Алгоритм численного решения симметрических T-гиперболических систем с постоянными коэффициентами на односвязной двухмерной области

Постановка смешанной задачи для двумерных симметрических t-гиперболичес ких си стем с постоянными коэффициентами.

Пусть Q c R . В области G= [(t,x,у)A e (О,T), (x,у) g Qj найти вектор- функцию и , удовлетворяющую системе

_Ади(х,у^ _+Bdu(x,y,t) _{+ C}^oll<^x^O ₊ £^             (1)

C t                       (. А                       С V с граничными

и начальным

u(o,x,y) = u_o(x,y) , (х;у)еО. ;                       (3)

условиями. Здесь A,B,C~ действительные постоянные симметричные матрицы размерности NxN, причем A - положительно определенная; D- произвольная действительная постоянная матрица размера NxN; R{,R2^R^R4~ постоянные матрицы, количество столбцов которых равно N , а количества строк матриц rvr2

равны количеству положительных и отрицателных собственных значений матрицы A-'B соответственно, а количества строк матриц r„r4 равны количеству положительных и отрицателных собственных значений матрицы A 'C соответственно; Sv Si? Si’ g^ заданные вектор-функции, согласованные с размерностью матриц ^,в2,в3,в4 соответственно; aQT+,5Qv - части границы an , где ставятся условия, соответствующие положительным и отрицательным собственным значениям матрицы A-]B соответственно, а ao^ao^.- части границы an , где ставятся условия, соответствующие положительным и отрицательным собственным значениям матрицы A ^C соответственно; 1ф,У)~ заданная вектор-функция; u(t,x,y) = (ul,u2,...,uM)T - неизвестная, а Рф,У) = (/ф2,---,/м)' ~ заданная вектор-функция.

Q - Аппроксимация области.

Двумерная ограниченная область аппроксимирована следующим образом. При описании границы области в качестве составляющих ее частей могут использоваться отрезки прямых и дуги окружностей.Началом некоторой части границы S считается та ее концевая точка, при движении из которой по S область остается слева. Отрезки прямых определяются двумя точками – концами, а для дуг окружностей дополнительно задается точка центра окружности.

Область Q заключим в наименьший прямоугольник со сторонами, паралельными осям Ox и Oy : . Проведем прямые x = x_i = a + h_yi (i = O,...,NJy=^) , y = y_/=c + h_vj (j = Q,...,N_y,h_y=^-^-) пересекающие отрезки, соответсвенно, [a;b] , [c; ^ ] . В результате область Q покроется равномерной сеткой (рис.1).

У = У,- =c + h_vj , называемую

Точку пересечения прямых x = Xj =a + hy и узлом сетки, обозначим через              .

или

1-определение. Узел, находящийся на расстояние от 6Q , или лежающий на dQ называется граничным узлом.

На рисунке 2 граничные узлы соединены линией зеленого цвета.

2-определение. Узел, лежащий внутри области Q и являющийся соседным узлом граничного узла, называется околограничным узлом.

На рисунке 2 околограничные узлы соединены линией коричневого цвета.

3-определение. Узел, лежащий внутри области Q и не являющийся соседным узлом граничного узла, называется внутренным узлом.

4-определение. Узел, не лежащий внутри области Q и не являющийся граничным узлом, называется внешным узлом.

Сетка разбивает область ^^h на части (элементы). Каждый элемент является прямоугольником (на рис.2. желтого цвета) или треугольником (на рис.2. серого цвета) . Э лемент обозначим через К . Элементы, одной из вершин которых является узел My , называются элементами этого узла. Объединение этих узлов обозначим через . Тогда справедливо равенство ^.

Построение неявной разностной схемы для задачи (1)-(3)

Построим неявную разностную схему для системы (1).

Отрезок [OX] разобъем на X частей:

Будем искать приближенное решение смешанный задачи (1)-(3) на каждом слое tn по времени в виде < = 11!, V,^y)= X "№j (X’ У^. Здесь Q.^y) базисные функции, в узле Щу,у^ значение Q^y) равно i , а в остальных узлах - 0,

^ = и(у,угО = ^^^             = (11"^,...^ .

