Аналитический расчет алгоритма обезвешивания для активной системы компенсации веса

В современной практике верификации конечно-элементных моделей аэрокосмических конструкций широкое применение нашли модальные испытания [1–4]. Данный метод позволяет получить экспериментальные динамические характеристики объекта, что служит надёжной основой для сопоставления с результатами численного моделирования.

Для обеспечения максимальной достоверности результатов модальных испытаний [5–7] требуется воспроизведение условий, близких к реальным эксплуатационным. В контексте космической техники доминирующим фактором является состояние невесомости. На наземных стендах это достигается посредством специализированных систем гравитационной разгрузки (обезвешива-ния) [8–11], которые частично или полностью компенсируют действие силы тяжести на испытуемый объект.

Наиболее перспективными в этом классе устройств признаны активные системы обезве-шивания. Они представляют собой сложные механические комплексы, оснащённые датчиками и исполнительными элементами, функционирующими в замкнутом контуре управления. Основная функция таких систем заключается в динамической компенсации гравитационных сил в реальном времени, тем самым создавая условия искусственной невесомости.

Особый научный и инженерный интерес представляют электромагнитные системы обезвешива-ния. За счёт генерации сильного магнитного поля они обеспечивают существенные компенсирующие усилия при относительно низком энергопотреблении [12; 13]. Это позволяет минимизировать габаритно-массовые характеристики оборудования, повысить его мобильность и технологичность интеграции в испытательные комплексы.

Разработанная активная электромагнитная система компенсации веса включает неподвижные и подвижные компоненты. Неподвижная часть состоит из стального корпуса (1), постоянного магнита (2), стального диска (4), энкодера (7) и аэростатического подшипника (5). Подвижный узел образован медной катушкой (3), штоком (6) и измерительной линейкой (8). Конструктивная схема системы приведена на рисунке 1.

Медная катушка подключена к управляемому источнику питания. При протекании электрического тока в обмотке в соответствии с законом Ампера возникает электродинамическая сила, вызывающая поступательное перемещение катушки по вертикальной оси. Величина и направление силы определяются амплитудой и полярностью тока, что обеспечивает прецизионное управление положением подвижного элемента [14].

Рисунок 1. Активная система компенсации веса

Состояние динамического равновесия реализуется при точной компенсации электродинамической силой гравитационного воздействия на подвижный узел, приводя к устойчивой левитации последнего и тем самым к адекватному моделированию условий невесомости.

С целью минимизации паразитного механического трения, приводящего к дополнительным диссипативным потерям и снижению точности эксперимента, в конструкции применён аэростатический подшипник [15]. Его работа основана на формировании газовой прослойки, обеспечивающей бесконтактное взаимодействие поверхностей. Имитационная модель данной системы была смоделирована в MATLAB Simulink [16]. На данный момент стоит задача по разработке алгоритма управления данной системой.

1.    Алгоритм управления системой компенсации веса

Напряжение в катушке описывается вторым законом Кирхгофа:

KU = RI + B • l • dx + dLxH, у dt dt где U – напряжение в цепи, R – сопротивление обмотки, токоизмерительного резистора, проводов, и выходное сопротивление усилителя, I – сила тока в цепи, l – средняя намотки соленоида, В – магнитная индукция постоянного магнита, L – индукция катушки, Kу – коэффициент усиления усилителя.

Тем самым ЭДС индукци и им еет две составляющие:

_{D 1} dx d ( L ( x ) I )

3 B * l • 1 . dt dt

Повторно было пр ои зведено моделирование ЭДС индукции в MA T LA B Simuli n k, результаты которого представлены на р исунке 2.

d (L (x) I)

Элемент-----мал относительно B • l--, dtdt поэтому им можно пренебречь при учете ЭДС индукции:

dx

KU — RI + B • l.

у ния относительно неподвижного магнитопровода и постоянного магнита (рисунок 1). Роль магнитного сердечника соленоида выполняют постоянный магнит и расположенный над ним стальной диск.

