Алгоритмы дифференцирования удельной кадастровой стоимости кадастровых кварталов

Тульского государственного университета

В настоящее время практически во всех городах России проведена государственная кадастровая оценка земель по специальной методике [1]. В качестве минимальной единицы измерения выбран кадастровый квартал. В результате проведенных работ получены показатели качества (коэффициенты относительной ценности) и удельные кадастровые стоимости земель кадастровых кварталов для различных видов функционального использования. Всем земельным участкам, находящимся в квартале, приписываются одни и те же значения удельной кадастровой стоимости, хотя их различное расположение внутри квартала говорит о необходимости дифференцирования удельной кадастровой стоимости для правильного отражения реальной стоимости земельных участков. Поэтому более правильным было бы использовать подход, позволяющей оперировать в качестве минимальной единицы измерения отдельным земельным участком. Скорее всего, методика [1] при соответствующей доработке могла бы использоваться и в таком режиме, но для этого необходимо было бы иметь координаты не кварталов, а земельных участков, т. е. предварительно должна быть проведена огромная работа по инвентаризации всех земель поселений. Таким образом, вариант с использованием кадастровых кварталов существенно упростил практическую реализацию методики в масштабах всей страны как по средствам, так и по времени. Проделана большая работа по определению удельной кадастровой стоимости кварталов. Получены определенные результаты. И возникает вопрос, как использовать полученные результаты для дифференцированного определения удельной кадастровой стоимости отдельных земельных участков внутри кварталов.

Для этих целей в статье предлагается алгоритм дифференцирования кадастровой стоимости внутри кадастровых кварталов. Для каждого квартала определяется некий условный центр по формулам:

nn

X jc = < 2 X , )/ n ; Y jc = ( 2 Y i )/ n ,                           (1)

=1                           i=1

где X_jc , Y_jc – декартовые координаты условного центра j -го квартала;

X_ji , Y_ji – декартовые координаты поворотных точек j -го кадастрового квартала;

n – количество поворотных точек j -го кадастрового квартала.

Полученным по зависимостям (1) точкам присваивается значение удельной кадастровой стоимости Zjk (j – номер кадастрового квартала, k– тип функционального использования земельного участка) в соответствии с государственной кадастровой оценкой в зави- симости от типа функционального использования земельных участков. Теперь результаты кадастровой оценки можно представить дискретной функцией:

Z jk = F ( X jc , Y jc ).                                               (2)

Для определения удельной кадастровой стоимости в любой произвольной точке кадастрового квартала построим аппроксимирующую функцию по полученным точкам (1,2). В общем случае количество точек равно количеству кварталов, т. е. эта величина может составлять несколько десятков, и построение аппроксимирующей функции будет представлять довольно сложную, громоздкую и не всегда решаемую задачу. Поэтому предлагается другой, упрощенный способ, который состоит в следующем. Пусть нам дана произвольная точка на территории населенного пункта, в которой необходимо определить удельную кадастровую стоимость. Построим аппроксимирующую поверхность в окрестности этой точки. В качестве аппроксимирующей функции возьмем следующую функцию:

Z = a х X + b х Y + c х X х Y + d х X² + e х Y² ,                   (3)

где Z – удельная кадастровая стоимость;

• X , Y – координаты точки;

• a , b , c , d , e – неизвестные коэффициенты аппроксимирующей функции.

Вводя ошибку определения удельной кадастровой стоимости ξ , перепишем формулу (3) таким образом [2]:

Z = a х X + b х Y + c х X х Y + d х X² + e х Y² + ξ .                (3а)

Для нахождения неизвестных коэффициентов a , b , c , d и e используем метод наименьших квадратов. Выразим из выражения (3) ошибку ξ :

ξ_i = Z_i – ( a х X_i + b х Y_i + c х X_i х Y_i + d х X_i² + e х Y_i² )

и составим функционал:

n

W = ( ∑ ξ i ² )/ n ,                                    (4)

i = 1

где n – число точек.

Найдем коэффициенты a , b , c , d , e , доставляющие минимум функционалу W . Для этого запишем частные производные от (4) по неизвестным коэффициентам a , b , c , d , e и приравняем их к 0. Получим линейную систему из пяти алгебраических уравнений с пятью неизвестными a , b , c , d и e . Решая эту систему, запишем аналитические выражения для неизвестных коэффициентов:

е = Р 1 / D 1 ; d = ( Q 1 – e х C 12 )/ C 11 ; c = ( M 1 – d х B 12 – e х B 13 )/ B 11 ;

b = ( K₁ – c х A₁₂ – d х A₁₃ – e х A₁₄ )/ A₁₁ ;

a = (KTX – bх Kxy– cх Kxxy – dх Kxxx – eх Kxyy)/Kxx, где

D 1 = C 22 – C 12 х C 21 / C 11 ; Р 1 = Q 2 – Q 1 х C 21 / C 11 ; Q 2 = М 3 – М 1 х В 31 / В 11 ; С 21 = В 32 – В 12 х В 31 / В 11 ; С 22 = В 33 – В 13 х В 31 / В 11 ; Q 1 = М 2 – М 1 х В 21 / В 11 ; В 31 = А 42 – А 12 х А 41 / А 11 ; В 32 = А 43 – А 14 х А 41 / А 11 ; В 33 = А 44 – А 14 х А 41 / А 11 ; М 3 = К 4 – К 1 х А 41 / А 11 ; В 21 = А 32 – А 12 х А 31 / А 11 ; В 22 = А 33 – А 13 х А 31 / А 11 ;

