Алгоритм траекторного сопровождения объектов пассивной системой позиционирования

В пассивных системах позиционирования, предназначенных для обнаружения и траекторного сопровождения малоразмерных движущихся в пространстве объектов [1], например, беспилотных летательных аппаратов (БПЛА), актуальна задача повышения точности определения пространственных координат и вероятности обнаружения объектов.

В последние годы удешевление производства БПЛА приводит к увеличению их количества и большей доступности как для профессионального, так и для личного использования. Небольшие БПЛА, летающие на малой высоте, являются серьезной угрозой при их несанкционированном проникновении на закрытые территории. Многочисленные случаи появления БПЛА в зонах безопасности аэропортов, над скоплением людей, в районах расположения военных объектов, а также использование их в противоправных целях делает задачу обнаружения и отслеживания особенно важной и широко обсуждаемой в научных кругах. Существуют различные системы для обнаружения малоразмерных целей, в том числе и БПЛА. Такие системы могут оснащаться акустическими [2, 3], радиолокационными [4, 5], телевизионными [6–9] и инфракрасными датчиками [10– 12]. Использование одного единственного датчика не всегда позволяет обнаружить объект, поэтому широко используются системы с совмещением различных пассивных [13, 14] или активно/пассивных датчиков [15, 16].

Однако наиболее неуязвимыми являются чисто пассивные системы. Для известных отечественных и зарубежных пассивных систем, в том числе перечисленных, решение задачи оценивания пространственных координат точечных объектов основано на эффекте стереопары, которое математически сводится к решению системы алгебраических уравнений, например [17, 18]. В основном оно рассчитано на оптические системы, в которых изображения объектов в системе позиционирования нескольких приёмников-стереопар появляется одновременно. В системах совмещённых оптических и радиотепловых сканирующих приёмников [18] происходит временная задержка при определении направлений на объекты радио-тепловыми приёмниками, что приводит к динамическим ошибкам, обусловленным движением объектов. Такие ошибки не учитываются в [17] и других подобных работах. Как следствие, понижаются точность определения пространственных координат и вероятность обнаружения объектов.

Для учёта динамических ошибок была предложена концепция пространственно-временной обработки наблюдений в системе пассивных сканирующих приёмников [18], которая получила реализацию в работе [19]. Однако алгоритм совместной пространственной и временной обработки в [19] оказался сложным, перегруженным многокритериальностью при определении оценок скорости по оценкам координат во времени. Данная работа улучшает результаты [19] разработкой алгоритма последовательной пространствен- ной и временной обработок наблюдений с учётом оценок скорости.

Что касается идеи пространственно-временной обработки, то она давно известна под названием первичной и вторичной обработок, применяемых в классической радиолокации при обнаружении траекторий движения целей. Этот термин встречается и в современных работах, например [20].

Цель данной работы заключается в разработке алгоритма обнаружения и оценивания пространственных координат движущихся малоразмерных объектов пассивной системой позиционирования нескольких приёмников, независимо фиксирующих угловые направления на объекты.

Формализация и постановка задачи. Пассивная система позиционирования состоит из n оптических приёмников ( n ≥ 2), совмещённых с таким же количеством антенных радиотепловых приёмников. Приёмники распределены в пространстве и независимо наблюдают m малоразмерных движущихся объектов ( m ≥ 1). Обозначим: P k - матрица поворота осей прямоугольной системы координат k -го приёмника по отношению к 1-му приёмнику; b k - базовый вектор, соединяющий центры систем координат 1-го и k -го приёмников; N – число периодов наблюдения длительностью τ каждый; a k ( i , j ) - орт вектора направления на j -й об ъе кт ( j = 1, m ), зафиксиро ва нный в i -м периоде ( i = 1, N ) k -м приёмником ( k = 1, n ) в момент времени t k ( i , j ).

Совмещение оптических и радиотепловых сканирующих приёмников позволяет соединить преимущества высокого пространственного разрешения оптических приёмников и температурных характеристик наблюдаемых объектов в радиотепловых приёмниках.

