Алгоритмы обработки измерительной информации об объектах, методах и средствах влагометрии при оценивании влажности твердых веществ

В настоящее время оценивание влажности твердых веществ заданного объема V и массой m от сотен тонн до нескольких килограммов производится на основе обработки конечной совокупности результатов измерений влажности, специальным образом отобранных и подготовленных в различные моменты времени t , проб вещества массой от нескольких килограммов до нескольких граммов, полученных в лабораторных условиях. Алгоритм оценивания влажности вещества объема V заключается в вычислении общего среднего результата измерений [1].1 Показатель точности оценивания влажности вещества определяют в виде дисперсии, являющейся суммой дисперсий ошибок пробоотбора, пробоподготовки и измерений в лабораторных условиях с заданными весовыми коэффициентами [1]. Эти дисперсии оценивают по алгоритмам статистического контроля показателей качества нештучной продукции, основанных на теории дисперсионного анализа, позволяющим получить оценки дисперсий путем статистической обработки соответствующих массивов экспериментальных результатов оценивания влажности, полученных в течение длительного времени на разных предприятиях при контроле разных партий данной продукции. При этом в период времени, затрачиваемый на конкретное оценивание, предполагается неизменность во времени количества влаги и других компонентов химического состава вещества в любых элементах его объема, а совокупность обрабатываемых результатов измерений рассматривается как случайная статистическая выборка, состоящая из независимых величин [1, 2].2

В дальнейшем оценку дисперсии оценивания, проведенную для данного вещества, регламентируют в соответствующих стандартах на методы

испытаний и контроля качества продукции, содержащих методику оценивания ее влажности, и приписывают всем результатам оценивания влажности данного вещества на конкретных предприятиях. Оценку пригодности методик оценивания влажности для конкретного предприятия, как правило, не проводят. Пересмотр оценок дисперсии оценивания происходит примерно раз в 10 лет при пересмотре стандарта. Контроль точности результатов оценивания влажности вещества объема V обычно ограничивается только контролем дисперсии обрабатываемых результатов измерений. Так как реализация данного алгоритма оценивания в полном объеме требует больших временных и материальных затрат, в большинстве стандартов на методы испытаний и контроля продукции, предусматривающих процедуры отбора и подготовки проб вещества для оценивания влажности, в качестве показателя точности оценивания используют показатель точности измерений влажности.

Основной недостаток применения этого алгоритма во влагометрии связан с отсутствием учета при оценке величины влажности и показателей точности оценивания влияния в явном виде объекта, применяемых методов и технических средств, а также наличия возможных пространственно-временных корреляций оцениваемой величины, связанных с процессами внутреннего и внешнего вла-гообмена в твердых веществах - объектах влаго-метрии, что в конечном итоге часто не позволяет обеспечить оценку и контроль возможных систематических ошибок оценивания. Это отмечается в недавно появившихся международных стандартах, в которых предложен алгоритм учета временной нестабильности влажности вещества, связанный с оценкой временного тренда величины влажности и ее соответствующей ковариационной функции на заданном периоде оценивания [1,2].

В настоящей работе для учета характерных особенностей влагометрии твердых веществ предлагается алгоритм обработки измерительной информации об объектах, методах и средствах вла-гометрии, в принципе позволяющий учитывать их влияние при каждом конкретном оценивании влажности вещества.

• 1.    Постановка задачи

• 2.    Функционал преобразования входной информации и алгоритм статистического оценивания влажности

Оцениваемой величиной в заданные моменты времени t является влажность в виде массовой доли влаги [3] x(V, m, t) в твердом веществе - объекте оценивания заданного объема V и массой m с матричными характеристиками xd(V) = (г, Р d, cd, V), где г - объемная пористость; рd - плотность; cd - обобщенный вектор, характеризующий химический состав сухой основы влажного твердого вещества. Доступны для измерений следующие величины: конечные совокупности величин массо- вой доли влаги и матричных характеристик вещества массой m0 и объемом V0 (m0 < m, V0 < V совпадает с зоной измерения влагомеров или объемом отбираемых для измерений проб вещества), вектора наблюдений - x(V0, t) и xd (V0) соответственно; конечный набор параметров методики оценивания величины x(V, m, t), включая параметры условий оценивания методик пробоотбора, пробоподготовки и измерений, образующих вектора ^(V, Vy, Vp, V„ t), y(V, Vy, t), p(V, V, t), n(V, V, t) соответственно. Будем считать, что технические и метрологические характеристики, применяемые в методике оценивания величины x(V, m, t), известны и образуют вектор х(t). Определенные таким образом доступные для измерений вектора, характеризующие состояние объекта, применяемых методик и технических средств, образуют вектор входной информации xI (V, m, t) при оценивании величины x(V, m, t). Тогда в общем случае, учитывая случайный характер векторов xI (V, m, t) и x(V, m, t) в период времени оценивания T, задача оценивания величины x(V, m, t) сводится к задаче построения функционала преобразований вида