Аппроксимируем систему (19) в узле Mg т.е. в системе (1)

du                              u(t + T,x,v}-u(t,x,y)

производную по времени аппроксимируем отношением ot                                              т вместо u(t,x,y) подставим ^Р^п^’У) , каждое уравнение полученной системы умножим на QiS^y} и проинтегрируем по ^u .Здесь ^'7 - объединение всех элементов узла My . В итоге получим неявную разностную схему:

(a„(A + rD) + pIJrB + /„rC)y +

У„(а +гл)+ р_М1тв+r.^cy^ +

Уч»(А + ^) + РммтВ + Г^гСУ'У + yaA + rDi + ^rB + ^TC)^

(су^Л + rD) + P^B + Y^j^)11г-U+l +

(a^A + rD)^^^

(a^A + tD^^tB + Y^Cy^ +        (4)

[a^A+rD^p^B + r^TCy^

Y^,-SA + ^) + PMJ_yB + 7м,^С}и'ш,л =

r^Fr	+ тА(а^ + cc__ 7C . + «HJy+Iw;i>+J +
aij+iuy+i	+ °A-l j+[Ut-[ J+l + at-[ JUi-l J + ^i-l j-lUi-l j-l +
	^ aMj-YlMj-\^ (^p^jJ^^ ■

Здесь

^j^ \ Qy(x,y)dxdy, Д = | у            у с дО (х, у)

А = f ^——Qyx^dxdy, А ^дУ

дО.(х, у) ^-—Q^y)dxdy,

Qy = J Q^xyydxdy.

Граничных и начальных условий аппроксимируем следующим образом

„+!’

11+1’ и+Р

■wj	8у,х+ — ^1 (С?+1 Ар.
Х^У]}	— ^2(^+1 АА
x^j)	dQhr+ — ^з(А+1АА
^yj)	3Q- — ^4 (А+1 АА

У^М^у^еХ!^-, 'У^М^у^ед^у у’Ум^у^Ед^.у ^^М^у^Ед^у

при / = 0:

Uyv^X-^yj )   у \, у j , м^УУ^ь.

В качестве базисной функции возьмем функции Q^y^P,^^ где

	' у-Уу-1
^Ы=<	0,

Считая, что найдено приближенное решение смешанный задачи до t_n (w = 0,1,2,...) слоя включит ел ьно, для нахождения приближенного решения смешанной задачи на слое ^1+1 объединим систему разностных уравнений (4) каждого узла My^M^y^Ed^ и граничные условия (5) каждого граничного узла M^y^ E д£\ . В итоге получим систему линейных уравнений относительно компонентов векторов ¹¹1/ . Для того чтобы эта система линейных уравнений была замкнута, на граничнах узлах MyMfxyyJed^ , для компонентов решения n(x.yj) , для которых не поставлены граничные условия, возмем соответсвующие разностные уравнения из системы (4). В итоге получим замкнутую систему линейных уравнений. Решив эту систему методом главных элементов, получим численное решение задачи (1)-(3).

Следующая теорема, показывающая условную устойчивость разностной схемы, полученной методом конечных элементов для смешанной задачи (1)-(3).

Теорема. При выполнении условий разностная задача (4)-(6) имеет единственное решение ^h , причём при любых

^’^У и при всех 11 < выполняется неравенство

Здесь ll"L_m=./К“И’ , F = maxIlF" , ^ ^X^ + ЛуС , n = (n_x,n_y)- внешняя нормаль к .

На основе этих схем создана программа, решающая численно задачу (1)-(3) и рисующая график решения. При этом в случае не выполнения условий устойчивости (9) программа информирует об этом. Созданная программа проверена на основе вычислительных экспериментов в модельных задачах.

Пример:

Дано система

Q = {(x, y): 0 < x < 2,0 < у < 2} да

= О- -I- >o

x-2 да z/, = -yu₂ + (y² + 4y)/ ;

у = 0 да II_t = It₂ ~Xt;

У = 2 да u₂ = -2xii_} + (4x² + x + 2)1;

и начальными данными r = 0

Найти численное решение          системе удовлетворяющей граничных и начальных условий методом конечных элементов.

Точные решения системе следующие щ = xyt

II-, = (.V + y)t

Если количество разбиений по времени nt = 5 , количества разбиений по х и у соответственно равны wr = 20, /7 v = 20 ,то тогда разность между точным и приближенным решением во время Z = 10 равно ||г/ - v|| = 0,0823485 .Где

Лг/] Л                           f ri        Л

^   ' V J точное решение,           приближенное решение.

Рис. 3. Графиг .

Рис. 4. Графиг Ъ

Литературы:

1.Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.:Наука,1979,372с.

• 2 .С.К.Годунов, А.В.Забродин и др.Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука,1976. 75с.

• 3 .Марчук Р.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.-М.:Наука,1981.416 с.

• 4 . Applied Finite Element Analysis. Larry J. Segerlind. John Wiley & Sons, Inc. 1976. 289-308 с.

"Мировая наука" №6 (87) 2024