Алгоритм нелинейного расчета круговой составной арки

В работе исследуется несущая способность круговой составной упругопластической подъемистой арки, имеющей переменное сечение по длине. Стержни, составляющие арку, соединены между собой структурными связями. Для материала стержней арки устанавливается произвольная зависимость между деформациями и напряжением. В работе применяются основные положения общей теории составных стержней, разработанной А. Р Ржаницыным [7]. Не учитывается влияние касательных напряжений на развитие пластических деформаций.

Деформационный расчет неупругой составной арки базируется на использовании системы дифференциальных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние упругой круговой составной арки постоянного сечения по длине с упругоподатливыми связями сдвига и упругоподатливыми поперечными связями постоянной жесткости по длине арки [5]. Эта система уравнений предназначена для определения усилий в связях сдвига Ti и усилий в поперечных связях qi в n швах составной арки. Здесь i - индекс, означающий номер шва. В данной работе осуществлена замена указанной системы дифференциальных уравнений системой уравнений в конечных разностях, в которую введены параметры, учитывающие физическую и геометрическую нелинейность решаемой задачи. Круговая ось арки радиусом R делится по длине на m равных частей с образованием между полярными радиусами смежных сечений j и (j +1) угла ф . Используется метод шагового нагружения конструкции [3].

Описанная система конечно-разностных уравнений на к -м шаге нагружения будет иметь вид:

А ²Т^{(к )} /^² -Л²^^{( кк} > Т⁽ к 7 tR².:^к)g^{(к )} -1)Г^{( к )} - ij ' j у ^gi , i -1, j i -1, j V j ij g iij 7 ij

• — RZ ⁾ g» + 1, j T ^ - R- ⁾ d ^ 1, j S^ j - RZ ⁾ d ^⁾ S ⁾ - (1)

— R ²/'^{( к} )//^{( к} ) V^{( к} ) — R²^^{к )}o-^{( к} )— D ^{R z}ij d i , i + 1, j^Si + 1, j ^{R Z}ij ^gioj = 0,

A ⁵ S ) / ф + 2A ³ S J¹ ) / ф + A S j ) / ф +

+ ЛW ^к)(n^(к ) АГ^{( к} ) /^+n^{( к} )АГ^{( к}^tb+it^к ) АГ^{( к} ) М + ^{+ Л} 'i ij ⁽ p i , i -1, j ^A T i -1, j / ^{ф +} p ij ^A T ij / ^{ф +} p i , i +1, j ^A T i +1, j / ^{ф +}

+ l j1, j A S^ j / ф + l j ) A S j ) / ф + l JJ j A S% j / ф + A p ^ ) / ф ), где

g ⁽ ' ⁾ = g iij

E ^{( к} U-ija ij

e (к)   = - g, i+1, j

g (к) = - 1 +  aijbi-Vj gi,i-1,j e(к) a    Eequ(к) j .., ija ij ij xij

1            aj pequ(к) j ij xij a b i+1, j ,j

- E ⁽ к ). A- , . j z + 1, ja i + 1, j

E ⁽ к ) .A. , . ⁺ i + 1, ja i + 1, j

+

+

b ² ij

Pequ ( к ) т

E i + 1, j ^J xi + 1, j

,

Г equ ( к ) т

E i + 1, j J xi + 1, j

a ( ^к ) , g ir

= g ⁽ k ) ,

M o(к g(к) = - Mi,j “j gioj         тqeqk(к) т

E ij     J xij

d ^{( к} ) = iij

м o ^{( к }}b

M i+1, juij Eequ (k) j i ai-U

No ⁽ k ) N ij

No ⁽, ^k ) i + 1, j

E eu ^{( к} ) a ,. e⁸¹*^{11 (к} * A ■

b ij

pequ ( к ) т      редк ( к ) т ’

^Eij Jx ij    ^Ei + 1, j J x , i + 1. j

d (к) =__aij_____ i, i-1,j       Eequ (к) j , ij xij p (к)  = —bi-1, j—

E i,i-1,j    Eequ(к) j   ’ ij xij

d ^{( к} ) = i , i + 1, j

b ij

P equ ( к ) j

E i + 1, j ^Jx , i + 1, j

D ^{( к} ) = - pi , i + 1, j

p (к) =____aij_____ iij       т*е(к(к) т ij xij

C 1, j =

,

здесь s j₀ ^-1) и e j ^{- 1)} - краевые деформации в плоской стенке j -го симметричного тонкостенного поперечного сечения i -го стержня арки при ( к - 1)-м шаге нагружения; E equ ^{( к} ) - эквивалентный модуль деформаций для j -го поперечного сечения i -го стержня арки, учитывающий влияние деформаций сдвига, сжимаемость оси стержня и развитие пластических деформаций для к -го шага нагружения; M o ^{( к} ) и N o ^{( к} ) -изгибающий момент и продольная сила, возникающие в j -м сечении i -го стержня арки от действия внешней нагрузки в основной системе при к -м шаге нагружения без учета усилий, возникающих в связях сдвига и поперечных связях.

