Адаптация диффузионной математической модели для описания процесса микрофильтрации технологических жидкостей пищевого производства

В основе диффузионной модели лежит допущение, что структура потока описывается уравнением, аналогичным уравнению молекулярной диффузии, но в отличие от коэффициента молекулярной диффузии здесь используется коэффициент продольного перемешивания или турбулентной диффузии. Можно сказать, что основой диффузионной модели является модель идеального вытеснения, осложненная обратным перемешиванием. Параметром модели является коэффициент продольного перемешивания.

Изучение гидродинамики мембранных процессов ввиду их высочайшей сложности и специфики позволяет на сегодняшний день создать теоретические описания в общем виде и только для одной фазы или компонента. В этом случае приходится прибегать к использованию приближенных описаний внутренней структуры потоков, характеризующейся степенью перемешивания, определяющей поле концентраций и температуры обрабатываемой технологической жидкости. Поскольку в каналах мембранных аппаратов происходит, главным образом, только продольное и радиальное перемешивание, то наиболее удобно использовать для теоретического описания именно диффузионную математическую модель. Для ее адаптации к мембранному процессу разделения требуется учет проницаемости одной из стенок рассматриваемого канала прямоугольного сечения. Изучение структуры потоков в конечном итоге позволит определить поведение поля концентраций растворенного вещества на поверхности мембраны и оценить эффективность применяемых мероприятий, направленных на снижение концентрационной поляризации [1–8].

Цель работы – создание такой математической модели движения вязкой несжимаемой жидкости в мембранном канале прямоугольного сечения, которая бы позволила, с одной стороны, определить гидродинамическую составляющую для характеристики эффективности применяемых способов снижения концентрационной поляризации, а с другой – параметр, учитывающий удельную проницаемость мембраны.

Теоретический анализ

Выделим некоторый элемент мембранного канала (рисунок 1), длина которого l , высота h , по которому под давлением Р движется поток разделяемой технологической жидкости с заданным расходом G 0 на входе и Gк – на выходе. Поток пермеата, прошедшего через мембрану, составляет величину ∆G .

Рисунок 1. Графическая интерпретация физической модели

Figure 1. Graphic interpretation of the physical model

Основные допущения при создании физической модели.

• 1.    При стационарном режиме массопереноса концентрация вещества на входе в пору мембраны всегда равна концентрации на выходе.

• 2.    Поток пермеата ∆G вдоль поверхности рассматриваемой мембраны длиной l имеет постоянную величину.

• 3.    Отсутствие нелинейных эффектов любой природы.

• 4.    Расход исходной технологической жидкости G 0 всегда больше расхода получаемого пермеата, ∆G , т. е. G 0 >> ∆G .

• 5.    Рассматривается абсолютно плоская мембрана.

• 6.    Исходная технологическая жидкость однородна по составу, газовая фаза отсутствует.

Запишем уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости для элементарного объема разделяемой жидкости, движущейся вдоль поверхности мембраны в декартовой системе координат 0 ( x, y ) со скоростью v [9 – 11]:

дс jx = v x c ^- D— ;

д x

дс

Jy = v y c - D^ , д у

где D – коэффициент диффузии, м²/с; с – концентрация раствора в рассматриваемом объеме, масс. %.

В общем случае выражения (1) и (2) можно привести к следующей форме:

дс     дс    д2 с vx — + vy — = D—т .

д x     д у     д у

Формулировка граничных условий запишется в виде:

с (0; y ) = с 0 = const;

y = 0;

v с ( x ,0 ) - D — = kc ( x ,0 ) ;

у             ду y = h; vу = 0;

,    _х      дc(x , h)

vc ( x , h ) - D ^{v }} = 0; y ^{v   }}       dy

d N ( X , Y )     d N ( X , Y )_ 1 d ² N ( X , Y )

d X

где k – проницаемость мембраны по длине канала, м³/(м²·с).

Приведем уравнение (3) к безразмерному

виду:

r >

d ^

d ^

c 0 V

V c 0 7

+ c 0 v y

¹    V c 0 7

= c 0 D

h ²

d ²

c

V c 0 7

В уравнение (4) входят: концентрация, скорость, коэффициент диффузии, а также параметр, характеризующий геометрию мембранного канала. Именно математическая

модель с данными параметрами представляет научно-практический интерес.

Введем безразмерные переменные:

X = x / y ; Y = y / h; С ( X,Y ) = с ( x,y )/ c ₀;

— = k / v ; V = v / V ,          (⁵⁾

x   yx

где x, y – продольная и поперечная координаты, отсчитываемые от нижней кромки мембранного канала высотой h; c ( x, y ) и c 0 – текущая и при входе в мембранный канал концентрации разделяемого раствора, масс. %; vx и vy – скорости разделяемого продукта в канале, м/с; k – проницаемость мембраны, м³/(м²·с).

