Аётни суурталашда яхлитланган аёт муддати

Суғурта - фуқаролар, ташкилотлар ва давлатнинг мулк манфаатларини ҳимоя системаси сифатида ҳозирги жамиятнинг зарур элементи ҳисобланади. У ижтимой фаолиятнинг барча турларини узлуксизлигини ҳамда маълум ҳодисалар натижасида суғурта ҳолатлари содир бўлганда кишилар ҳаёт даражасини, даромадларини сақлашни таъминлайди. Актуар ҳисоблар - бу статистика фанининг усуллари ва формулаларига, макро ва микроиқтисодий кўрсаткичларнинг молиявий-иқтисодий таҳлилига асосланган мураккаб математик ҳисоблардир. Актуар ҳисоб - китоблар демографик вазиятга, иқтисодиётнинг ҳолати ва унинг ривожланишининг узоқ муддатли прогнозларига, сиёсий вазиятга ва жамиятнинг тахминларини баҳолашга асосланган. Актуар ҳисобларда эҳтимоллик назарияси кенг қўлланилади. Актуар таҳлил эса суғурта компаниялари ва банклар фаолиятининг муҳим ва ажралмас қисмига айланган. Ҳозирги вақтда инсонлар ҳаётини суғурта қилиш оммалашиб бормоқда. Инсон ҳаётини суғурталашда ҳаёт давомийлиги, яхлитланган ҳаёт муддати ва ўртача яхлитланган ҳаёт муддати каби муҳим миқдорлардан фойдаланилади.

Одатда кишилар яшаган йиллар бутун сонлар билан ифодаланади. Суғурта компаниялари эса ҳаётни суғурта қилиш шартномаларини бутун ёшдаги йиллар учун тузадилар. Шунинг учун, одатдаги ҳаёт давомийлиги T x билан бир ^аторда унинг бутун ^исмини ифодаловчи K_x = [ T_x ] ифодани ^араш мумкин. Шундай ^илиб, агар масалан, T_x = 19 ёш 6 ойлик = 19.5 ёш булса, у холда K_x = 19 ёш. K_x мивдор яхлитланган (кесилган) ^олди^ хаёт давомийлиги деб аталади. Яхлитлаш яқин бутун сонгача эмас, ҳамма вақт ками билан олинади (яъни берилган каср сондан кичик энг яқин бутун сонгача).

Яхлитланган ҳаёт муддати тақсимоти

K_x тасодифий миқдор фақат бутун қийматларни қабул қилади, унинг стохастик табиати (еҳтимоллар назариясида қабул қилинганидек) та^симот функция билан эмас, та^симот билан, яъни P ( K_x = k ) , к = 0, 1, 2,… эҳтимоллар мажмуаси билан характерланади.

{ K x = k } ходисалар { k <  T <  k + 1} га тенг кучли булгани учун

P ( K_x = k ) = P ( k <  T x <  k + 1)

тенглик уринли булади. P(k < Tx < k +1) эхтимол Tx тасодифий микдор узлуксизлигига кура P(k < Tx < k +1) эхтимолга тенг, у ^ qx каби белгиланади.  Kx тасодифий микдорнинг таксимоти яшаб колиш функцияси атамаларида куйидаги куринишда ифодаланади:

Р(К      = s(x + k) - s(x + k + 1) -= lx+k ~ lx+k+1 -: dx+k x                     s (x)                     lx           lx ’ бу ерда s(x) - яшаб колиш функцияси, lx - х ёшгача яшаган инсонлар сони.

Kx тасодифий микдорнинг таксимоти оламдан утиш атамаларида эса куйидаги куринишда ифодаланади:

P ^{( K}x = ^k ) = exP

x + k      ^

~ J ^ u du

V x       J

~

exp

x + k + 1

~ J V u du

V x       J

бу ерда ^ _x хаётдан куз юмиш интенсивлиги.

Яхлитланган хаёт муддати K_x таксимот функцияси T_x хаёт аник муддати функция таксимоти билан етарлича содда боFланган. t = n + т булсин, бу ерда 0 <  т <  1 (шунинг учун n = [ t ] ).

У холда

P ( K x < t ) = P ( K x < n ) = P ( T x < n + 1 ) = P ( T x < [ t ] + 1 ) .

Аввал Tx колдик вакти ва суFурта назариясини бошланFич тасодифий микдори T хаёт давомийлиги каралган эди. Лекин T = T0 булгани учун у холда, хусусан, K 0 = [T ] яхлитланган хаёт муддати таксимоти

P ( k ₀ = k ) = s ( k ) ~ s ( k + 1 ) = l ^k ~ l ^{k + 1} = d k ¹ 0          ¹ 0

ёки kk

P(Kо = k) = exp(-J^udu) - exp(- jpudu) о0

формула буйича аникланиши мумкин. P(Kо = k) нинг k га боFланиши такрибан f (k) ёрдамида тавсифланиши мумкин, бу ерда f (x)- тасодифий миқдор тақсимот зичлиги. Шундай қилиб, оламдан ўтиш эгри чизиғи яхлитланган ҳаёт муддати тақсимоти ҳақида ҳам тасаввур беради.

Ўртача яхлитланган ҳаёт муддати ва унинг дисперсияси

Kx тасодифий миқдорнинг математик кутилиши ўртача яхлитанган ҳаёт муддати деб аталади ва ex деб белгиланади ex ^ EKx.

Тасодифий миқдор учун умумий формулага кўра

^

e x = У kP( K x = k ).

k = 1

У ҳолда e_x яшаб қолиш атамаларида:

J    rc ex = EKx =    У s(x + k) •

s ^{( x} ) k = 1

Шунга ухшаш DK_x ни хисоблаш учун зарур иккинчи   E ( K_x )²

момент учун:

ю                            гс                           9 гс

E [ K x ]² = У k ² P ( K x = k ) = — У (2 k - 1>( x + k ) = — У ks(x + k ) - e x .

k = 0                    s ^{( x} ) k = 1                      s ^{( x} ) k = 1

Янада қизиқроқ рекуррент формула ўринли ^ex = ^px ‘ ^{( 1 + e}x + 1 ) ,

Ундан ўртача яхлитланган ҳаёт муддатини ва яқин йил давомида оламдан ўтиш эҳтимолини боғловчи қуйидаги муносабат келиб чиқади:

qx

^{1 + e}x + 1    ^ex

1 + ex+1

Бу муносабатни исботлаш учун аввало жж ex ^ EKx = S P(Kx — n) = SP(Tx — n) n=1

еканлигини таъкидлаймиз. Лекин

^P(Tx — n ^{) =} n p x = p x ’ n - 1 p x + 1 .

Шунинг учун жжж ex = px S n-1 px+1 = px S n px+1 = px ' (1 + S n px+1)* n=1                 n =0

ж

S n P x + 1 ^ЙИFИH Д ^И e x + 1 га тенг.

n = 1

Демак, бундан:

e x    p x ' ^{(1 +} e x + 1 ),

e

.

P x = Г7---

Фойдаланилган адабиётлар рўйхати

• 1.    Бауэрс Н., Гербер Х.., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж.. Актуарная математика, М: Янус-К, 2001.Бланд Д. Страхование: принципы и практика (пер. с англ._-М., Финансы и статистика,1998.

• 2.    Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: КНОРУС, 2010.

• 3.    Воронина Н.Л. Англо-русский словарь страховых терминов /

  Н.Л.Воронина, Л.А.Воронин. - М.: ИРТИСС, 2001

• 4.    Гербер Х. Математика страхования жизни – М.: Мир, 1995 .

"Экономика и социум" №5(84) 2021