Агрегированная модель реальных инвестиций с частично неопределенными спросом и фондоотдачей производственных активов

Рассмотрим задачу, являющуюся, с одной стороны, обобщением задачи из работы [1] на случай двух критериев, а с другой – ее частным вариантом, когда спрос на производимую продукцию или максимальную фондоотдачу по некоторым видам производственных активов неизвестен, т. е. когда статистические данные об этих важнейших рыночных характеристиках инвестиционного проекта (ИП) отсутствуют, являются недостоверными или неполными (в силу инновационности проекта, коммерческой тайны, намеренной дезинформации и т. п.).

Сформулируем задачу следующим образом. Предприятие имеет капитал K ₀. При этом государственный орган (ГО) для реализации ИП выделяет инвестиции не более величины I ₀ на приобретение активных основных производственных фондов (ОПФ) n видов. Спрос на производимую продукцию и максимальная фондоотдача заданы лишь на первые n 1 и n 2 видов ОПФ соответственно. Необходимо найти стоимость (количество) всех приобретаемых в моменты t = 1, …, T ОПФ каждого вида, при которых дисконтированные суммы собственных средств предприятия и его налоговых поступлений в ГО являются наибольшими за все время T действия ИП. При этом предполагаются выполненными следующие основные предпосылки:

• 1)    учитываются налоги, составляющие большую часть затрат предприятия: налог на добавленную стоимость (НДС), налог на прибыль (НП), налог на имущество (НИ), единый социальный налог (ЕСН) и отчисления в фонд оплаты труда (ФОТ);

• 2)    предприятие имеет достаточные запасы сырья;

• 3)    срок T действия ИП меньше сроков T_k службы

единицы ОПФ каждого типа: T <  T k ( к = 1,..., n );

• 4)    на ОПФ каждого вида производится лишь один тип продукции.

С учетом перечисленных предпосылок сформулированная выше задача описывается двухкритериальной многошаговой задачей линейного программирования (МЗЛП), которую обозначим как модель A( n 1 , n 2 ):

x_k ( t + 1) = Х к ( t ) + U k ( t ) ( к = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1),

X n +1 ( t + 1) = "1> к ( t )/ T k + X n +1 ( t ) + к =1

+ i> k ( t )( t = 0,..., T - 1), к =1

Xn+2 (t + 1) = -a2Xn+1 (t) + Xn+2 (t) - n                                             (1)

• ^- E ^U к ⁽ t ) ⁺ u 2 n +1⁽ t ) ⁺ u 2 n +2 ⁽ t ) ⁽ t = ⁰⁾ ,

к =1

«Развитие научного потенциала высшей школы» (НИР

X n +2 ( t + 1) = « 3 L X k ( t ) / T k -6 X n +1 ( t ) ⁺ X n +2 ( t ) - k =1

• -& • ( t ) *■£« . + , ( t )( t = 1 T - 1); k =1              k =1

x k (0) = 0 ( k = 1,..., n + 2);

X n +2 ( t ) >  0( t = 1,..., T - 1),

n

n

- L X k (t )/ T k -« 2 X n + 1 ( t ) + (1 -P ) E U n + k (t ) >  0(t = 1,

---.

u n + k ⁽ t ) ^- q k ⁽ t ⁺ 1) ^{( k} = 1, u n + k ⁽ t ) ^-5 k^Xk ⁽ t ) ^{( k} = L

..., n 1 ; t = 1,..., T - 1),

., n 2 ; t = 1,..., T - 1),

..

^u 2 n +1 ⁽ t ) - I 0 , ^U 2 n +2 ⁽ t ) - ^K 0 ⁽ t = ⁰⁾ , u_k ( t ) >  0( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1), U n + k ( t ) >  0 ( k = 1,..., n ; t = 1,..., T - 1), u 2 n +1 ( t ) >  0, u 2 n +2 ( t ) >  0( t = 0), J = { J 1 , J ₂} >  max,

., T - 1);

где

J1 = u2n+1(0) U2n+2 (0) + a3 L Xk (t) / Tk - 6Xn+1 (t) + yL n+k (t)

T -1

ZL t=1

+

(1 + r ) t

5 X n +1 ( T )

- +

(1 + r ) ^{T -1} ’

n

n

T -1

^-a 3 L ^Xk ⁽ t ) / T k ^{+ 6 X}n +1 ⁽ t ) ⁺ p L ^un + k ⁽ t )

J 2 = 1^

t =1

(1 + r ) t

—

...