По ст оя нный маг ни т характ еризуется относительной магнитной проницаемостью µₘ ≈ 1 (типич ное знач е ние дл я большин ства редкоземельных магни то в, таких ка к NdFeB), в то время как стальной д иск обла дает значительно более высокой пр оницае м остью µ _d >>  µₘ (обычно µ _d составляет несколько тысяч для электротехнической стали). Важно отметит ь, что в рабочем диапазоне перемещени й ка тушки стальной диск полностью остаётся внутри её обмотки и не выходит за пределы соленоида. Вследстви е этого ко нф игурация магнитного потока, создаваем ого катушкой, независимо от её положения, остаётся практически неизменной.

Ста ль ной ко рпус расп ол агается вне области обмотки и ока зывает слабое в лияние на магнитное

Следовательно, т ок в катушке запишется как:

K y U — B ( x ) l • -I —----------dL

.

R

Уравнение движения имеет вид:

d2

—

1² dL ( x ) --------•--------------------

2 dx

поле, создаваемое соленоидом.

В результ ате перечисленны х факторо в и ндук тив н ос ть к ату шки L( x) демонс т р и р уе т к ра йне слабую зависимость от координаты x , и элементом 1² dL ( x ) ---можно пренебречь:

2 dx d2 xdx m--— — B (x) l • I — сmg dt2dt

где m – масса груза и подвижной части системы обезвешивания, c – коэффициент вязкого де м пфирования.

В процессе компенсации веса подвижная медная катушка совершает ограниченные пер ем еще-

Данное уравнение можно перезаписать в виде:

d2 x     м m ^ It2 = B(x)l ^

Kу ’ U — B (x)l ^ dx dt

R

dx

— с---mg dt

If I— 0СМ1ЛМЕ АППАРАТЫ VI технологи нашиим

Том 10

Напря жение, ф о рм ир уемое цифро -а налогов ым преобразователе м (ЦА П ), должно ко м пе нсирова ть вес U_p , обеспеч иват ь воз буждающе е синусоидальное возд ейс тв ие a · s in ωt , а т акже и з- за неточности компенс аци и веса форми ро вать во звраща ю щую силу b · x . Данно е напр яжени е запишется сле ду ю щим образом:

U = U p + a ■ sin a t - b ■ x .

Уравнение движе ния з ап ишется в сле дую ще м виде:

d2 x (   B 2( x) l2 ^ dx B (x) l       _ mdt2 +| c + R I dt + R y ■ x =

Коэффициент жёсткости запишется как:

, R 2 B(x0) U b =--------m • a = v 07 0 Uo.

K y B ( x ) l     ⁰ B ( x ) g ⁰

Тогда напряжение, формируемое ЦАП, имеет вид:

B ( x ) l               B ( x) I

=----- KU_n - mg +----- K_va • sin a t .

Rуp       Rу

Условие компе нс ац и и веса с учёт ом к алибров ки запишетс я та к:

B ( x ) l

R

K y U p = mg .

U = Bx ) U 0 ₊ Bx o ) . F U 0 .

B ( x )      B ( x ) mg

■      B ( x ₀) ® o_rr

■ s’" * - B ( x ) g »• x *

Что можно перезаписать как:

TT_ B(x0)          Fs   •, *■

U -       U0 ■ (1 +--sin*t

B(x)       mgg

Калибровка производится установкой какого-либо груза последовательно в положения с различными значениями координаты x и запоминанием напряжения u_c , удерживающего груз в этих положениях. Это напряжение соответствует условию компенсации веса:

Напряже ние об езве ш ивания выра зитс я как:

mgR p = u^ •

mgR uc (x) - VBx)

*

Причём в началь ной точке x ₀ и при отсу тствии синусоидал ьно го воз бу жден и я, ко гд а иде т процесс удержания о пре деленно й масс ы, н апр яжен ие запишется как:

Как видно, u_c ( x ) зависит от массы груза, коэффициента усиления усилителя, сопротивления, но отношение

U = mg ^R

⁰ K ■^B ( x o ) ^l

.

При этом отношение сопротивл ения к коэффициенту усиления запишется как:

R _B ( x o ) l_TT

Ky- mg U 0 .

