Андреотти и Грауэрта 1962 г., показывающий, что когомологически q-полное пространство не обязательно является q-полным. Точнее мы показали, что для любого n≥3 существует открытое множество Ω⊂Cn такое, что для всех F∈coh(Ω), группы когомологий Hp(Ω,F) исчезают для всех p≥n-1, но Ω не является (n-1)-полным.