Орт вектора направления на точечный объект (или центр тяжести изображения малоразмерного объекта) определяется в k -м оптическом приемнике как:

a_k = ( a _{x , k} , a_{y , k} , a_{z , k} ) ^T = ( - x_k , - y_k , f_k ) ^T / µ _k , (1)

µk = xk + yk + fk , где xk, yk – координаты пикселя центра изображения объекта в матрице оптического приёмника; T – символ транспонирования; fk - фокусное расстояние оптической линзы k-го приёмника.

В то же время орт a k в угловых координатах угла места θ k и азимута ϕ k направления на объект в радио-тепловом приёмнике, совмещённом с k -м оптическим приёмником, задан выражением:

a_k = (cos θ _k sin ϕ _k , sin θ _k , cos θ _k cos ϕ _k ) ^T , (2) где ϕ k отсчитывается в горизонтальной плоскости от оси O k Z k , направленной в сторону объекта, а угол θ k -в вертикальной плоскости относительно плоскости O k X k Z k .

Из (1), (2) следует:

φ k = arctg( a x / a z ) = acctg[ - x k /( f k µ k )], (3) θ k = arcsin( a y ) = arcsin( - y k / µ k ) .

Угловые координаты (3) передаются радиотепло-вому приёмнику для управления антенной в направлении ϕ k , θ k и, соответственно, получения температурной характеристики объекта.

Достаточно е у словие сопряжения n – 1 пар векторов a 1 , a k , k = 2, n , направленных на один и тот же объект, в отдельном периоде наблюдения записывается в виде системы алгебраических уравнений в векторной форме:

r ₁ a ₁ - r_kP_ka_k + ∆ M _{1, k} - b_k = e_k , k = 2, n , (4)

где r 1 и r k – наклонные дальности до объекта в системах 1-го и k -го приёмников; Δ M 1, k – вектор смещения координат объекта M 1 = r 1 a 1 в системе 1-го приёмника за время Δ t 1, k = t k – t 1 между моментами фиксации объекта в 1-м и k -м приёмниках; e k – вектор ошибок сопряжения, обусловленных ошибками измерения координат ортов. Система уравнений (4) представляет собой уравнения связи координат векторов M 1 = r 1 a 1 и M k = r k a k направлений на объект и отличается наличием вектора смещения Δ M 1, k , который с учётом вектора скорости V 1 = ( ν 1, x , ν 1, y , ν 1, z ) T или ускорения V 1 ′ = ( ν′ 1, x , ν′ 1, y , ν′ 1, z ) T движения объекта в системе координат 1-го приемника определяется как AM 1, k = V 1 A t 1, k или

∆ M 1, k = V 1 ∆ t 1, k + V 1 ^′ ( ∆ t 1, k )²/2, ∆ t 1, k = t k - t 1 . (5)

Без учёта смещения ∆M1,k система (4) принимает вид r1a1 -rkPkak -bk = ek, k=2,n, (6) который обычно используется для взаимной ориентации систем координат или определения дальностей r1 и rk до объекта [17, 18].

Задача заключается в нахождении оценок m ˆ числа объектов m , а также пространственных координат M 1 ( i , j ) и траекторных парам етр ов V 1 ( i , j ) или V 1 ′ ( i , j ) движения j -х объекто в ( j = 1, m ˆ ) в последовательности i -х периодов ( i = 1, N , N – число периодов), необходимых для дальнейшего управления траекторным сопровождением объектов.

Альтернативный алгоритм траекторного сопровождения

Данный алгоритм реализует последовательную пространственную и временную обработку наблюдений в системе двух приёмников ( n =2) и отражает существующий подход, когда оценки скорости объектов определяются по найденным оценкам их положений.

Пр остран ств енная обработка наблюдений a k ( i , j ), k = 1, n , j = 1, m , ос уще ствляется независимо в каждом i -м периоде ( i = 1, N ) и сводится к следующему.

