Одно замечание о периодических кольцах

В терминах нильпотентных элементов получена новая нетривиальная характеризация периодических колец. (Так называют кольца R, в которых для любого элемента x∈R существуют два различных целых числа m и n, строго большие чем 1, такие, что xm=xn.) Этот результат содержит в себе результат Цуй - Данчева на эту тему, опубликованный в J. Algebra & Appl., 2020, и результат Абызова - Тапкина, опубликованный в J. Algebra & Appl., 2022. Точнее говоря, установлен такой неожиданный факт: произвольное кольцо R будет периодическим в том и только в том случае, когда для любого элемента x из R, существуют целые числа m>1 и n>1, m≠n, такие, что разность xm-xn - нильпотентный элемент.