Алгоритм реализации краевой задачи теории упруг ости микронеоднородных сред методом периодических составляющих

В работах [1,2] предложен новый метод решения стохастических краевых задач теории упругости микронеоднородных сред, основанный на использовании решения аналогичной краевой задачи для сред с регулярной структурой. Практическое применение этот метод получил при прогнозировании эффективных свойств композитов. В данной работе дается дальнейшее развитие метода периодических составляющих, позволяющее с единых позиций наряду с эффективными модулями упругости прогнозировать структурные поля деформирования в разупорядоченных композитах.

Рассмотрим стохастическую краевую задачу теории упругости микронеоднородных сред со статистически однородной структурой. Будем также предполагать, что микронеоднородная среда макроскопически однородна и квазиизотропна, геометрическая форма и свойства структурных компонентов детерминированы и заданы. Стохастическая краевая задача в отсутствии объемных сил состоит из замкнутой системы дифференциальных уравнений:

V • а - 0, е - def и, ст - 6 • s , (1)

с граничными условиями

—™ (е(г)й¹ V - е* ,                                             (2)

V которым, как известно [1], эквивалентны условия на поверхности S тела V:

us = s*x                                              (3)

при макроскопически однородном деформированном состоянии. В формулах (1), (2), (3) через ст, б, и и 6 обозначены структурные поля напряжений, деформаций, перемещений и модулей упругости соответственно, е*- заданное поле макроскопических деформаций.

Идея излагаемого ниже метода заключается в использовании в качестве основы решения аналогичной краевой задачи для среды с регулярной микроструктурой:

V ct(1” = о, = def u(p) , ст<р| = C(p)-E(1”, fe(p)(r)dV = e* ,                                      (4)

где u,p,, е|р|, о(р- - детерминированные периодические функции структурных перемещений, деформаций и напряжений , С(р) -тензор структурных модулей упругости среды с регулярной структурой. Предположим, что решение краевой задачи (4) нам известно [ 3 ] :

E(p)'(r) = N

С*(р) „ /с(р) Ц + ^с(р) (Г).-N(р) (т)\ , ст(и - С^" V, где С*(р) - эффективные модули упругости среды с регулярной структурой, Nlp)(r)-структурныс функции [3], (■■■) - оператор осреднения по представительному объему.

Ниже устанавливается важное свойсгво упругих микронеоднородных деформируемых сред. Если микронеоднородная среда макроскопически однородна и квази изотропна, перемещения границы S тела V, имеющего конечные размеры, детерминированы, дисперсии физических свойств среды конечны, структурные деформации - микроскопически гладкие функции координат, то существует случайный функционал ф(р)(9), зависящий от граничных условий, такой, что пульсации

о структурных деформаций е(г) связаны со структурными деформациями в регулярной среде е(р) соотношением:

е(г) = Ф(р)(0) е(р^(т) .(5)

Для доказательства соотношения (5) рассмотрим решение краевой задачи (6), которая приводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при нулевых граничных условиях:

,                V-fC^ ■ defu)" -V П, u|s=0,(6)

о , . о о / о о\ где                   П - 0- def и'^ + 9- def и- (9- def и ).

\/

Уравнения (6) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред с регулярной структурой С<р)(т) и перемещениями u(r), обусловленными действием фиктивных случайных объемных сил V П.

Вводя функцию Грина среды с регулярной структурой G(p)(r,г'), система уравнений (6) преобразуется в систему интегро-дифференциальных уравнений:

u(r) = jG(p)(r,r')(V'rr(r'))dV'.                          (7)

Для определения полей структурных деформаций необходимо знать градиент пульсаций структурных перемещений, поэтому дифференцируем (7):

Vu(r) = J VG^pVr,r')(V'n'(r'))dV .                      (8)

V

Уравнение (7) решаем методом последовательных приближений при ограничениях, сформулированных в виде макроскопической однородности и квазиизотропности микронеоднородной среды и микроскопической гладкости (в е /-окрестности микронеоднородной среды) структурных деформаций в регулярной структуре.

В первом приближении полагаем:

Vu (ry jVG^(p) V' (e • е^(р) )dV'.                       (9)

V

Для макроскопически однородной среды интегралы в (9) фактически распространяются на 8²/-окрестность микронеоднородной среды, где е^(р> -постоянны, поэтому соотношения (9) принимают вид

Vu (r)=VPfp)(1).E(p\                                    (10)

где                 Vp'p/" < JvGfp,(r,r') (V-0 )dV' ,

V

- (О у а р|р) (0,г)- тензор-функционал третьего ранга относительно физических свойств среды.

Подставляя (9) в (8), с учетом (10) получаем второе приближение:

Vu yVp

Vp(p)(2) f JvG(p)-(V' (0 •WplPi^dV'. V

Окончательно получаем:

Vu(r) = Vp(p)--E(p),

Vp(p) = У Vp(₽)W....

где                                     e          т(ii)

k=l'

Поскольку пульсации структурных деформаций определяются выражением s(r) = def u(r), то в силу (11) приходим к соотношению (5):

е^ф^ ..8(р),(|2)

где функционал Ф(р)(0) определяется соотношением:

Ф(рЧоу. detVp)(6)(13)

Полученные выше соотношения (12) и (13) позволяют получать более точные

численные результаты по прогнозированию эффективных свойств деформирования в разупорядоченных композитах по сравнению с основанным на среде сравнения с однородными свойствами .

и полей подходом.