1. Осущес твл яется п ер ебор пар векторов a 1 ( i , j 1 ) и a 2 ( i , j 2 ), j 1 = 1, m , j 2 = 1, m . Для каждой пары векторов a 1 и a 2 (символы i , j 1 , j 2 опускаем) решается система трёх уравнений (6) с двумя неизвестными в матричной форме, где a 2 = P 2 a 2 :

AR - b ₂ = e ₂ ^

^

a x ,1 a y ,1

a z ,1

- a X ,2

- ^a У ,2

- ^a Z ,2

r ₁

r ₂

b . y ,

b z ,2

в П x,2

e y ,2 e z ,2

Решением (7) по критерию минимума квадрата евклидовой нормы || e 2 ² вектора ошибок сопряжения (метода наименьших квадратов) является вектор R ^ˆ оценок дальностей r 1 и r 2 :

R = ( 1 1 1 ₂) T = ( A T A ) ^{- 1} A T b ₂.                        (8)

2. Находятся векторы пространственных координат:

M i ( i , j i ) = 1 ( i , j i ) a i ( i , j 1 ),

M 2 ( i , j 2 ) = I 2 ( i , j 2 ) a ₂( i , j ₂)

для каждой j 1 , j 2 -й пары, и вычисляется показатель J -индикатор ошибки сопряжения для данной пары в соответствии с (6) по формуле:

J = || e 2 ||² = ( M 1 - P 2 M 2 - b 2 ) T ( M 1 - P 2 M 2 - b 2 ). (9)

3. Величина J сравнивается с порогом допустимых ошибок p , выбираемым эмпирически, исходя из оценок качества работы алгоритма. При выполнении неравенства J < р координаты вектора M 1 ( i , j 1 ) переписыв ают ся в новой j -й нумерации в вектор M ( i , j ), j = 1, m i , координат предполагаемого объекта в системе 1-го приёмника, где m i – количество таких векторов, образованных в i -м периоде. Число m i даёт первичную оценку числа объектов наблюдения в i- м периоде, а вектор M ( i , j ) – первичные оценки пространственных координат j -го объекта.

Вре менная обработка векторов M ( i , j ), j = 1, m i , i = 1, N , осуществляется в последовательности i -х периодов следующим образом.

1. В первых двух периодах ( i = 1,2 ) пе ребором па р векторов M (1, j 1 ) и M (2, j 2 ), j 1 = 1, m 1 , j ₂ = 1, m ₂ определяются и запоминаются для каждой j 1 , j 2 -й пары начальные оценки параметров траекторий предполагаемых объектов – пространственного положения M ^ˆ _s и скорости V ^ˆ _s в новой s -й нумерации:

M s = M (1, j 1 ), V s = ( M (2, j 2 ) - M (1, j )) / A t^ ,

At1,2 = t (2, j 2) -t (1, j 1), где s = 1, n2 , n2 - число вариантов соединения векторов (групп), образованных во втором периоде (n2 = m1m2). Устанавливается начальное значение показателя s-й группы Js = 0, s = 1, n2 . Запоминаются номера векторов, вошедших в состав s-х групп, по ко-

торым в дальнейшем восстанавливаются моменты времени их образования.

• 3.    В третьем и посл едующих периодах ( i = 1, N ) векторы M ( i , j ), j = 1, m i , найденные в i -м периоде на этапе пространственной обработки, ставятся в соответствие s -й группе векторов , об разованных в предыдущем ( i - 1)-м периоде ( s = 1, n - 1 ). На основе оценок параметров траектории s -й группы вычисляется вектор экстраполированных координат на момент времени t ( i , j ) формирования M ( i , j ): MI Э = M f s + V s A t , где A t - временной шаг экстраполяции, определяемый с учётом t ( i , j ) и запомненным ранее моментом образования s -й группы.

• 4.    Если невязка – норма разности векторов AJ = || M ( i , j ) - M s³ || не превышает величины допустимого отклонения р , то вектор M ( i , j ) включается в состав s -й группы, которая получает новую k -ю нумерацию: k = 1, n i , где n i – число новых продолжений групп, полученных в i -м периоде. Для каждой вновь образованной k -й группы вычисляется показатель группы J k = J_s + A J в виде суммы (по числу периодов) невязок. Запоминаются номера векторов, вошедших в состав k -й группы, и вычисляются оценки траекторных параметров M_k и V_k этой группы по всем векторам, вошедшим в состав группы с учётом моментов времени их образования. Все данные запоминаются в порядке возрастания показателей J k , k = 1, n i .