С учетом (5) уравнение (4) можно переписать в виде:

' C ( X . ^Y ) + V aC ( X . ^Y ) = D a¹ с ( X , Y ) a x         a y     v,h    a y ² ’^v

где Pe = ( vx · h ) / D – диффузионный критерий Пекле;

C ( 0, Y ) = 1;                (7)

Y = 0;

,    _   1 d C(X ,0)

^VC ( X ^,0 ) — Pe   ',     = ^KC ( X ^,0 )

Y = 1;

VC ( X ,1 ) - -1          = 0 .

^{v 7} Pe    d Y

В результате проведенного синтеза уравнений модели получена система дифференциальных уравнений в частных производных в безразмерном виде. В уравнениях (8) и (9) величины Ре и К являются параметрами модели.

Введем новую переменную:

N ( X , Y ) = C ( X , Y ) — 1, тогда система дифференциальных уравнений (6)–(9) запишется в следующем виде:

d Y    ~ Pe    d Y ²

N (0, Y ) = 0;

Y = 0;

VN ( x ,0)—± 5N1X.2) = v 7 Pe   dY

= — V + K + KN ( X ,0 ) ,

VN ( X ,1 )

—

Y = 1;

1 ^dN ( ^X ,i) _ ,,

--= — V . Pe    d Y

,

Для решения уравнений (10)–(13) применим интегральное преобразование Лапласа по переменной x :

. _x    dN,(5 , Y)

5N ( 5 , Y ) + V—^{L (}4_^ =

^LV ,  ⁷          d Y

_ 1 d ² N l ( 5 , Y )

Pe    dY¹

VN l ( 5 ,1 )

,

1 dN L ( 5 ,1 ) V --__--

—

Pe dY

,

s

, _x 1 dN,(s ,0)

VN,(5 ,0) — --- ^L-^-) =

^{L (} , )   Pe dY

=       +knl (5,0), где s и NL(s, Y) – изображения X и N(X, Y) по Лапласу.

Перепишем уравнение (14) в виде:

^d2N L ( 5 , ^Y ) _— V p_e ^dN L ( 5 , ^Y ) dY ²            dY

— 5 Pe N_l ( 5 , Y ) = 0.

Равенство (15) представляет собой линейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение вида:

X ² — V • Pe • X — 5 • Pe = 0 , где λ – характеристическое число. Из уравнения (16) следует:

Pe ( V • Pe )

- + 5 • Pe;

^ = V Pe — (TJPe)

- + 5 • Pe.

На основании (17) общее решение уравнения (15) можно записать в виде:

NL ( 5 , ^Y ) = ^C 1 exP -

+ C ₂ exp -

( V Pe ) 2

----— + s Pe

Y ^ +

( V Pe ) 2

----'- + s Pe

После преобразований получим:

NL(s, Y) = {– [ V/s exp (– b ) a· Pe^–1 +

+(K – V) / s (1/2 V· sh a + a Pe^–1 ch a )] ·ch (aY) + +[– (1/ 2V· ch a + a Pe – ¹sh a ) ( K – V )/ s – – V/s exp (– b ) ( V – b· Pe^–1 – K )]sh ( a· Y )}× × exp (– b· Y )/[(1/2 V сh a + a Pe – ¹sh a ) a· Pe^–1 + + (1 /2V· sh a + a· Pe^–1·ch a ) · ( V – b· Pe^–1 – K )]

Запишем окончательно решение поставленной задачи:

C (X, Y ) = F (X, Y) + to

+ Z R П ¹

P n cos ( M n ^Y ) ⁺ Q n sin ( M n Y )

f- 1/2 Y Pe Y -

^X exp |- Pe - i [ м 2 + 1/4 ( VP e ) 2 ] X^

при V ≤ 2 K : F ( X, Y ) = 0;

при V > 2 K и 4 K· Pe / [ V ( V – 2 K )] > 1;

F ( X, Y ) = 0;

при V > 2 K и 4 K· Pe / [ V ( V – 2 K )] < 1;

F ( X, Y ) = R –¹[ P соs(μ Y ) +

+ Q sin(μ Y )]exp{-1/2 V ·Pe· Y + + Pe –¹[μ² – 1/4( V ·Pe)²] X },

R = (1/2 V· ch μ + Pe – ¹μ·sh μ) Pe^–1 –

– (1/2 V· sh μ/μ + Pe – ¹сh μ) · (1/2 V – K ) +

+ Pe –¹ × [μ – 1/4( V ×Pe)²] [(1/4 V ·Pe·sh μ/μ + +1/2 sh μ/μ + 1/2 ch μ) Pe^–1 – (1/4 V ·Pe·ch μ/ μ – –1/2 V ·Pe·sh μ/μ^3/2 + 1/2 sh μ/μ) · (1/2 V – K )], P = -[ V· Pe^–1ехр( V· Pe/2) +

