Аналитическая оценка частоты собственных колебаний плоской решетки

Введение. Предлагается новая схема плоской статически определимой регулярной решетки. Стержни решетки соединены шарнирами. Цель исследования - вывести формулу зависимости от числа панелей первой частоты собственных колебаний узлов, наделенных массами, каждая из которых имеет две степени свободы в плоскости решетки. Жесткость всех стержней принята одинаковой, опоры (подвижный и неподвижный шарниры) недеформируемыми. Другая цель исследования - найти в аналитической форме зависимость усилий в наиболее сжатых и растянутых стержнях от числа панелей. Материалы и методы. Используется приближенный метод Донкерлея определения нижней оценки собственной частоты колебаний решетки. Жесткость решетки находится в аналитической форме по формуле Максвелла - Мора. Усилия в стержнях и реакции опор определяются из уравнений равновесия, составленных для всех узлов решетки. Обобщение результата на произвольное число панелей выполняется методом индукции с применением операторов символьной математики Maple по аналитическим решениям ряда задач для решеток с различным числом панелей. Результаты исследования. Нижняя аналитическая оценка первой частоты колебаний хорошо согласуется с численным решением для минимальной частоты спектра колебаний конструкции. Найдены формулы для усилий в четырех наиболее сжатых и растянутых стержнях и их линейные асимптотики. Все необходимые преобразования производятся в системе символьной математики Maple. Обсуждение и заключения. Полученная зависимость первой частоты колебаний решетки от числа панелей, массы и размеров конструкции имеет компактную форму и может быть использована как тестовая задача для численных решений и при оптимизации конструкции.