, T - 1),

на момент t = T от ее балансовой стоимости, определяемая в общем случае экспертно.

Отметим, что модель (1), (2) формально можно рассматривать как частный случай модели A , которая приведена в работе [2], при следующих условиях:

q_k ( t + 1) ^ +« ( k = n 1 + 1,..., n ; t = 1,..., T - 1),

5 k ^+m (k = n2 +1,..., n); T1 = T2 = 1, где T1 и T2 — моменты окончания инвестирования и начала производства. С другой стороны, учитывая, что задача (1), (2) обозначена выше как A(n 1, n2), указанную модель A можно записать как A(n, n), т. е. формально A(n, n) = A. В [2] приведены частные версии модели A с неопределенным спросом и максимальной фондоотдачей на все виды производимых продуктов и все типы ОПФ, обозначенные как модели B1 и B2, получаемые из нее соответственно при выполнении асимптотических соотношений:

q_k ( t + 1) >■/ ( k = 1,..., n ; t = 1,..., T - 1); T ¹ = T ² = 1

и 5 _k >+m ( k = 1,..., n ); T ¹ = T ² = 1.

Тогда, аналогично предыдущему, можем записать, что A (0, n ) = B 1, A ( n , 0) = B 2 .

В соответствии с работой [3], многокритериальная МЗЛП (ММЗЛП) (1), (2) равносильна однокритериальной задаче с условиями (1) и максимизацией свертки критериев J(ц) = ц1 J1 + ц2 J2, где це M = {(Ц1; ц2) е E2 |ц z > 0( i = 1,2); Ц1 + Ц2 = 1}     — вектор параметров, E2 — двумерное евклидово пространство. Учитывая, что ц2 = 1 -ц1 и обозначая ц = ц1, перейдем от ММЗЛП (1),(2) к эквивалентной ей однокритериальной задаче (1) при условии, что

J ( ц ) = ц J 1 + (1 -ц ) J ₂ >  тах( це (0;1)),      (3)

где J 1 , J 2 — критерии из соотношения (2).

Рассмотрим частный вариант задачи двухкритериальной оценки проекта, описанного моделью (1), (2), когда 8 = 0 (т. е. продажа ОПФ предприятием не предполагается). Для применения z-преобразования к анализу модели (1), (3) доопределим управления, uk(t) (k = 2n +1,2n + 2;t = 1,..., T-1) до вектора постоянной размерности 2n + 2, полагая отсутствующие управляющие переменные равными нулю, т. е. дополняя указанную задачу условиями u n+k(t)- 0,u n+k(t) >0 (k =1,-,n; t =0);

^u 2 n +1⁽ t ) ^{- 0} , ^u 2 n +1⁽ t ) >  0;

u 2 n +2 ( t ) - 0, u 2 n +2 ( t ) >  0( t = 1,..., T - 1).

Тогда МЗЛП (1), (3) запишем единообразно, перейдя к задаче:

X k ( t + 1) = X k ( t ) + u . ( t ) ( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1);

nn

X n +1 ( t + 1) = - L X k ( t )/ T k + X n +1 ( t ) + L u_k ( t ) ( t = 0,..., T - 1), k =1                             k =1

x n +2 ⁽ t ^{+ 1)} = ^a 3 E x k ⁽ t ) / T k ^- 6 x n +1 ⁽ t ) ⁺ k =1

⁺ x n +2 ⁽ t ) - E u k ⁽ t ) ⁺ ^ E u n + k ⁽ t ) ⁺

+ U 2 n +1 ( t ) + U 2 n +2 ( t )( t = 0,..., T - 1);

x_k (0) = 0 ( k = 1,..., n + 2);