F ( x I (V , t ), x ( m , V , t )) = 0, t е [ 0, T ] , (1) а также к разработке алгоритма получения статистических оценок величины x(V , m , t ) путем обработки результатов измерений компонентов вектора x I (V , m , t ) с применением модели (1).

В общем случае функционал преобразований (1) может быть представлен в виде модели, полученной в рамках теории случайных процессов диффузионного типа [4, 5]. Однако, если ограничиться только задачей оценивания влажности твердых веществ, не подвергающихся при t е [0, T] технологическим воздействиям, когда объект и условия, параметры методик и характеристик технических средств оценивания являются однородными в пространстве и стабильными во времени, т. е. когда величину x(V, m, t) и вектор xI (V, m, t) при t е [0, T] можно считать случайными стационарными временными функциями, то функционал преобразований (1) можно построить в виде линейного преобразования вектора xI (V, m, t) типа [6]. В этом случае оптимальной в среднеквадратичном смысле оценкой величины x(V, m, t) по результатам измерений компонентов вектора xI (V, m, t) будет оценка в виде условного математического ожидания случайной величины x(V, m, t) относи- тельно случайного вектора измерений входной информации xI (V, m, t). Если известны совместная плотность распределения случайных векторов x(V, m, t) и xI (V, m, t), плотность распределения вектора xI (V, m, t), то оценку величины x(V, m, t) можно получить по формуле Байеса [4].

В простейшем, но практически важном для влагометрии твердых веществ гауссовском случае рассматриваемых распределений при t е [ 0, T ] и условии R ( t ) - невырожденная ковариационная матрица, согласно теореме о нормальной корреляции оценку x(V , m , t ) можно получить в явном виде

x ( t ) = M ( x ( t )) + R xx I ( t ) R - ( t )( x , ( t ) - M ( x , ( t )), (2) где M ( • ) - знак математического ожидания; R_xx, ( t ) — взаимная ковариационная матрица векторов x(V , m , t ) = x ( t ) и x I ( m , V , t ) = x , ( t ). При этом величины x ( t ) и A x ( t ) = x ( t ) - x ( t ) независимы, x ( t ) - случайная величина с нормальным распределением N ( M ( x ( t )); R xx, ( t ) R - (t ) R xx , ( t )), R x _X/ ( t ) -транспонированная матрица R xx, ( t ); величина A x ( t ) имеет математическое ожидание M ( A x ( t )) = 0 и ковариацию ^R A x ⁽ t ) = ^R x ⁽ t ) ^- R xx , ⁽ t ) ^R - ⁽ t ) R xx , ⁽ t ) . В рамках этого алгоритма критерием качества оценки A x ( t ) считают величину