Выражение для определения E’ e'q’u ^{( к} ) было получено и опубликовано автором данной статьи ранее [9]:

^{( к} ) p ioj

I ( ^k ) = ij

petqtu(к) j ij xij

E eii ( к ) J ij xij

M^

, (2)

ai+1, j p equ (к) т , Ei+1, j Jx, i+1, j

b ij

Eequ(к)J     . ’ i + 1, j     x, i + 1, J

1 ^{( к} )    =

, l i . i + 1, j

p equ ^{( к} ) т , ^E i + 1,, J Jx , i + 1, J

pequ ( к ) j

E i + 1, j    x

M o ^{( к} )

/( к ) _ /( к )

, i-_r       -_н   ,

Б^{equ ( к} ) =М⁽.^к-r)h-(l-£⁽.^{к -1)})/Г(АА ^{к -1)}      к7^ЧБ О^{,( к -1)}V .1, ('4')

ij ij ij i/a ' \j\ ij            i y 1ij ijijzy-jij )^M xij J, )

где Mj-1) - изгибающий момент в j-м сечении i-го стержня арки, возникающий при (к - 1)-м шаге нагружения; hi; - высота j-го поперечного сечения ij i-го стержня арки; Aeij-1 = ej0- ) - eju- ); Yy 1 j ) -угол сдвига на j-м участке i-го стержня арки от единичной поперечной силы при (к - 1)-м шаге нагружения; Q'yj-1) - первая производная от поперечной силы, действующей в j-м сечении i-го стержня арки при (к - 1)-м шаге нагружения, которая в конечно-разностной форме имеет вид:

Q y Ц ^{- 1)} « ( Q y! ^- + 1 - Q y! ^- - ⁾ 1 )/(2 ф ).          (5)

Учет изменения жесткости швов Е,^ ) и n J) за пределами упругости осуществляется аналогично [8].

В (1) для определения центральных конечных разностей используются выражения [6]:

Pequ ( к ) т           гquqk ( к ) т

E i + 1, j ^Jx , i + 1, j     E ij     ^J xij

т ^{( к} ) _ T ij нии г -го стержня арки, возникающее от действия усилий T i ^к ) при к -м шаге нагружения; S j ) - изгибающий момент в j -м поперечном сечении i -го

сдвигающее усилие в j -м поперечном сече-

стержня арки, возникающий от действия усилий q i ^к ) при к -м шаге нагружения; a ij и b i - 1 j - расстояние от центра тяжести j -го поперечно)го сечения i -го стержня арки до разделяющих плоскостей ниже- и вышележащего шва; A j и J xij - площадь и момент инерции j -го поперечного сечения i -го стержня арки; е / ) и n j ) - коэффициенты жесткости соответственно связей сдвига и поперечных связей на j -м участке i -го шва арки при к -м шаге нагружения; E j ) - секущий модуль деформаций для осевого волокна j -го поперечного сечения i -го стержня арки, определяемый по диаграмме «напряжения - деформации» для материала i -го стержня арки, по деформации равной

A S j ) = ( S i ( к + 1 - S J - 1 )/2,

A p J ) = ( p j+ 1 - p j - 1 )/2,

A ² T j ^к ) = T i (J1 - 2 7^^к ) + T i W,

A ³ S j ) = ( S' к + 2 - 2 S j + 1 + 2 S< к - 1 - S< к - 2 )/ 2,

A ⁵ S j ) = ( S J+ з - 4 S' к + ₂ + 5 S J+ 1 -- 5 S<к - 1 + 4 S<к - ₂ - S<к - з )/2.