• 5.    По окончании N -го периода из всего массива групп последовательно выделяются m ˆ групп с наименьшими значениями показателей J k и не имеющими общих присоединённых к группам векторов (допускается малое количество пересечений). Траекторные параметры выделенных групп передаются на траекторное сопровождение m ˆ обнаруженных объектов.

В таком виде пространственная обработка сопровождается динамическими ошибками из-за неучтённых смещений A M 1, ₂ вектора M 1 ( i , j 1 ) за время A 1 1, ₂ = t ( i , j ₂)- 1 ( i , j 1 ). Неучтённые динамические ошибки сопряжения передаются на этап временной обработки. Для преодоления данного недостатка предлагается следующий алгоритм.

Алгоритм траекторного сопровождения

Данный алгоритм также реализует последовательную пространственную и временную обработку наблюдений, но в системе трёх приёмников ( n =3) и с учётом оценок скорости. Пр остран ств енная обработка наблюдений a k ( i , j ), k = 1, n , j ' = 1, m , осуществляется в каждом i -м периоде ( i = 1, N ) и сводится к следующему.

1. Осуществляется пер ебор тро ек векторо в a 1 ( i , j 1 ), a 2 ( i , j 2 ), a з ( i , j 3 ), j 1 = 1, m , j 2 = 1, m , j 3 = 1, m . Для каждой тройки векторов a 1 , a 2 , a 3 (символы i , j 1 , j 2 , j 3 опускаем) решается система шести уравнений (4) с шестью неизвестными в матричной форме с учётом смещения A M 1, k = V 1 A 1 1, k :

AX - B = E , (10)

где

'ax,1   - aX,2     0     At2    0     0

ay,1   - ay,2     0      0    At2

A =   a z ,1    - a Z ,2      0      ^{0     0}

ax ,1     0     — a X,3   At з ay ,1     0 — a У ,3 0    A t з

_ az_д       0      - a Z ,3 0     0

a 2 = P₂ a ₂, a 3 = P ₃ a ₃,

X = ^{( r} 1 ^r 2 ^r 3 v x ,1 v x ,2 v x ,3 ) T ,

B = (bx ,2 by ,2 bz ,2 bx ,3 by ,3 bz ,3 ),

E = (ex,2 ey,2 ez,2 ex,3 ey,3 ez,3 ),

^A t 2 = t ⁽ i , ^j 2 ) ^- t ⁽ i , ^jX ) , ^A t 3 = t ⁽ i , ^j 3 ) ^- t ⁽ i , ^j 1 ) .

Решением (10) по критерию минимума квадрата евклидовой нормы J = || E ||² = ( AX - B ) T ( AX- B ) вектора ошибок сопряжения является вектор оценок

X = ( r r r v x ,1 v y ,1 v z ,1 ) T = = ( A T A ) ^{- 1} A T B = A ^{- 1} B ,

или в случае плохо обусловленной матрицы A : X = A ⁺ B , где A ⁺ - псевдообратная матрица.

Из состава вектора оценок X берутся составляющие вектора скорости: V 1 = ( v_{x 1}, v_{y 1}, v_{z 1}) T . Для получения оценки дальности r ˆ₁ используется более устойчивый к обращению матрицы алгоритм (7), (8) для двух приёмников ( n =2), основанный на решении системы трёх уравнений r 1 a 1 - r ₂ P ₂ a ₂ + AM 1, ₂- b ₂ = e ₂ путём замены вектора b ₂ на B ₂ = b ₂ - A M 1 ₂ = b ₂ - V 1 A t ₂ :

AR - B ₂ = e ₂ о

о

a x ,1

a y ,1

a z ,1

a ‘2 x ,

^- a y ,2

^- a z ,2

r 1

r 2

b x ,2 b y ,2 b z ,2

^- v x ,1 ^A t 2

^- v y ,1 ^A t 2

^- v z ,1 ^A t 2

e x ,2

e y ,2

e z ,2

^

^ R = (г

r 2 ) T = ( A T A ) ^{- 1} A T B ₂.