+ (K – V) (1/2V·shμ/μ + Pe – 1сhμ)], Q = [(1/2V ch μ + Pe – 1μ·sh μ) · (K – V) + +Vехр(V×Pe/2) · (1/2V – K)]/μ, где μ – корень уравнения;

th μ = 4 K ·Pe · μ/[ V ( V – 2 K ) – 4μ²];

Rn = (1/2 V· соsμ n – Pe^–1·μ n sin μ n )Pe^–1 –

– (1/2 V· sin μ n / μ n + Pe – ¹соs μ n ) · (1/2 V – K ) –

– Pe^–1 [(μ² n + 1/4( V ·Pe)²] [(1/4 V ·Pe·sin μ n / μ n +

+1/2sin μ n / μ n + 1/2 cos μ n )Pe^–1 +

+ (1/4· V· Pe·cos μ n / μ² n – 1/2 V ·Pe·sin μ n /μ n √μ n – –1/2 sin μ n /μ n ) (1/2 V – K )];

Pn = – [ V ·Pe^–1ехр( V· Pe/2) +( K –V ) (1/2 V· sin μ n / μ n + + Pe – ¹соs μ n )];

Qn = [(1/2 V· соsμ n – Pe^–1μ n ·sin μ n ) ( K – V ) +

+ V ехр( V· Pe/2) (1/2 V – K )]/μ,)

где μn – корень уравнения tg μn = 4K·Pe·μn/[V(V – 2K) + 4μ2n].

Графическая интерпретация результатов расчета профилей концентраций разделяемого раствора в мембранном канале прямоугольного сечения при различных входных параметрах К, V , Pe представлена на рисунке 2.

^ G, Сф

а)

A G>, Сф

б)

Рисунок 2. Поперечные профили концентраций разделяемого раствора в мембранном модуле плоскорамного типа: а – K = 1,5; V = 0,2; Pe = 2; б – K = 0,6; V = 1,2; Pe = 2

Figure 2. Transverse profiles of the partial solution concentrations in the Membrane module of the plane type: а – K = 1.5; V = 0.2; On = 2; б – K = 0.6; V = 1.2; Pe = 2

Экспериментальная часть

Исследования процесса микрофильтрации пива нефильтрованного непастеризованного осуществляли на экспериментальной установке (рисунок 3), состоящей из баллона 1 со сжатой пищевой газовой смесью «BIOGON», емкости 2 с фильтруемым пивом, манометров 3 , насоса 4 , плоскорамного мембранного модуля 5 , приемной емкости 6 осветленного продукта, коммуникаций с вентилями, стеклянной трубки с делениями для измерения скорости процесса, мерного цилиндра с колпаком для осветленного пива (на рисунке не показаны).

Рисунок 3. Экспериментальная установка проточной микрофильтрации

Figure 3. Experimental installation of running microfiltration

Микрофильтрация пива при проточном режиме организации процесса проводилась при следующих технологических параметрах: температура 2–6 °С, рабочее давление 0,08–0,25 МПа, скорость разделяемого потока над поверхностью мембраны 2–3 м/с.

С увеличением скорости разделяемого потока над мембраной можно показать линейный рост проницаемости ядерного фильтра с разрешающей способностью 0,90 мкм (рисунок 4). При достижении скоростей потока до величин 3,5–4,5 м/с проницаемость мембран достигала значений 45,6·10^-6 (кривая 3 ), 48,7·10^-6 (кривая 2 ) и 52,3·10^-6 м/с (кривая 1 ) для высот мембранного канала 2,7, 1,47 и 0,5 мм соответственно. При выбранном диапазоне тангенциальной скорости 3,5–4,5 м/с и правильной организации гидравлической системы мембранной установки можно предотвратить оседание частиц белковых взвесей, дрожжей и бактерий на ядер-ном фильтре. Величина потерь давления для плоскорамного мембранного модуля составит не более 0,2–0,3 МПа.

Превышение диапазона тангенциальной скорости сопровождается существенными потерями давления до 0,6–0,8 МПа, что нерационально по причине увеличивающихся энергетических затрат. Следует подчеркнуть, что проведение экспериментов при тангенциальной скорости свыше 5 м/с сопровождалось существенным увеличением объема образующего концентрата с большим количеством целевого компонента. Концентрат для более глубокой очистки вынуждены были возвращать в циркуляционный контур, что приводило к ухудшению качества разделяемого продукта.