M((x(t) - x(t))2) = Sp [RAx (t)] < M((x(t) - (x(t))2), где Sp [.] обозначает след матрицы; x(t) - произвольно допустимая оценка x(t) по x, (t). Предложенный алгоритм будет доступен для реализации, если в заданные моменты времени t е [0, T] измерений x, (t) известна априорная информация о величинах математических ожиданий и ковариационных функций случайных векторов x(t) и x, (t) либо возможно многократное воспроизведение процедуры оценивания x(t)и x, (t) одного и того же вещества заданного объема V в одни и те же моменты времени t е[0, T], в одних и тех же элементах объема вещества V0, т. е. несколько реализаций случайных процессов x(t) и x, (t). Последнее можно реализовать при оценивании x(t) в отсутствие процедур пробоотбора и пробоподго-товки при использовании неразрушающих вещество методов измерения компонентов вектора x(V0, t). Однако в реальной практике влагометрии, как правило, при конкретном оценивании доступна для измерений только одна реализация процесса x(t), и ее оценивание производят по конечному числу результатов измерений x, (t), полученных в дискретные моменты времени t е[0, T] в ограниченной совокупности объемов вещества V0 , возможно не перекрывающих полностью заданный объем V . В этом случае в алгоритме, реализуемом согласно (2), можно сочетать обработку имеющейся априорной и текущей измерительной информации о статистических характеристиках процессов x(t) и x, (t). Тогда оценивание величины x(t) можно проводить в рамках последовательных итерационных алгоритмов, например, по типу рекуррентной фильтрации Калмана. В качестве начальных оценок статистических характеристик x(t) можно использовать оценки, полученные численными методами, например, методом Монте-Карло.

Можно построить следующий алгоритм получения априорной информации о статистических характеристиках процессов x ( t ) и x , ( t ) при решении задач влагометрии, когда математические ожидания величин x ( t ) и x , ( t ) считают независящими от времени t е [ 0, T ] , а в качестве показателя точности оценивания x ( t ) и x , ( t ) принимаются величины A x ( t , T ) = x ( t ) - M ( x , T ) и A x , ( t , T ) = x , ( t ) - M ( x , , T ) соответственно. Тогда из (2) следует

A x ( t , T ) = R xx , ( t ) R -¹( t ) A x , ( t , T ). (3)

Выражение (3) определяет взаимосвязь между точностью информации о влажностном состоянии твердого вещества Ax(t, T) и точностью получения входной измерительной информации Ax, (t, T). Алгоритм оценивания величины Ax (t, T) по Ax, (t, T) аналогичен рассмотренным ранее алгоритмам. В качестве значений ковариационных матриц можно принимать их статистические оценки, получаемые на этапах разработки и внедрения методик оценивания x(t) на основе (2), а в качестве значений математических ожиданий M (x, T) и M(x,, T) их референтные значения, полученные методами повышенной точности или с помощью эталонов [7]. Отметим, что решение как прямого, так и обратного уравнения вида (3) позволяет оценить предельно допустимые для данной измерительной задачи статистические характеристики величин Ax(t, T) и Ax, (t, T), а также оценить оптимальные значения (или их ограниченную область) компонентов, образующих вектора ^(V,Vy,Ve,V0,t), Y(V,Vy,t), P(V,Ve,t), n(V,V0,t), при которых модуль математического ожидания и дисперсия величины Ax(t, T) будут минимальны. В дальнейшем эти оценки можно будет использовать в качестве априорной информации в алгорит- мах оценки пригодности и контроля по показателям точности применяемых для оценивания величины x(t) методик и технических средств.

Учитывая, что в области влагометрии твердых веществ явный вид функционала (1) можно установить лишь эмпирически на основе обработки соответствующего массива экспериментальных данных о зависимости между случайными векторами x ( t ) и x I ( t ), необходимо для каждого конкретного вещества в условиях конкретной задачи проводить проверку адекватности его представления линейной моделью и выполнения условий применимости уравнений типа (2), (3).

Заключение

Предложенные алгоритмы обработки входной информации позволяют получить в заданные моменты времени tе [0,T] совокупность оценок влажности x(t) твердого вещества, заданного объема V , показателей их точности Ax(t), включая оценку возможных систематических ошибок, путем статистической обработки входной информации об объектах, методах и средствах влагометрии xI (t). В зависимости от назначения в дальнейшем эти оценки могут использоваться в качестве входной априорной измерительной информации при решении задач разработки, внедрения, функционирования и контроля работоспособности систем технических средств влагометрии твердых веществ. Выражения (1)-(3) можно положить в основу построения алгоритмов обработки информации и принятия решений при оценке изменчивости, неоднородности по физико-химическим свойствам и временной стабильности объектов; опре- делении пригодности и эффективности, контроле по показателям точности применяемых методик и технических средств влагометрии твердых веществ; испытаний, опробования и контроля по показателю влажности промышленных партий продукции, в том числе в условиях ее промышленного производства и переработки.