X n _{+ 2}( t ) >  0( t = 0,..., T - 1),

n

-E xk (t) / Tk - a2xn+1 (t) + (1 в 1 X k=1

x^ , + k ( t ) >  0( t = 0,..., T - 1); k =1

U n + k ( t ) <  q k ( t + 1)( k = 1,..., n 1 ; t = 0,..., T - 1),

Un+k(t) < 8kXk(t) (k = 1,..., n2; t = 0,..., T -1), u2n+1(t) < 10,u2n+2(t) < K0(t = 0,..., T-1), uk (t) > 0(k = 1,..., n; t = 0,..., T -1), Un + k(t) > 0 (k = 1,..., n; t = 0,..., T-1), u 2 n+1( t) > 0, u 2 n+2( t) > 0( t = 0,..., T -1),

J ( ц ) = ц J 1 + (1 - ц ) J 2 ^ max ( ц e (0; 1)),      (4)

где

«з Ext (t)/ Tk -6Xn+1(t) + k=1

+ y f> n + k ( t ) - U 2 n +1 ( t ) - U 2 n +2 ( t )

, k =1 .

(1 + r ) t

_ T -1

J 1 = E

_    T -1

J 2 = E t=0

nn

^-a 3 E x k ⁽ t ) / T k ^{+ 6} x n +1 ⁽ t ) ⁺ p E u n + k ⁽ t )

.        k =1                                           k =1              .

(1 + r ) t

По построению для целевых критериев J ( ц ) и

J ( ц ) соответственно задач (1), (3) и (4) имеет место неравенство J ( ц ) <  J ( ц ). В частности, для оптимальных значений указанных сверток критериев справедливо соотношение

*

J ( ц ) <  J ( ц )( цe (0;1)).           (5)

Полагая z = 1 + r > 1, перейдем в задаче (4) к пределу при T ^ го . Тогда, принимая во внимание предпосылку 3, в силу которой T ^+го ^ T k ^+го , и применяя к отмеченной МЗЛП z -преобразование, с учетом свойства Z ( x ( t + 1)) = z [ X ( z ) - x (0) ] получим статическую задачу линейного программирования (ЗЛП):

zX k ( z ) = X k ( z ) + U k ( z )( k = 1,..., n ),

n zXn+1( z) = Xn+1( z) + L Uk (z), k=1

n zXn+2 (z) = -6Xn+1 (z) + Xn+2 (z) -LUk (z) + k=1

+ _Y ] n; U n + k ( z ) + U 2 n +1 ( z ) + U 2 n +2 ( z );

k =1

n zXn+2( z) > 0, (1 -P)L8 kXk (z)-«2 Xn+1( z) > 0, (6) k=1

U n + k ( z ) <  Q k ( z )( k = 1,..., n 1 ),

U n + k ( z ) <8 k X k ( z ) ( k = 1,..., n 2 ),

U 2 n +1 ( z ) <  1 0 , U 2 n +2 ( z ) <  K 0 ;

U_k ( z ) >  0 ( k = 1,..., 2 n + 2);

J ( ц , z ) = ц J 1 ( z ) + (1 - ц ) J 2 ( z ) ^ max ( ц e (0;1); z >  1), где

n

J 1 ( z ) = -6 X n +1 ( z ) + Y L U n + k ( z ) - U 2 n +1 ( z ) - U 2 n +2 ( z ), k =1

n

J 2( z ) = 6Xn+1( z ) + PL Un+k ( z ), k=1

го

Uy(z) = LUy(t)z-t (j = 1,...,2n + 2) t=0 го и Xk (z) =Lxk (t)z-t (k = 1,..., n + 2) - z-изображения t=0

управляющих и фазовых переменных задачи (4), Qk(z) = jtqk(t +1)z-t (k = 1,..., n1) J(ц,z) = limJ(ц), tit                                           T ^ro причем при T ^ +го по построению ~   — *

J ( ц ) <  J ( ц , z ) ( ц e (0; 1)), откуда в силу (5) получим *

J ( ц ) <  J ( ц , z )( це (0;1); z >  1).           (7)

Отметим, что однокритериальная задача (6) эквивалентна двухкритериальной ЗЛП с теми же ограничениями и условиями J ( ц ) = { J 1 , J 2 } ^ max , которую назовем агрегированной моделью реальных инвестиций с частично неопределенными спросом и фондоотдачей ОПФ (моделью ZA(n 1 ,n 2 ) ) , соответствующей ММЗЛП A ( n 1 , n 2 ) .

