Алгоритм расчета математической модели эксплуатационных показателей МТА в среде MAPLE

Введение. Отличительной особенностью сельскохозяйственных процессов работы агрегатов является то, что они могут быть отнесены к категории случайных в вероятностностатистическом смысле.

Наиболее полное представление о влиянии переменного характера нагрузки на энергетические и эксплуатационные показатели МТА с использованием вероятностно-статистических оценок внешних воздействий изложено в трудах Л.Е. Агеева него учеников [1, 2, 3, 4].

Полученные ими зависимости позволяют определить степень изменения эксплуатационных показателей МТА по известным типовым характеристикам двигателя и трактора, а также параметрам неустановившейся нагрузки. При этом делаются следующие допущения:

• •    типовая регуляторная характеристика тракторного двигателя аппроксимируется кусочно-линейными и кусочно-параболическими функциями;

• •    зависисмости между входными и выходными переменными величинами рассматриваются в виде детерминированных случайных функций;

• •    распределение внешней нагрузки, действующей на агрегат, подчиняется нормальному закону.

Методика исследования. В качестве входной переменной (или аргумента) рассматривается крутящий момент на коленчатом валу двигателя - Мк. плотность распределения которого равна:

<р(М_к) = (сг_м - V2 ■ тг) ^vexpV"(M_k - М_кУ/(2- a^,                 (1)

где М_к - математическое ожидание (или среднее значение) момента на валу двигателя, Нм;

Основные вероятностно-статистические оценки выходных показателей МТА вычисляются по формулам [5, 6]:

• - математическое ожидание:

• У = Л Уф (У) dy - Г™ №ф Wx, (2) где <р(У) -

<р(Х) - плотность распределения вероятностей входной переменной;

fW - детерминированная функция, устанавливаемая в процессе стендовых и тяговых испытаний МТА.

Трудоемкость расчетов рассмотрим на примере прогнозного расчёта эффективной мощности двигателя постоянной мощности (ДПМ).

Математическое ожидание эффективной мощности ДПМ при вероятностном характере внешних воздействий и нормальном законе распределения аргумента М_к с учетом формулы (2) находится из выражения

N_№m = С ft(М_к)ф(М_к)dM_k + f^f₂(M_k)9(M_k)dM_k 4- fyfз(M_k)ф(M_k)dM_k (3)

Функция связи Мд_ПМ = f(M_k) устанавливается при аппроксимации стендовой характеристики тремя прямолинейными участками:

' fi(M_k) — Д) + В^М_к при М_к< М_н f(M_k) = f₂(M_k) = Д^ + В)М_к при М_н< М_к< М_п

( Гз(Мк)^Аз + В)Мкпр«Мк>Мн, где МН,МП - номинальный и предельный крутящий моменты на валу двигателя, Нм;

После подстановки

переменной

Д^Дз, Д3И Bf В₂, ^з - угловые коэффици- выражения (1) получим: енты, определяемые по стендовой (или типовой) характеристике двигателя.

t - (М_к - М_к)/а_м в формулу (3) и с учетом

+   |^2 + В₂^М_к + trr_M)]e 2dt+ I [Д3 + В₃ (М_к + £стм)]е 2 dt —

+51^x1 te zdt + A₃ е z dt + В₂М_к е 2 dt +

7-«                Jtn                   Jtn t2                      t2                           t2                            t2

• *В₂ам £^Hte"dt + А*з L* e"dt + B₃M_k C e"dt + В₃а_м Г te"dt], tn                        tn                           Ln

(2л) 2 te 2 dt = -

H)

, (2л) 2 e 2 dt = Ф(£„) - ®(t„); Jt_H

(2л) z I te 2 dt =

H) -

n) ,2n)

2 e 2 dt = 0,5 - Ф(1_П);

"'Гн                                                                       tf7

(2л) 7 te 2 dt =

n) ,Ф(і_н) = 2л) 2 е 2 dt;

_L ^t2 (p(t_n) - (2л) 26 2 ;

t_H - (M_H- M_k)/o_Mv\ t_n - (M_n - M_k)jo_M - соответственно номинальное и предельное значения переменной t (аргумента функции Лапласа).

