Алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи динамического деформирования тонкого стержня
Автор: Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А.
Статья в выпуске: 2, 2014 года.
Бесплатный доступ
В статье представлен алгоритм разработанной подпрограммы решения двухточечной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Новый алгоритм ранее опубликованной подпрограммы KLPALG объединил в себе основные идеи подпрограммы BVPFD (DD14AD, PASVA3) и PASSIN, реализующей методику продолжения решения по параметру. Кроме того, приведены обобщенные результаты трудов авторов в задаче о нелинейном динамическом деформировании тонкого пространственного криволинейного стержня при расчете по его дифференциальной модели. Неизвестные функции, входящие в уравнения движения, разыскиваются в дискретных точках. По методам прямого интегрирования производные по времени выражаются через текущие координаты и найденные на предыдущих шагах по времени. Первая производная по координате заменяется конечной разностью, добавляются краевые условия. Полученная система нелинейных алгебраических уравнений решается с помощью метода Ньютона с контролем длины шага из условия сходимости. Матрица Якоби этой системы имеет блочную трехдиагональную структуру, которая поддается эффективному LU-разложению. Такая декомпозиция матрицы Якоби позволяет быстро решать соответствующие системы линейных алгебраических уравнений больших размеров. Если условие сходимости метода Ньютона дает слишком маленький шаг, тогда применяется техника продолжения решения по параметру (псевдодлина дуги). После того как решена основная система нелинейных уравнений, для уточнения узловых значений вычисляемых функций применяется так называемый метод отсроченной коррекции (deferred correction method). Этот метод позволяет вычесть из получаемого решения ошибку, внесенную аппроксимацией производной по методу конечных разностей на начальном этапе численного решения. Получаемое таким образом численное решение имеет назначенную точность. Такая методика реализована в виде подпрограммы KLPALG, алгоритм которой представлен в данной статье.
Нелинейная краевая задача, тонкий криволинейный стержень, дифференциальная модель, численное решение
Короткий адрес: https://sciup.org/146211515
IDR: 146211515 | УДК: 539.3
The numerical algorithm for solving nonlinear boundary problem of thin rod's dynamic deformations
At this paper the algorithm of the subprogram for solving a two-point boundary value problem for system of the nonlinear differential equations of the first order is presented. The new algorithm of the subprogram named KLPALG united in itself the main ideas of the subprograms BVPFD (DD14AD, PASVA3) and PASSIN realizing the technique of continuation of solution by parameter. Besides, the generalized results of works of authors in a problem of nonlinear dynamic deformation of a thin spatial curvilinear rod calculated by its differential model are presented. The unknown functions in the equations of motion are calculated at discrete mesh points. The methods of direct integration allow us to express time derivatives by the current coordinates and coordinates and velocities calculated in the previous time steps. The first derivative of coordinate is replaced by finite difference; boundary conditions are added. The obtained system of nonlinear algebraic equations is solved by Newton method with the step length control of the convergence conditions. The Jacobi matrix of this system is of the block-tridiagonal structure which lends itself to efficient LU-decomposition. This decoupling of the Jacobi matrix allows you to quickly solve the corresponding system of linear algebraic equations of the big sizes. If the condition of convergence of Newton's method gives too small step, then used the technique of continuation of the solution on the parameter a (pseudo arc-length). As soon as the system of nonlinear equations is solved, to refine the nodal values of the calculated functions we use the deferred correction method. This method subtracts from the received solution the mistakes made by the approximation derived by the method of finite differences in the initial phase of the numerical solution. Thus obtained numerical solution is of accuracy appointed by user. This method is implemented in KLPALG subroutine which algorithm is presented in this paper.
