О кручении параллелепипеда вокруг трех осей

Теория предельного состояния имеет дело со статически определимым состоянием твердых тел. В этом случае система замкнута за счет предельных условий, и такие свойства материи, как вязкость, упругость и т. п., на предельное состояние влиять не могут. Другими словами, при достижении предельного состояния характер связи между напряжениями и деформациями не оказывает влияния на предельное состояние. Исследование таких систем последовательно проводил Д. Д. Ивлева и его соавторы. К уравнениям равновесия они присоеди- няли два или уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений. Это приводило к замкнутости сис- темы уравнений равновесия. В теории пластичности хорошо изучены уравнения, которые замыкаются одним пределом текучести. К наиболее известным системам, описывающим предельное состояние деформируемых тел, относятся хорошо исследованные уравнения, описывающие кручение пластических тел, двумерные задачи стационарной теории пластичности. Рассмотрены некоторые другие системы уравнений, которые замыкаются только одним уравнениям текучести, что соответствует классической теории пластичности. Предпола- гается, что компоненты вектора скоростей зависят только от двух пространственных координат. При этом для компонент вектора скорости деформаций выполняются тождественно условия совместности деформаций. Построенные системы могут быть использованы для описания кручения параллелепипеда вокруг трех ортогональных осей. Для построенной системы уравнений найдены точечные группы симметрий, законы сохранения. Показано, что система допускает восьмимерную алгебру Ли. На основе группы симметрий построены некоторые классы инвариантных решений ранга 1. Они зависят от произвольных функций одной переменной. Показано, что эти решения можно использовать для описания пластического кручения парал- лелепипеда вокруг трех ортогональных осей. Показано, что система допускает бесконечную серию законов сохранения. Описано построение упругого решения поставленной задачи. Показано, что оно сводится к нахо- ждению трех гармонических функций.