Для задачи (1), (2) имеет место следующая лемма.

Лемма. Для оптимальных значений переменных un+k (t) и xk(t) МЗЛП (1), (2) справедливы равенства qk(t +1) (k = n2 +1,..., n1; t = 1,..., T-1),

*

u n + k ⁽ t ) =

n ₁ >  n ₂;

⁸ k x k ⁽ t ) ^{( k} = ⁿ 1 ^{+ 1} , n ₂ >  n ₁.

..

(8) ., n 2 ; t = 1,..., T - 1),

Выражая изображения X_k ( z )( k = 1,..., 2 n + 2) из операторных уравнений ЗЛП (6) и подставляя соответствующие формулы в остальные ограничения, перейдем к эквивалентной ей более простой задаче:

n

^{- ( 6 + z -} DE ^Uk ^{( z} ) ⁺ Y ^{( z - 1) x} k =1

, n xE Un+k (z) + (z - 1)(U2n+1 (z) + U2n+2 (z)) > 0, k=1

n

« 2 E U k ( z )         n

----+ (1 __P ) E U n + k ( z ) >  0, ^{z 1}                  k =1

U n + k ( z ) < Q k ( z ) ( k = 1,..., n J, U n ₊ k ( z ) t^U^. ( k = 1,..., n 2 ), U 2 n _{+ 1}( z ) <  1 0 , U 2 n _{+ 2}( z ) <  K 0 , U k ( z ) >  0( k = 1,..., 2 n + 2),

n

[1 - 2 ц ] 0 £ U k ( z )

J (ц, z) =--------k=------+ z -1 n

+ И + ^{(1 -}^ U n + k ^{( z} ) ^- k =1

^- Ц ^{[ U} 2 n +1 ^{( z} ) ^{+ U} 2 n +2 ^{( z )]} ^ max ⁽ ц ^{e (0} ; D) .

Анализируя задачу (9), нетрудно найти из 3-го и 4го ее ограничений, что имеют место равенства, являющиеся статическими аналогами соотношений (8):

U n + k ( z ) =

Q k ^{( z} ) ^{( k} = ⁿ 2 ^{+ 1,} ... ^{, n} 1 ), ⁿ 1 >  n 2 ;

5 k U k ( z ) z - 1

( k = n ₁ + 1,

., ⁿ 2 ), n 2 >  ⁿ 1

Заметим, что если применить к равенствам (8) z-преобразование при z = 1 + r > 1 и принять во внимание формулу X_k ( z ) = U ^{k ( z} ) ( k = 1,..., n ₂), следую- z - 1

щую из первого уравнения в (6), то вновь получим соотношения (10), используя которые, можно добиться дополнительного упрощения задачи (9).

В силу неравенства (7) можно оценить оптимальную стоимость ИП, реализуемого в соответствии с моделью (1), (2), решая задачу (9) существенно меньшей размерности. Если оптимальное значение свертки *

J ( ц , z ) в упомянутой ЗЛП, трактуемое как средняя

стоимость проекта, меньше величины, на которую рассчитывают производитель и представитель государственного органа, то оптимальное значение свертки J * ( ц ) в модели (1), (2) тем более не будет устраивать указанных экономических агентов.

Легко видеть, что задача (9), а значит, и равносильная ей ЗЛП (6), не имеет решения, если n1 < n, n 2 < n.

Рассмотренный подход позволяет на базе операционного исчисления строить по исходной динамической модели реальных инвестиций ее агрегированную версию меньшей размерности и оценивать эффективность инвестиционных проектов в условиях частичной неопределенности информации о таких важных рыночных показателях, как спрос на производимую продукцию и максимальная фондоотдача производственных активов при выработке компромиссных решений с учетом целей нескольких экономических агентов.