С учетом приведенных определенных интегралов:

Nnniui - О,5(Д1 + д;) + (д; - Д2)ФСи + 0,5(В^ - В*₃)М_к +

+(Ву - В*₂)М_кФ^н) + (Д^ - А*₃)Ф_(1_П) + (В^ - в;)м_кФ(1_п) + d_M№ -j;)(p(t_H) + +(Вз — Вз)ф(^)] — 0,5(сГ + Ь*М_к) + +(ад + ЬіМ_к)Ф(і_н) + (а^ + Ь2М_к)ф(1_п) —

-v_MM_k[/)^(tJ + ^^(tJL где a*, dp a^.b*, b^.b^ - постоянные величины.

Реализуем данный алгоритм в Maple [7, 8].

Программа расчета среднего значения аффективной мощности двигате.тя Д-442 Б СИ-3 в эксаттуатадионных условиях.

> restart:М — 549.26;

н мн = 549.26

М := 668.41;

п

М_п = 668,41

М max

:= 732,35;

^-™.35

N о еН

:= 115.3;

Чл:=1153

N=n

— 115.3;

^еЯ-115.3

emax

:= 101.2;

^™л = 1012

(б)

'2

м

max

М

п

М

п

М

н

0;

еН

к! := 1.095659849

к2 := 1.216928231

(N -N)

( еН еГЦ .

(к2-1)

А, :=0

Л2 := 115.3

(Ю)

Аз

N=n

еП emax /

(kl-1)  5

А3 = 262.6972638

(П)

В1

М

н

В_х := 0.2099187998

(N — N )

__ ( emax ______ еП / ,

• 3 " , м - м ) ’

( max     □)

S3 := -0.2205192368

а₀ := 262.6972638

^ := -115.3

й2 := -147.3972638

»0 := -0.0106004370

^ = 0.2099187998

> Ш ~ (549.26 — Mk[j])/(Vm[i]-Mk[j]);tP := (668.41 — Mk[ j]) / (Vm[i]-Mk[ j]);

tH =

ІР

549.26 - Mk, ^ Mk^

668.41 - Mk

fot := evalf ( exp ( - Ш' 2 / 2) * 1 / sqrt (2 * Я));F :— evalf (int I exp ( -1A2 /2) * 1 / sqrt (2 * я), t = 0 ..tH) );

0.5000000000 ^ 549.26 ~ 1 Ж )2

И#^ .№^

fot := 0.3989422802 e              ³ ^

F = -0.5000000000 erf

0.7071067810 ( -549,26 + ^.)

Vmt Mk}

> fotl :— evalf (exp ( -tP л2 / 2) * 1 / sqrt(2 * Я) );Fl — evalf (int ( exp ( -t A2 /2) * 1 / sqrt (2 * Я) , t = 0 . .tP ) );

0.5000000000 [668.41 - 1. Ж)2

foil := 0.3989422802 e

Ит^М2

Fl := -0.5000000000 erf

' 0.7071067810 (-668.41 ^ Mk^

7m. Mk,

X                         ¹ J

N — ev:

«0 + М^Ш ) + (^j] 1 ai

‘Mk[ j 1 + a2)"Fl — Vm[i ■ Mk[ j ] ■ (b(■ fot + b. • fotl । );

jV:= 131.3486319 - a 00530021850 Mk.- 0.5000000000 (0.2099187998^.

- 115.3) erf

C 0.7071067810 (-549.26 + M&J 7m. Mk^

- 0.5000000000 (0.2205192368^

- 147.3972638) erf

0.7071067810 (-663.41 + Mk^ '

7m. M^           (

0 5000000000 /549.26 -l.№ i2

- 1. 7m_tMk. (0.08374548465 e

Vh^M?

i J

0.5000000000 /668.41 - 1. Ш i2 )

+ 0.08797444716 e

№i²№ i J

Задаем массив для коэффициента вариации> Vm := array(l ..5, [0.001, 0.083, 0.167, 0.25, 0.333]);