При известной функциональной зависимости между напряжениями и деформациями с т = f ( e ) для материала стержней арки краевые линейные относительные деформации в j -м сечении i -го стержня арки при ( к - 1)-м шаге нагружения являются функциями усилий

^{( к - 1)} _ ^{( к -1)}/Д ynslS ^{( к - 1)} n inS ^{( к - 1)}\ ^e ij 0        ^e ij 0 ⁽ M xij , ^P ij ),

e j ) = j + e j   2

e ^{( к - 1)} _ Д ^{к -1}Va /f ins ^{( к - 1)} P ^{ins ( к - 1}Л ^ iju        ^ iju ⁽ M xij , ^P ij Л

где M'" ^{( к - 1)}- главный момент эпюры нормальных напряжений относительно центра тяжести j -го поперечного сечения i -го стержня арки, возникающий при ( к - 1)-м шаге нагружения арки; P jn ^{( к - 1)}- главный вектор эпюры нормальных напряжений в этом же сечении при ( к- 1)-м шаге нагружения арки.

Краевые деформации e j ^{- 1} и e j ^{- 1)} определяются из решения системы уравнений равновесия для j -го поперечного сечения i -го стержня арки:

_М ins ( к - 1)/ ( к - 1)   ( к - 1>Х     ЛД1 к - 1)

M xij      (eij 0 , ^iju ) M ij , i ins (к-1)/ (к-1)    (к-1)s    дт( к-1)

i/        ^{( e} j 0 , ^ iju ) N j

где N j ^{- 1)}- продольная сила, действующая в j -м поперечном сечении i -го стержня арки и возникающая при ( к - 1)-м шаге нагружения.

Усилия, действующие в j -м поперечном сечении i -го стержня арки, находятся из выражений:

uc

Mins ⁽ k -Ч = у D ( к С ⁽ к ^-Ч + у K ( k ¹ c ⁽ k - 1) xj ^  ‘jk !     ‘jk !      ^ j ‘JV ^

к_х = 0                       v = 0

uc

Р n ( k - 1) ₌ у _с( k - 1) ( ^к - 1)    у ^ ^к - 1) ( ^к - 1)

‘/                        Чк 1       i/k f/v ‘/v ’ кх =0                      v=0

кости стенки и срединной поверхности цилиндрической полки; 5 j ^{- 1)} - радиальное смещение узловой точки v цилиндрической полки в j -м поперечном сечении i -го стержня при ( к - 1) -м шаге нагружения арки.

Определении 1Е ^{- 1)} осуществляется на основе использования упругого решения, полученного в [1] для чистого изгиба и распространенного в [2] на поперечный изгиб. Дифференциальное уравнение четвертого порядка изгиба цилиндрической полки стержня арки заменяется системой линейных алгебраических уравнений в конечных разностях. Полка по ширине делится на c равных частей длиной Ь 1 .

Система уравнений для определения радиальных смещений узловых точек v верхней цилиндрической полки запишется в виде:

Д 4 4 k - 1) / l4 ₄ 4( k - 1) 4 ^к - 1) _{= 4} 4( k - 1) -( k - 1) „

A 5ijv / b1 + 4aijv 5 ijv 4aijv ^ij0 R, (14) v = 0.. c, где A4^jv-1) - центральная конечная разность четвертого порядка, равная:

. 4 4 к - 1) _ 4 к - 1) __д4 к - 1) z-4 к - 1) _ ₄ 4 к - 1) ,4 к - 1) ^{A 5} ijv        ⁵ ij , v + 2 ⁴ Ь у, v + 1 ^{+ 6 5} ijv       ⁴Ь / , v - 1 ^{+ 5} j , v - 2 ,

где c j 1 ^h - нормальное напряжение в к 1 -м волокне Плоской стенки j -го поперечного сечении i -го стержня, определяемое по известной диаграмме «напряжения - относительные деформации» в зависимости от величины линейной относительной деформации к 1 -го волокна i -го стержня e j 1 ¹, которая определяется по формуле: ¹

Ё ⁽ k ^{- 1)}

4 _a 4 к - 1) = ‘j ^{0 ijv}          pequ ( к - 1)

E ijv

1 9^1     м ^{( k -1)} Ie^2qi^{li ( k -1}Л

¹²⁽¹ - Ц ‘/ 0 ^ ijv     )

1 2 R ²

e ^{( к - 1)} = a. e ( л ^{- 1} ) + b e ⁽ k ^{- 1)}, ⁱ / ^k 1              ⁱ / ^k 1 У ^{0             i} / ^k 1 ^{iju 9}

