Алгоритм расчета рамной конструкции из составных упругопластических элементов

В работе излагается порядок расчета плоской рамы, включающей в себя составные стержневые элементы переменного сечения с ветвями, соединенными между собой по длине структурными связями в виде решетки из планок, раскосов, распорок, перфорированных листов и т. п. Проверка деформативности и несущей способности осуществляется на примере однопролетной рамы с жесткими узлами, имеющей произвольный неразветвленный ломаный контур. Рама имеет закрепления из своей плоскости в узлах и в промежутке между ними. Нагрузка, действующая на раму, вызывает в ее элементах в общем случае пространственный изгиб.

Расчетные формулы построены на основе использования приближенного выражения для кривизны оси стержней рамы. Для материала стержней устанавливается произвольная зависимость между деформациями и напряжениями. Влияние разгрузки не учитывается. Используется гипотеза плоских сечений. Учет деформаций сдвига осуществляется способом, предложенным Ф. Энгессером и С. П. Тимошенко [1]. Не учитывается влияние касательных напряжений на развитие пластических деформаций. Геометрическая неизменяемость поперечного сечения стержней обеспечивается постановкой поперечных диафрагм жесткости.

Деформационный расчет рамы за пределом упругости производится методом шагового нагружения конструкции [2]. При расчете рамы на каждом (у + 1 ) -м этапе нагружения используются полученные автором данной статьи в работе [3] формулы для определения эквивалентных модулей деформаций E³ j,( ^{у + 1)} и E j,^{( у + 1)} , учитывающих влияние деформаций сдвига.

£ экв ,( у + 1) xj

М .^} hyj (*$ j - / У Q j) h yj) J xj’

р экв ,( v + 1)

E yj

M^} h xj

( A s 2 V j - Y . Q ) h xj ) j

xp ^{( v} ) - _r^{( v} ) _ _r^{( v} ) Xp^(v ) - _r^{( v} ) _ _r^{( v} )

^аь 12 j = ^S 1 j ^s 2j , ^аь 12 j = ^S 1 j ^s 2j ,         ⁽³⁾

где M x ) и M y . ) - изгибающие моменты в j- м сечении от внешней нагрузки, действующие соответственно в плоскости рамы и в плоскости перпендикулярной к плоскости рамы при v-м нагружении; s j , E^j- ) и e\ j ) - краевые продольные относительные деформации в j- м сечении элемента при v -м загружении рамы; h y , h xj -высота j -го поперечного сечения элемента соответственно в плоскости и перпендикулярно плоскости рамы; Q y ) и Q j ) - поперечные силы, действующие в j -м сечении, соответственно в пло скости рамы и в пло скости перпендикулярной к плоскости рамы при v -м загружении; / 1 y и / 1 xj - углы сдвига соединительной решетки сквозного элемента от действия единичных поперечных сил соответственно Q y = 1 и Q y = 1 при v -м нагружении рамы (учет развития пластических деформаций производится по [4]); J xj и J yj - моменты инерции j -го поперечного сечения элемента.

При известной функциональной зависимости между напряжениями и деформациями с т = f ( s ) для материала стержневого элемента краевые продольные относительные деформации в j -м сечении элемента при v -м нагружении являются функциями усилий

Р(У) — р.АЛДНИ(v) ДyHV(V) рвн(V)X             /дд s1 j = s1 j (Mxj  , Myj  Pj   ),

p(v) — p(v)(1\Д6.(v) ДД6.(v) рвн(v)\ s2j = s2j (Mxj  ,Myj  Pj   ),

p(v) — p(v)('\ Дни(v) ДДни(v) Рвн (vh s3j = s3j (Mxj  ,Myj  Pj   ), где My(v) и My(v) - проекции вектора главного момента эпюры нормальных напряжений относительно центра тяжести j-го поперечного сечения, возникающего при v-м нагружении рамы; P™(v) - главный вектор эпюры нормальных напряжений в этом сечении при v-м загружении рамы.

Величины M j ^{( v )} , M y" ^{( v )} и P ™ ^{( v )} определяются из уравнений равновесия

M j ^{( v )} = M xj ) , M y" ^{( v )} = M yj ) , p y^{( v )} = N V^{v )} ,     (7)

где N ^{vv )} - продольная сила, действующая в j -м поперечного сечения стержневого элемента, возникающая при v -м нагружении рамы.

При известных величинах M xj ^{V )} , M y" ^{( v )} и P j ^{н ( v )} , используя (4), (5) и (6), можно найти в поперечном сечении относительные деформации F^V ^( v ) И ^( v ) ^{ции s} 1 j , ^s 2 j ^{и s} 3 j .

Используя (1) и (2), можно выполнить силовой расчет рамы за пределами упругости одним из известных методов строительной механики.

В случае использования метода сил для расчета рассматриваемой рамы, элементы которой изгибаются только в плоскости рамы, основную систему можно получить путем отбрасывания левой опоры рамы и приложением вместо отброшенных связей (в сечении 0) неизвестных сил X 1^{( v )} и X 2 ^{v )} и момента X 3 .. . В результате основная система будет представлять собой ломаный консольный составной стержень переменного сечения по длине. Этот консольный стержень делится по длине на m (в общем случае неравных) частей. По длине каждого из участков стержня между сечениями j и j - 1 физические и геометрические параметры рамы считаются по величине постоянными. Общий подход к деформационному расчету сжато-изогнутого сплошного упругого ломаного консольного стержня переменного сечения изложен в [5].