2. Запоминаются векторы оценок пространственных координат в системе 1-го приёмника в j -й нумерации, найденные с учётом перемещения объектов за время наблюдения:

M (i, j) = r( i, j) a1(i, J1), j = 1, m. , m, = m3, и векторы оценок скорости изменения координат V1(i,j), j = 1, mi , которые используются на этапе временной обработки. В отличие от показателя (9) показатель J = || E |2 = (AX - B) T(AX- B) оценок (11) для любого варианта троек векторов a1 (i, j1), a2 (i, j2), a3 (i, j3) близок к нулю, поэтому сброс ложных троек осуществляется на последующем этапе временной обработки, который сводится к следующему.

1. В первом периоде ( i = 1) фиксируются начальные оценки положения M s = M (1, j ) и скорости

V s = V 1 (1, j ), j = 1, n 1 . Устанавливается на чальное значение показателя s -й группы J s = 0, s = 1, n 1 . ___

• 2.    Во втором и посл едующих периодах ( i = 2, N ) векторы M ( i , j ), j = 1, m i , найденные в i -м периоде на этапе пространственной обработки, ставятся в соответствие s -й группе векторов, образованных в предыдущем ( i – 1)-м периоде. Вычисляется вектор экстраполированных координат на момент времени t ( i , j ) формирования M ( i , j ): Mt Э = Mt s + V s A t , где A t - временной шаг экстраполяции.

• 3.    Если невязка A J = || M ( i , j ) - M s³ || не превышает величины допустимого отклонения в , то вектор M ( i , j ) включается в состав s -й гру пп ы, которая получает новую к -ю нумерацию: к = 1, n i , где n i - число новых продолжений групп, полученных в i -м периоде. Для каждой вновь образованной k -й группы вычисляется суммарный (по числу периодов) показатель группы J_к = J s + A J . Запоминаются номера векторов, вошедших в состав k -й группы, и оценки траекторных параметров M_k = M ( i , j ) и V_k = V 1 ( i , j ). Все данные запо ми наются в порядке возрастания показателей J k , к = 1, n i .

• 4.    По окончании N -го периода из всего массива групп последовательно выделяются m ˆ групп с наименьшими значениями показателей J k и не имеющими общих присоединённых к группам векторов (допускается малое количество пересечений). Траекторные параметры выделенных групп передаются на траекторное сопровождение m ˆ обнаруженных объектов.

В таком виде осуществляется последовательная пространственная и временная обработки наблюдений в системе трёх приёмников. Пространственная обработка позволяет найти оценки пространственных координат и скорости их изменения, а временная обработка – сбросить ложные группы векторов.

Результаты моделирования

Работа алгоритмов проверялась на линейных моделях траекторий движения нескольких БПЛА. Приёмники общим числом n =2 и n =3 располагались на дуге окружности с ортогональным положением линий визирования и принимали информацию об ортах направлений на движущиеся по близким траекториям БПЛА с временной задержкой A 1 2 и A 1 3 . Наблюдения осуществлялись в последовательности N = 5 периодов, каждый длительностью τ = 1 с, и на малой дальности порядка 100–200 м. На множестве реализаций эксперимента вычислялись следующие показатели качества работы алгоритмов: d ср – среднее расстояние между найденным положением объекта в N -м периоде и моделируемым положением (как норма разности векторов) и с d - среднеквадратическое отклонение (СКО) расстояния d ; Pr m – оценка вероятности обнаружения всех m объектов, вычисляемая на множестве реализаций путём идентификация моделируемых и найденных траекторий по критерию близости поло-

жений моделируемых и обнаруженных объектов в последнем периоде наблюдения.

В табл. 1 представлены указанные характеристики, полученные для альтернативного алгоритма в зависимости от числа объектов m и временной задержки A t при СКО с x = 0,1 м ошибки измерения отдельной координаты вектора M ( i , j ), распределённой по нормальному закону с нулевым средним.

В табл. 2 представлены характеристики, полученные для предложенного алгоритма в зависимости от числа объектов m и временных задержек A t 2 и A 1 3 .