здесь E jk ^{- 1)} и / 2 j ^{- 1} - модуль деформаций и коэффициент Пуассона при ( к - 1) -м шаге загру-жения для волокна, расположенного на пересечении пло скости стенки и срединной поверхности верхней цилиндрической полки; t f - толщина верхней цилиндрической полки;

здесь a_{ijk 1} и b_{ijk 1} - коэффициенты линейной интер-поляции¹ при разбиении стенки ветви по высоте на и равных частей; D j^ ^{- 1} ) , С 'Д '' - коэффициенты линейной интерполяц¹ ии эп¹ юры нормальных напряжений в плоской стенке j -го поперечного сечения i -го стержня; с / ^{- 1)} - нормальное напряжение в v -м волокне цилиндрической полки j -го поперечного сечении i -го стержня, определяемое по известной диаграмме «напряжения - относительные деформации» в зависимости от величины линейной относительной деформации v -го волокна j -го поперечного сечения i -го стержня e j ^{- 1)}; к /^{1 - 1)} и U j ^{- 1)} - коэффициенты интерполяции эпюры нормальных напряжений в цилиндрической полке j -го поперечного сечения i -го стержня.

Относительная деформация e j ^{- 1)} определяется с учетом влияния искажения формы j -го поперечного сечения i -го стержня арки:

e j ^{- 1)} = £^ - 5 / ^{- 1)}/ R , (13)

где £^-1 - линейная относительная деформация волокна, расположенного на пересечении плос- й (к-ч Hij 0

1 1 e ^q - 2 / ,)

-⋅

2 2       E ,

_ 1 1 E V ^{( к - 1)}(1 - 2 / , )

= 2’2       E ,

E iv ^{( к - 1)} - эквивалентный модуль деформаций, учитывающий неупругие деформации цилиндрической полки в v -м продольном сечении цилиндрической полки j -го поперечного сечения i -го стержня при ( к - 1) -м загружении арки и равный

E equ ( к - 1) =             Mj~'⁾E , [3 + У .И - 2 V 1 ) / , ]             _ППХ

‘^jv       V 1 (1 - 4 / , + 4 / , ²) - 3(1 - 2 / , )] M j ^{- 1)} +A e j t X ’( )

где Ae j '' - разность краевых деформаций в продольном сечении цилиндрической полки, проходящем через узловую точку v ;

^V 1 =

Е ^{( k} _n ^{- 1)}

‘/ 0

.

E o

Аналогично составляется выражение для верхней цилиндрической полки.

Выражение для определения E eq ⁽ k ¹ получено автором данной статьи аналогично тому, как им было получено выражение для определения E j** ⁽ k ) в [9].

Первоначально расчет по формуле (19) осуществляется по параметрам напряженно-деформированного состояния, полученным при ( к - 2)-м шаге нагружения арки, а затем по уточненным деформациям, полученным из решения системы уравнений (9), вычисляется по (19) E eq" ^{( к} '' .

Учет деформированного состояния двухшарнирной арки осуществляется подстановкой в выражения для параметров gj ) и p j ) следующих выражений:

м °. ⁽ k ) = я Ок ) [sin e j ( r - w k ) )+ u j ) cos e j ] -- V ^k ) [ r (1 - cos e j ) + w j ) cos e j + u j ) sin e j ]+ M G ^{( k} ) ,

N O ^{( k} > = sin( e + в ) )[ H O ^{( k} ) + + ctg ( e j + e j ^k 0( 0 0 ) - G ) ),

где H iO ) и V k ) - горизонтальная и вертикальная опорные реакции в узловой точке i -го стержня арки с номером j = 0, определяемые по формулам:

H ⁾ = N ⁾ cos( a O ⁾ - в О ⁾ ) + Q O >sin( a O ⁾ - в О ) ), (23) V O^к ) = N O ’ sin( « O ) - в О ) ) - Q cos a ) - в О 0, (24) здесь aj ) - угол между касательной к оси i -го стержня арки в узловой точке с номером j = 0 и полярной осью; N j ) и Q^ - продольная и поперечная силы в узловой точке с номером j = 0 i -го стержня арки; w j ) и u j ) - перемещения центра тяжести j -го сечения г -го стержня арки соответственно в радиальном и касательном направлениях к оси i -го стержня недеформиро-ванной арки; e j - угловая координата j -го сечения недеформированного стержня составной арки; в _i j ^k ) - угол поворота j -го сечения i -го стержня арки; где G j ) и M iG ^{( к}' - главный вектор и главный момент внешней нагрузки, приходящиеся на i -й стержень арки, отделенный j -м сечением.