В 23 = А 34 – А 14 х А 31 / А 11 ; М 2 = К 3 – К 1 х А 31 / А 11 ; В 11 = А 22 – А 12 х А 21 / А 11 ;

В 12 = А 23 – А 13 х А 21 / А 11 ; В 13 = А 24 – А 14 х А 21 / А 11 ; М 1 = К 2 – К 1 х А 21 / А 11 ;

A41

A43

A 31

=

A₃₃ =

A 21 =

A 24 =

^A12 ⁼

K_уyy – K_xy х K_xуу / K_xx ; A₄₂ = K_хуyy – K_xхy х K_xуу / K_xx ;

K ххyy – K xхх х K xуу / K xx ; A 44 = K уууу – K xуу ² / K xx ; K 4 = K tуy – K tx х K xуy / K xx ;

K xxyy – K xy х K xxx / K xx ; A 32 = K xxхy – K xхy х K xxx / K xx ;

K xxxx – K xxx ² / K xx ; A 34 = K xxyy – K xyy х K xxx / K xx ; K 3 = K txx – K tx х K xxx / K xx ;

K xyy – K xy х K xxy / K xx ; A 22 = K xxyy – K xxy ² / K xx ; A 23 = K xxxy – K xxx х K xxy / K xx ;

K xyyy – K xyy х K xxy / K xx ; K 2 = K txy – K tx х K xxy / K xx ; A 11 = K yy – K xy ² / K xx ;

K xyy – K xy х K xxy / K xx ; A 13 = K xxy – K xy х K xxx / K xx ; A 14 = K yyy – K xy х K xyy / K xx ;

K 1 = K ty – K tx х K xy / K xx ;

nnn

K. = (2ZX.)/П; Ky = (2ZY)/П; Kxy = (2ZXY)/n i=1                                i=1i nnn

K„ = (2ZX2)/n Kyy = (2Z Y2)/n Kx = (2ZX?)/n i=1                                  i=1i nnn

Ky = (2YX)/n; Kxxy = (2XX.)/n; Kxxx = (2x?)/n i=1                                    i=1i nnn

K xyy = ( 2 Y 2 X )/ n ; K y = ( 2 Y i ² )/ n ; K y = ( 2 Y 3 )/ n ;

i=1                                     i=1i nnn

K xxyy = ( 2 Y² X?)/ n ; K xxxy = ( 2 XX,)/ n ; K xyy = ( 2 XY³ )/ n ;

i=1                                         i=1i nn

K xxyy = ( 2 X /)/ n ; K yyyy = ( 2 Y² )/ n .

i=1i

Для уменьшения вероятности допущения ошибок в точках X_jc , Y_jc рекомендуется выбирать около пяти точек, т. е. n = 5. В качестве таких точек будем брать определенные по формулам (1) точки, соответствующие условным центрам кадастровых кварталов. Выберем пять кадастровых кварталов, расположенных в окрестности искомой точки. Это можно сделать так. Находим расстояния от искомой точки до точек X_jc , Y_jc по формуле:

R j = ^ ( X - ^X c ²² + ( Y - Y C ) .

Полученные значения расстояний R_j используем для упорядочения точек X_jc , Y_jc по возрастанию R_j . Тогда первые пять точек и берем для построения аппроксимирующей функции (3).

Итак, алгоритм расчета кадастровой стоимости конкретного земельного участка можно сформулировать следующим образом:

Шаг 1 . Определяем условные центры всех кварталов по формулам (1). Эта операция выполняется один раз и повторяется только при внесении изменений в кадастровые кварталы.

Шаг 2 . Определяем условный центр земельного участка по тем же формулам (1). Этот шаг выполняется в том случае, если известны координаты поворотных точек земельного участка. Если же известно местоположение участка на карте по каким-то ориентирам, например строениям, то в качестве условного центра берется любая точка участка.

Ш а г 3 . По формуле (6) находим расстояния от условного центра участка до условных центров кварталов и выбираем пять самых близких кварталов к заданному земельному участку.

Ш а г 4 . По формулам (5) рассчитываем параметры математической модели (3).

Ш а г 5 . По формуле (3) рассчитываем значение удельной кадастровой стоимости для земельного участка.

В описанном алгоритме принимается допущение, что удельная кадастровая стоимость остается постоянной в границах оцениваемого земельного участка. Очевидно, что это допущение справедливо, если размер земельного участка значительно меньше размера кадастрового квартала. Если же это условие не выполняется, то для вычисления средней удельной кадастровой стоимости всего земельного участка необходимо проинтегрировать двумерную функцию (3) в его границах. Но в этом случае границы участка обязательно должны быть описаны через координаты поворотных точек.

Кадастровая стоимость является основной базой для исчисления земельного налога. Предложенный алгоритм позволяет дифференцировать кадастровую стоимость по земельным участкам, а значит, и дифференцировать земельный налог, обеспечивая, таким образом, правильность, точность и справедливость налогообложения.