Алгебра бинарных отношений и отображений в теории графов

Paramonova Yu.V.

Student, 3 year

KSU them. N.F.Katanov

Russia, Abakan

Supervisor:

Algebra of binary relations and mappings

Annotation. This paper discusses a graphical method for determining binary relations that can be applied in a school course of mathematics.

Математика как наука отражает мир взаимодействия простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, двоичные и многие другие отношения. Вот почему понятие бинарного отношения играет фундаментальную роль в алгебре, геометрии, математическом анализе и других областях математики. Двоичные отношения служат простым и удобным устройством для очень широкого круга задач. Язык бинарных отношений используется во многих областях математики, например, таких как математическая лингвистика, математическая биология, математическая теория баз данных. Бинарные отношения уже встречались в школьном курсе математики. Примерами таких отношений являются отношения неравенства, равенства, подобия, параллельности и многие другие. Существует четыре метода определения бинарных отношений: метод перечисления, графический метод, матричный метод и фактормножеством.

В данной работе мы рассмотрим графический метод определения бинарных отношений, который может быть предложен школьникам старших классов.

Определение. Бинарное(двухместное) отношение-отношение между двумя множествами A и B , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: R ^ А X В.

Бинарное отношение на множестве A -любое подмножество R сA 2 =AxA.

Такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка. Бинарные отношения имеют несколько видов.

Бинарные отношения должны удовлетворять определенным условиям, которые, в свою очередь, являются их свойствами. Свойства бинарных отношений - это рефлексивность, симметрия, антисимметрия, асимметрия, транзитивность, полнота, связность.

Иллюстративными примерами графиков являются железнодорожные диаграммы, размещенные на стенах больших вокзалов и схемы авиакомпаний в аэропортах. Характерным для таких схем является несоблюдение, несмотря на то, что они изображены на фоне контура страны или контуров континентов земного шара. Таким образом, подчеркивается, что связь (двоичное отношение) между поселениями важна здесь, а не расстояние. Граф является, по сути, графическим представлением двоичного отношения.

Дерево - простой граф, все вершины которого связаны таким образом, что циклов нет. Графы такого рода используются для решения комбинаторных задач, когда необходимо искать все возможные варианты.

Рассмотрим пример бинарных отношений.

Пример

Даны 2 множества A={2,3,5,7} и B={24,25,26}. R -«быть делителем». R={(2,24),(2,26),(3,24),(5,25)}. Найдем граф G отношения R .