Для определения w j ) и u j ) используются известные дифференциальные зависимости [4], представленные в конечно-разностной форме,

R ²М^(к )

A2 w(к)/ ф + w(к) =--,(25)

ij ij ij xij вjk) = (Aw>/ ф + uj))/ R,(26)

Auj)/ ф - w = 0,(27)

где Au j ) , A w j ) и A ² w j ) - центральные конечные разности первого и второго порядка, равные:

v ') = u£, - u?> ,/2, i              I+1, j          I 1, /

A w j > = <

A ² w j ) = w + 1

-

- w^, /2,

2 w j ) + w j- 1 ,

M j ) - суммарный изгибающий момент в j -м поперечном сечении i -го стержня основной системы, равный:

M < k) = Mo(k) + MT(k) + Mj(к), (31) ij ij ij ij здесь MT(к) - изгибающий момент в j-м поперечном сечении i-го стержня, возникающий от действия усилий в связях сдвига, равный:

M T ⁽ k ) =- T О \b^ ,- T k ) a₄ , (32) i I 1, j I 1, / i i

M ij ^{( k} ) - изгибающий момент в j -м поперечном сечении i -го стержня, возникающий от действия усилий в поперечных связях, равный:

M j ⁽ k ) = - J J q ik ) ds ² + J J q ik ds ² = - S j ) + Sjj , (33)

здесь q ik ) - усилия в поперечных связях i -го шва, отнесенные к единице длины стержня, при к -м шаге нагружения.

Совместное решение вышеприведенных уравнений с учетом граничных условий позволяет выполнить деформационный расчет арки за пределом упругости.

С учетом ранее принятых обозначений про-варьированная система уравнений равновесия с учетом влияния сдвигающих сил и реакций поперечных связей примет вид:

[ я₀ , + (V _OI - Gj) ctg ( e j + в j .)]cos( e J + в ₁j^ 8в j +

+ [ ^ H_o , - csc²( в , + e^Y_0l- G_l:) §в _l j ]Sin( e J +

+вi;) + ^NT - 5P- = 0,

8 ^Hor ^{[sin e} j ⁽ R ^{- w}j ) ^{+ u} j ^{cos e} j ^{)] -}

- H , (sin e5wH - cos e^U) - o       j    ij         j j (34)

- v , (cos e^w„ + sin e^u ) + o             j       j              j      j

+ smT + sm'S + sMin = 0, ij ij xij

i = 1..( n +1),; j = 0.. m, где snT =-st + st^ , ij i i Г, j smT =-ST1_ljb1_17+ STa, ij i 1, j i 1 j             ij ij n+1 ( d T       d T      d T       d T )

У   *j-S£,_m + ^,j-S£_iu + -^-Sw„ + -ji-Su, , (35)

^ = 1 Ld _f , j 0    ^{i j 0}    a£ , j„     ¹ j"    8 w , j     ^{i j}   0 u, j    "J^{, (35)}

SMS =-5Su+ 58^

ij                      i , j                i , j

I d S, 5S„ = У — Ss, i ^1          ¹

, = 1 V ^os i j 0

9Sij ■ „ +— Ss . ,j 0     та,-         1 Ju ds l Hl

dS„       dS„

+ -i- 8w„ + — ij- Su,

dw,

eu,

Вариации внутренних сил определяются по формулам:

S M ™	=^ML Ss 4 0	• Ss j0	dM™ + ^ j Ss ju , 8s .ju	(36)
S P iin	ins =8J Pj- Ss 4 0	Ss j0	d P’Jns +       Ssy . iju US tiu	(37)

В (35) следует иметь в виду, что т _{п + 1} = 0 и q_{n + 1} = 0 . Определитель системы (35), составленный с учетом (35)–(37) из коэффициентов при вариациях независимых переменных решаемой задачи, представляет собой функционал потери устойчивости. Обращение в нуль этого функционала или смена знака его численного значения при подстановке в него параметров напряженно-деформированного состояния, полученного при решении системы уравнений (1), свидетельствует о критическом состоянии составной арки. Если устойчивость арки обеспечена, то производится перерасчет величины E_i^e_j^{qu ( k )} для следующего этапа нагружения арки и вновь производится ее деформационный расчет.