Табл. 1. Моделирование альтернативного алгоритма

	m =1		m = 2
A t	0,1	0,25	0,10	0,25
d cp / с d	1,25/0,89	3,10/2,30	1,28/1,03	3,30/2,40
Pr m	1,00	0,71	0,97	0,60

Табл. 2. Моделирование предложенного алгоритма

	m	= 1	m	= 2
A t 2 / A t 3	0,1/0,2	0,3/0,4	0,1/0,2	0,3/0,4
d cp / с d	0,15/0,07	0,15/0,07	0,37/0,95	0,55/1,34
Pr m	1	1	0,96	0,95

Из сравнения данных двух таблиц следует вывод об очевидном преимуществе второго алгоритма, учитывающего скорость изменения координат при вычислении оценок положения.

Аналитическое исследование точности оценок дальностей

Точность оценок R = ( r_p r k ) T в (8) для некоррелированных координат вектора e 2 характеризуется ковариационной матрицей K a _r ошибок оценивания AR = R - R вида: K _{A R} = с 2 ( A T A ) ^{- 1}, где с 2 - дисперсия отдельной координаты вектора e ². С учётом того, что скалярное произведение ортов равняется косинусу угла между ними, выражение матрицы K a r для двух приёмников ( n =2) раскрывается следующим образом:

ст²      1 cos а

--e— sin2 а cos а 1

где а - угол между векторами а 1 и а ₂ направлений на объект.

Так как главная диагональ матрицы (12) содержит дисперсии ошибок A r 1 и A r 2 оценок дальностей R , то СКО ошибки оценивания дальности в первом приёмнике определится как с [ А r 1 ] = с е / 1 sin а| .

Отсюда следует, что наименьшая ошибка определения дальности С т_Ш = с е достигается при а = 90 ° , то есть при ортогональном взаимном положении векторов a 1 и a k . Это даёт рекомендацию для управления наблюдением: взаимное положение приёмников в стереопарах должно обеспечивать направления на объект, близкие к ортогональному.

При оценивании дальностей в системе трёх при-

ёмников (n =3) без оценок скорости ковариационная матрица вектора ошибок AR = (Ar1, Ar2, Ar3) T :

^K a r =

2 e

sin² а + sin² P

1    cosа    cosP cosа 1 + sin2 P cosаcosP cosPcosа cosp1 + sin2 а

, (13)

где α и β – углы между векторами a 1 , a 2 и a 1 , a 3 . Из (13) получаем СКО ошибки определения дальности в первом приёмнике: с [ А r 1 ] = с e / -^sin² а + sin² Р .

В сравнении с n = 2 при а = в = 90 ° погрешность при n =3 уменьшается в 2 раз.

Увеличение числа приёмников ( n >3) приводит к дальнейшему уменьшению погрешности. При этом в алгоритмах меняется только размерность используемых матриц.

Заключение

Предложен алгоритм траекторного сопровождения объектов в трёхмерном пространстве, основанный на последовательной пространственной и временной обработке наблюдений в пассивной системе позиционирования двух и трёх ( n =2,3) совмещённых оптических и радиотепловых приёмников.

Данный алгоритм сравнивается с альтернативным алгоритмом, отражающим существующий подход к обнаружению и траекторному сопровождению объектов без учёта временных задержек формирования векторов направлений на объекты в приёмниках стереопар. Предлагаемый алгоритм реализует новое положение, основанное на учёте временных задержек в системе наблюдения, что приводит к заметному повышению точности определения положения объектов и вероятности обнаружения всех объектов.

Аналитическое исследование точности оценок дальности даёт рекомендацию взаимного расположения стереопар приёмников, обеспечивающего ортогональность направлений на объект при управлении наблюдением.

Предложенные алгоритмы могут быть использованы в существующих оптических и радиотепловых пассивных системах позиционирования, предназначенных для наблюдения за движущимися объектами.

Публикация подготовлена в рамках выполнения научных исследований, осуществляемых ФГБОУ ВО «РГРТУ» в соответствии с государственным контрактом 2.7064.2017/БЧ.