7т = j 0 001 0.083 0 167 0.25 0.333 |

• >    Mk ~ array(1 ..5, [ 467.88, 549.26, 601.57, 668.41, 735.25 ]);

Mk = j 467 88 549.26 601.57 668.41 735.25 ]                       (26)

• >    for i from 1 to 5 do for j from 1 to 5 do;

(tH, fot, F, tP, fotl, Fl, N, print(Vm = Vm[ i ], Mk — Mk[ j ], N1 = N) ) end do; end do;

7m =0.001, Mk =467.88, N1 = 98.21680805

7m = 0.001, Mk = 549.26, Ml = 115.2540020

7m =0.001, Mk =601 57, N1 = 115.3000000

7m =0.001, Mk = 668.41, Ml = 115.2411974

7m =0.001, Mk = 735.25, № = 100.5604948

Vm = 0.083, Мк =467.88, N1 = 98.16343162

Vm = 0.083, Мк = 549.26, N1 = 111.4680702

Vm = 0.083, Мк = 601.57, N1 = 114 0416994

Гм = 0.083, Мк = 668.41, N1 = 110.3533818

Ут = 0.083, Мк = 735.25, N1 = 99.62426746

Гм = 0.167,7^=467.88,7/7 = 96.92686319

Гм = 0.167, Мк = 549.26, N1 = 106.6953967

Гм = 0.167, Мк- 601.57, N1 = 107.9063570

Гм = 0.167, Мк = 668.41, N1 = 103.7656848

Гм = 0.167, М= 735.25. N1 = 94.83569255

Гм = 0.25, Мк =467.88, № = 94.22765756

Гм = 0.25, М = 549.26, № = 100.5751833

Гм =0.25, ^ = 601.57, № = 100.2949184

Гм =0.25, Мк- 668.41, № = 95.69704534

Гм = 0.25, Мк-135. 25, N1 = 87.55903892

Гм = 0.333, Мк — 467.88, N1 = 90.36228437

Гм = 0 333, М = 549 26,7/7 = 93 73082115

Гм = 0.333,7^ = 601.57,7/7 = 92,22002269

Гм = 0 333,7^ = 668 41,7/7 = 86.97565033

Гм = 0.333, Мк- 735.25, N1 =78.96318959

> plot| [ N. N1. №, NJ, №#], Mk[j ] = 300 ..700, !ab#h = [Mb, № ], tfnLabelfant= | ТД^Е,7_?BOLD, 18 |)

V^ (1 * Vjy = 8,3%; 2 -16,7%; 3 - 25,0%; 4 - 33,3%)

Рисунок 1 - Закономерности изменения эффективной мощности двигателя в зависимости от крутящего момента и коэффициента ее вариации

В (1), (2) и (3) строках задаются номинальный, предельный и максимальный момент на валу двигателя.

В (4), (5) и (6) строках - значения эффективной мощности, соответствующие номиналь ному, предельному и максимальному значениям крутящего момента на валу двигателя.

В строках (7) и (8) - коэффициенты.

В строках с (9) по (20) рассчитываются постоянные величины и угловые коэффициенты эффективной мощности двигателя.

В строке (21) рассчитываются аргументы функции Лапласа.

В строках (22) и (23) определяются табулированные плотности вероятности и интегральные функции Лапласа.

В строке (24) рассчитывается эффективная мощность двигателя.

В строках (25) и (26) задается массив для коэффициента вариации и крутящего момента.

Результаты исследований. Для вывода результатов расчета используется вложенный цикл.

• > with ( plots I :

ploOd\ N5, V(i] = О ..0.08, Mk[ j ] = 450 ..700. labels = I И, Mk, M], thickness = 2. labelf out = [ TIMES. BOLD. 18 ]) ;j

MR

Рисунок 2 - График поверхности отклика

В программе можно визуализировать результаты вычислений как в виде графика (рисунок 1), так и построив поверхность отклика (рисунок 2). Алгоритмы расчета энергетических и технико-экономических параметров МТА, реализованные в Maple, позволяют значительно снизить трудоемкость расчетов, установить оптимальные и рациональные режимы работы агрегатов, наглядно представить сложные графические объекты.