На первом этапе нагружения рассматриваемой рамы незначительной нагрузкой при линейной зависимости между деформациями и напряжениями величина эквивалентного модуль деформаций E j ⁶ будет отвечать линейной упругой работе материала и учитывать упругую работу соединительной решетки составных элементов рамы на сдвиг. При этих условиях осуществляется упругий расчет сдвигоподатливой рамы. В дальнейшем после расчета рамы по величине полученных в сечениях усилий M x ) и P_j ^{( )} , используя зависимости (4)-(7), определяются величины относительных деформаций S i j ) и s 2 j ) , уточняется величина у , j (учитывая развитие пластических деформаций по [4]), пересчитывается величина Е”^{е ( v )} и уже уточненная величина эквивалентного модуля деформаций используется для следующего этапа расчета рамы как упругой системы.

Для определения перемещений сечений основной системы рамы прямолинейные участки стержня рассматриваются как консольные стержни длиной lj, защемленные в узле j и имеющие свободный конец в узле (j -1). Свободный конец каждого из таких стержней будет загружен продольной силой N(v), поперечной силой Qj-),j, перпендикулярной к недеформиро-ванной осИ j -го стержня, и моментом Mj-уj, передающимися на j -й стержень со стороны стержня (j -1) и внешней нагрузки Fj-), приложенной в сечении (j -1). Силы и момент будут равны sjv) = X(v) as ) + x2v) cSj) + Fj’, (8)

Q jj - 1 = X 1^{( v} ) A Q ’ + X 2 ^V C Q + f Q .^ , (9)

M j - 1, j = X 1^{( v )} A M > + X 2 ^{V )} C Mj ) + X 3 ^V D Mj > + F M M j ) . (10)

В формулах (8), (9) и (10) коэффициенты при неизвестных и параметры FS.^, FQ^, FM) учитывают соответственно преобразования, связанные с X. ), X2v), X3v) и внешними нагрузками на длине рамы от сечения 0 до сечения (j -1) при определении усилий.

Линейные и угловые перемещения свободного конца j -го стержня определяются по формулам

s^{( v} ) _ v< ^V ) д(У ) ! v^{( v}^^ ) K ^ ⁾T')^{( v} ) -i- P^{( v} ) /113 ° j - 1 = X 1 A S, j - 1 + X 2 C S , j - 1 + X 3 D S,j - 1 + F S, j - 1 , ⁽¹¹⁾ a V = X V ) A j + X 2 ^{V )} C Vj - ₁ + X 3 ^V ) d £ ) _ _t + p j . (12)

В формулах (11) и (12) коэффициенты при неизвестных и параметры F jx , F V j - 1 учитывают соответственно преобразования,’ связанные с X V ) , X 2 ^V , X^{( v} ) и внешними нагрузками на длине арки от сечения 0 до сечения ( j - 1) при определении перемещений.

Приравнивая перемещения сечения 0 консольного стержня к нулю, получаем систему из трех уравнений для определения неизвестных X V ) , X V , X⁽₃ ^V ) с учетом линейных и угловых перемещений поперечных сечений рассматриваемой рамы.

В процессе описанного расчета на каждом V -м этапе нагружения проверяется устойчивость рамы в своей плоскости методом, изложенным в [6]. Для рассматриваемой рамы со-

ставляется и варьируется система уравнений равновесия в сечениях рамы

S M j = S M^B , S P j = 0,       (13)

где S M j - вариация моментов внешних сил относительно центра тяжести j -го поперечного сечения;

δ M^в j ^н =

∂ M^вн

T j °^£ 1 j ds \ j

_δ P_j вн ₌

_∂ P_j вн ds \ j

∂ M^в j ^н

+ —---SE2 j , dS2 j

3e\ j +

_∂ P_j вн dE 2 j

3S 2j .

В определитель системы (13), составленный из коэффициентов при вариациях независимых переменных, подставляются параметры напряженно-деформированного состояния, полученные из деформационного расчета рамы. В случае равенства нулю указанного определителя или смены знака его численного значения регистрируется величина критической нагрузки. Если устойчивость рамы обеспечена, производится перерасчет величины E j ^{( V} ) для следующего этапа нагружения рамы и производится вновь ее деформационный расчет.

• 2.    Биргер И . А . Общие алгоритмы решения задач теории упругости, пластичности и ползучести // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 61-73.

• 3.    Р о ч е в А . А . Исследование несущей способности сквозных упругопластических статически неопределимых рам переменного сечения // Труды молодых ученых: в 3 ч. Часть 1. СПб: СПбГАСУ, 2000. С. 187-192.

• 4.    Р о ч е в А . А . Исследование устойчивости стальных перфорированных внецентренно сжатых стержней в упругопластической стадии // Металлические конструкции и испытания сооружений: межвузовский тематический сб. трудов. №1 (134). Л. : ЛИСИ, 1977. С. 119-123.

• 5.    Пиковский А . А . Статика стержневых систем со сжатыми элементами. М.: Физматгиз, 1961. 394 с.

• 6.    Санжаровский Р . С . Устойчивость элементов строительных конструкций при ползучести. Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. 280 с.