Алгоритмы символьных вычислений на основе корневых деревьев для оценки возможностей управления
Автор: Рогалев А.А.
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau
Рубрика: Математика, механика, информатика
Статья в выпуске: 4 т.18, 2017 года.
Бесплатный доступ
Представлены методы и алгоритмы для оценки возможностей управления, в которые входит определение возможности приведения управляемой системы в заданную точку y * фазового пространства. Для этого вычисляются границы множества достижимости управляемой системы - множества точек фазового про- странства, в которые возможно сдвигаться вдоль траектории управляемой системы, и проверяется включе- ние точки y * во множество достижимости. Подобные задачи часто встречаются на практике, например, при оценке маневренных возможностей летательных аппаратов. Оценки маневренных возможностей должны быть достаточно точными и реализуемыми за малое время. Описанные алгоритмы основаны на символьных формах представления решений. При реализации этих алгоритмов подвергаются обработке, а также хранят- ся числовые данные и символьные данные. Для оценки областей значений выражений, построенных формула- ми, исследуются структуры символьных данных, включающие формальные линейные комбинации корневых помеченных деревьев. Операции над корневыми помеченными поддеревьями выполняются при вложении структуры данных в ассоциативный набор данных. Возможны сокращения членов символьных формул, если неперестановочные операторы записываются через перестановочные операторы. Такие алгоритмы умень- шают время вычисления операторов, в которых присутствуют производные, часто экспоненциально. Приво- дятся примеры применения этих методов. Среди этих примеров можно отметить оценки для модели управ- ления «машина Дуббинса», представляющей систему обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка и описывающей движение беспилотного летательного аппарата (БПЛА). Поскольку скорости полета нахо- дятся в интервале 30-65 км/ч, который типичен для БПЛА, а скорость ветра на высоте 30-200 м над уровнем земли почти всегда превышает 18 км/ч, то БПЛА должны эффективно маневрировать в воздушном потоке. Вводя параметризацию кривой длинной дуги, постановка этой задачи формулируется геометрически. Это позволяет исследовать границы множеств достижимости в каждый момент времени. Анализ структуры множеств достижимости дает полезную информацию для оценки возможностей управления.
Озможности управления, множества достижимости, области значений, символьные данные, корневые деревья
Короткий адрес: https://sciup.org/148177765
IDR: 148177765 | УДК: 519.62+681.3.06
Algorithms of symbolic computations based on root trees for evaluating the capability of the control process
The article presents the methods and algorithms for evaluating management capabilities. These methods also determine the possibility of bringing the controlled system to a given point y * in the phase space. A set of reachability is a set of points in the phase space into which it is possible to move along the trajectory of the controlled system. It is necessary to check whether the point y * is included in the reachable set. Such problems are often encountered in practice, for example, when assessing the maneuverability of aircraft. Estimates of maneuverability should be accurate enough and implemented in a short time. The algorithms described in the article are based on the symbolic forms of solutions. When these algorithms are implemented, numerical data and character data are processed, and also are stored. To evaluate the ranges of values of expressions constructed by formulas, the article explores the structures of character data, including formal linear combinations of root labeled trees. Operations on the root tagged subtrees are performed by nesting the data structure in an associative data set. Reductions of the members of symbolic formulas are possible, if non-commutative operators are written through permutation operators. Such algorithms reduce the time of computation of operators in which derivatives are present, often exponentially. The article gives the examples of the application of these methods. Among these examples, we can mention the “Dobbins machine” control model, which represents the system of ordinary differential equations of the third order and describes the motion of an unmanned aerial vehicle (UAV). Since the flight speeds are in the range of 30-65 km/h, which is typical for UAVs, and the wind speed at an altitude of 30-200 m above the Earth level almost always exceeds 18 km/h, UAVs must effectively maneuver in the air flow. This allows us to examine the boundaries of reachable sets at each instant of time. An analysis of the reachable sets provides useful information for evaluating management capabilities
Список литературы Алгоритмы символьных вычислений на основе корневых деревьев для оценки возможностей управления
- Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. M.: Наука, 1977. 392 с.
- Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 319 с.
- Chernousko F. L. State Estimation for Dynamic Systems. Boca Raton: CRC Press, 1994. 304 p.
- Овсеевич А. И., Шматков А. М. К вопросу о сопоставлении вероятностного и гарантированного подходов к прогнозу фазового состояния динамических систем//Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2007. № 4. С. 11-16.
- Черноусько Ф. Л. Эллипсоидальные аппроксимации множеств достижимости управляемых линейных систем с неопределенной матрицей//Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60, № 6. С. 940-950.
- Куржанский А. Б., Фурасов Б. Д. Задачи гарантированной идентификации билинейных систем с дискретным временем//Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2000. № 4. С. 5-12.
- Кнут Д. Э. Искусство программирования. Т. 2. Основные алгоритмы. Т. 2. Основные алгоритмы. 3-е изд. М.: Вильямс, 2000. 832 с.
- Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Иностранная литература, 1963. 832 с.
- Пацко Б. В., Пятко С. Г., Федотов А. А. Трех-мерные множества достижимости нелинейных управляемых систем//Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2003. № 3. С. 8-16.
- Тятюшкин А. И., Моржин О. В. Численное исследование множеств достижимости нелинейных управляемых дифференциальных систем//Автомати-ка и телемеханика. 2011. Вып. 6. С. 160-170.
- Финкельштейн Е. А., Горнов А. Ю. Алгоритм квазиравномерного заполнения множества достижимости нелинейной управляемой системы//Известия Иркутского государственного университета. Сер. «Математика». 2017. Т. 19. С. 217-223.
- Новиков В. А., Рогалев А. Н. Построение сходящихся верхних и нижних оценок решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33, № 2. С. 219-231.
- Рогалев А. Н. Включение множеств решений дифференциальных уравнений и гарантированные оценки глобальной ошибки//Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, № 6. С. 80-94.
- Rogalyov A. N. Computation of reachable sets guaranteed bounds//Proceedings of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Information Technology -Control, Diagnostics, and Automation (ACIT -CDA 2010). Calgary, Canada: ACTA Press, 2010. B6. Р. 132-139.
- Рогалев А. Н. Вычисление гарантированных границ множеств достижимости управляемых систем//Автометрия. 2011. Т. 47, № 3. С. 100-112.
- Rogalev A. N. Calculation of Guaranteed Boundaries of Reachable Sets of Controlled Systems//Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2011. Vol. 47. № 3. P. 287-296.
- Рогалев А. Н., Рогалев А. А. Численный расчет включений фазовых состояний в задачах наблюдения за движением самолета//Вестник СибГАУ. 2012. № 1(41). С. 53-57.
- Рогалев А. Н., Рогалев А. А. Численные оценки предельных отклонений траекторий летательных аппаратов в атмосфере//Вестник СибГАУ. 2015. Т. 16, № 1. С. 97-104.
- Grossman R. Evaluation of expressions involving higher order derivations//J. Math. Systems, Estimation, and Control. 1991. № 1. Р. 91-106.
- Grossman R., Larson R. G. Hopf-algebraic structures of families of trees//J. Algebra. 1989. Vol. 126. Р. 184-210.