Рисунок 4. Зависимость удельной скорости микрофильтрации пива на трековой мембране с размером пор 0,90 мкм от величины тангенциальной скорости в мембранном канале различной высоты, мм: 1 – 0,5; 2 – 1,45; 3 – 2,7

Figure 4. Dependence of the specific speed of microfiltration of beer on the track membrane with the size of pores 0.90 microns from the value of tangential velocity in the membrane channel of different heights, MM: 1 – 0,5; 2 – 1,45; 3 – 2,7

Для того чтобы изменить высоту мембранного канала плоскорамного мембранного модуля, использовали комплект прокладок высотой 0,50, 1,45 и 2,70 мм. Анализ полученной зависимости (рисунок 5) говорит о существенном влиянии высоты мембранного канала в момент формирования слоя высокой концентрации на ядерном фильтре.

k ·10^{- 6} , м ³ /(м ² ·с )

т , с

Рисунок 5. Зависимость удельной скорости микрофильтрации пива на трековой мембране с размером пор 0,90 мкм от продолжительности процесса в мембранном канале различной высоты, мм: 1 – 0,5; 2 – 1,45; 3 – 2,7

Figure 5. Dependence of the specific speed of microfiltration of beer on the track membrane with the size of pores 0.90 microns from the duration of the process in the membrane channel of different heights, MM: 1 – 0.5; 2 – 1.45; 3 – 2.7

Через 5–10 мин ведения процесса проницаемость ядерного фильтра составляла (55–58)·10-6 м/с в мембранном канале высотой 0,5 мм (кривая 1). Как показывает кинетическая зависимость, кривые 1–3 проницаемости постепенно выходят на постоянный уровень, что свидетельствует о малозначащем влиянии высоты мембранного канала по истечении определенного времени. Режим движения жидкости в мембранном канале напрямую влияет на слой высокой концентрации, т. е. с увеличением высоты канала уменьшается величина тангенциальной скорости, число Рейнольдса также уменьшается и, как следствие, падает проницаемость мембраны из-за образования слоя высокой концентрации на ее поверхности [12–14].

Результаты и обсуждение

Полученные в результате вычислений профили концентраций растворенного вещества позволяют сделать вывод о характере гидродинамических условий в канале мембранного аппарата. Для более объективной картины расчеты проводили при числе Ре = 2. При этом случай, при котором величины безразмерной проницаемости К = 1,5 и безразмерной скорости V = 0,2, является наиболее предпочтительным для изучаемого мембранного процесса микрофильтрации, т. к. характер поведения профилей концентраций предполагает создание таких гидродинамических условий, при которых обеспечивается и проницаемость мембраны, и снижение концентрации растворенного вещества на ее поверхности по длине рассматриваемого канала. Такие результаты говорят об эффективности проводимых мероприятий по снижению концентрационной поляризации на поверхности мембраны при помощи гидродинамических методов воздействия на слой высокой концентрации, например, за счет вариаций скорости разделяемого потока.

Таблица 1.

Параметры, определяемые на основании результатов эксперимента

Table 1.

Parameters defined based on the results of the experiment

Линейная скорость, м/с Linear velocity, m/s	Re	Re-0.25	Коэффициент сопротивления Блазиуса Resistance coefficient of Blazius	Re0.125	Pe	Коэффициент продольного перемешивания, м2/с The longitudinal mixing coefficient, m2/s
2,5	2717	0,1385	0,0437	2,68	2,04	0,183
3	3260	0,1323	0,0418	2,74	2,08	0,215
3,5	3804	0,1273	0,0402	2,80	2,12	0,246
4	4347	0,1231	0,0389	2,84	2,16	0,277

Важнейшей характеристикой гидродинамической структуры потока является коэффициент продольного перемешивания, который можно вычислить через статистические параметры дифференциальной функции распределения времени пребывания индикатора в канале мембранного аппарата, получаемой экспериментально с помощью импульсного метода. Однако экспериментальный мембранный модуль имел небольшие геометрические размеры (длина мембранного канала l = 0,15 м; высота мембранного канала h = 2,7·10-3 м), а при скорости движения 2,5–3,5 м/с разделяемый поток находился в мембранном канале менее 1,0–1,5 с, поэтому выполнить достоверные измерения концентрации индикатора на выходе из мембранного модуля не представлялось возможным. Также практически невозможно определить существующими инструментальными методами характер распределения поля концентраций растворенного вещества по высоте и длине мембранного канала с данными геометрическими размерами.

Поэтому определение практических значений чисел Pe с целью его сравнения с результатами, полученными по математической модели, осуществляли на основании экспериментальных значений тангенциальной скорости потока.

Исходные данные для расчета: плотность пива ρ = 1018,6 кг/м³; динамическая вязкость пива при температуре микрофильтрации t = 2 °С ξ = 2,816·10^-3 Па·с. Для приближенного расчета коэффициента турбулентного перемешивания Ре использовали уравнения Тейлора [15]. Результаты вычислительного эксперимента удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными для скорости потока 2,5 м/с и мембранного канала высотой 2,7 мм (таблица 1).

Заключение

Показана возможность адаптации однопараметрической диффузионной модели к мембранному процессу разделения за счет учета