Алгебра со звездочкой

Одним из важных классов алгебр, изучаемых и используемых в современной алгебре, являются алгебра со звездочкой.

One of the important classes of algebras, studied and used in modern algebra is algebra with an asterisk.

• 1. Определение ∗ - алгебры.

Определение 1. Совокупность А элементов х, у, . . называется алгеброй, если:

• 1)    А есть линейное пространство;

• 2)    в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлетворяющая следующим условиям:

а (х у) = (а х) у, х (а у) = а (х у),

(х у) z = х (у z),

(х + y)z = xz +yz, х (у + z) = ху + xz для любых х, у, z е А и любых чисел а.

Два элемента х, у алгебры А называются перестановочными, если ху = ух. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно перестановочны.

Определение 2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел.

Инволюцией в А называется такое отображение х ^ х* алгебры А в А , что

• (i)    (х*)* = х;

• (ii)    (х + у)* = х* + у*;

• (iii)   (а х)* = а х*;

• (iv)    (ху)* = у*х* для любых х, у е С .

• 2. Простейшие свойства * - алгебр

Алгебра над С , снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х .

Подмножество А , сохраняющееся при инволюции, называется самосопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А .

Определение. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х , нормальным, если хх* = х*х . Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и у эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и у перестановочны. Для каждого хе А элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде. Действительно, для любого zе C zz > 0 , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде zz .

Теорема 1. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +1х2, где х1, х2 - эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:

x + x * x 1 = —,

x - x *

X 2 = _v

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х 1 , х₂, определенные равенством (1), эрмитовы и х = х 1 +iх₂ .

Эти элементы х 1 , х₂ называются эрмитовыми компонентами элемента х .

Заметим, что         хх* = х12 + х22 + i(х2хl — х1х2), хх* = х2 + х22 - i(х2х1 — х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х 1 и х₂ перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А' - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив ( a e + x ) * = a e + x * при х е А , мы определим инволюцию в А' . Так что А' станет * - алгеброй. Говорят, что А' есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 2. Если х"¹ существует, то ( х*)"¹ также существует и

( х*)¹ = ( х " ¹ )*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения х"1х = хх"1 = е, получим х* (х"1 )*= (х*)"1х*=е.

Но это означает, что ( х"¹ )* есть обратный к х* . Подалгебра А 1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из х е А 1 следует, что х* е А 1 .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S с А , есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 3. Если В - максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х^"1 существует, то х^"1 е В .

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В , то этим же свойством обладают х " ¹ и ( х*) " ¹ = ( х " ¹ )*. В силу максимальности В отсюда следует, что х^"1 е В .

Определение 2. Элемент х е А - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е , иначе говоря, если х обратим и х = (х*)"¹ .

Унитарные элементы А образуют группу по умножению - унитарную группу А . Действительно, если х и у - унитарные элементы *-алгебры А , то

(( ху)*) " ¹ = (у*х*) " =( х*) " ¹ ( у*) " ¹ = ху , поэтому ху унитарен, и так как (( х " ¹ )* ) " = (( х*) " )" = х ¹ , то х¹ унитарен.