О тку да напряжения обезвешивания можно выразить в виде:

Uc (x1) B(x2) = Ц~^’ uc (x J B (U являющееся характеристикой взаимодействия тока с магнитом, зависит только от координат и может использоваться с любыми грузами и любыми установленными значениями коэффициента усиления усилителя.

Таким образом, ЦАП должен выдавать напряжен ие, за вис ящее от времени и текущей координаты:

U - B ( x o\/

U p          U o ’

^{B ( x} )

Амплитуда синусоидальной силы:

Откуда амплит уда синусоидального напряжения найдется как:

a =-- ^R--F = Bx) • —U .

K y • B ⁽ x ) ^l s   ^{B (} x ) mg ⁰

Коэффициент жёсткости электропружины:

U (t, x) - Mx! U0. (1 + F. sin at - ^.x), uc(x°)        mg         g причём величина U0 = U(x0) определяется при взвешивании груза (фиксации в точке с координатой x0). Для удобства введём функцию:

f ( t , x ) - 1 + F ■ sin a t - *- ■ x .

mg

g

Kb

^B(x)l = m • °, где ω0 = 2πf0 – желаемая собственная частота осциллятора.

На самом деле алгоритм у прав ле ния р аботает не с напряжениями, а с к одами ЦАП, в то м чис ле и при калибровке определяетс я н е функция u_c ( x ), а фу нкци я d_c ( x ), представляющая собой з ависимость кодов ЦАП от координаты.

Напряжение U на выходе Ц АП связано с его кодом D следую щим выражением:

U ( x ) = U + ( U . - U _m) ■ Dx ) ,

где U min – мин им ально е напряжение ЦАП, U max – максимальное напряжение ЦАП.

Напряжение при удержании зап ишется как:

D ( Х _П)

U 0 = U ⁽ x 0 ) = U min + ^(U max - ^U min ) ^-     ^ '

А соотношение напряжений будет иметь вид:

U c ( X )    4095 • U min + (U max - U min ) ’ ^ c ( x )

--------=--------------------------------------------.

U c ( X 0 )   4095 • U min + ( U max - U min ) ’ d c ( X 0 )

Тогда, обозн ачив для краткости:

A ^U = ^U max

—

U mln

получим:

U ₍ t _ ⁴⁰⁹⁵ - U mm +^A U - d c ( X ) ’    ^{4095 -} U m_m ^+A U • d c ^{( X} 0 )

Вследствие чего уравнение движения примет виД: 2    < d x .      .

m — y + c + dt I

B ²( x ) l ² ^ dX

--------I   + m a ₀ - x _ F s • sin a t . (1)

R J dt

B² ( x ) l²

Добавленная вязкость          не зависит от формируемых в электрической цепи напряжений и связана только с взаимодействием тока, возбуждаемого ЭДС индукции при движении обмотки в магнитном поле, с самим этим магнитным полем. Устранить эту вязкость можно только исключив возможность возникновения индукционных токов. Для этого следует использовать источник тока (R ≈ ∞) вместо источника напряжения. Тогда в цепи обмотки будет протекать только контролируемый ток, и никакого индукционного.

D ( X o ) ) /V X

U min+A U - —  - f ( t , X ).

^min 4095         '

• 2.    Усилитель тока

  Что можно записать как :

  
  

  U ■

  4095 U mn + d_c ( x ) ._Tr A U      ^{A U}

  
  

  U min          4095

  4095         d c ( X 0 )

  ,          ^{A U} .

  - ( 4095 U mn + D ( x )Y f ( tx )

  ^{A U} J

  Дополнительно обозначим:

  A _ 4095 U =; A U

  
  

  Был разработан источник тока, принципиальная схема которого изображена н а рисунке 3.

  Операционный ус илит ель U 1A имеет отрицательную обрат ную связь с нагр у зкой R 11 и L1. Таким образом, в случае возникн о вени я ЭДС индукции в катушке и паден ия силы т ока операционный усилитель реагирует на это и компенсирует данное паде ние за счёт открывания транзисторов.

  Сила тока в этой схеме зависит от входного напряжения на положительном входе операционного усилителя U 1A и от сопротивления резистора R 9. Данная зависимость описывается формулой:

  
  

A + d (x) AU           4

U ( t , X ) _---- d A x- —U- - ( A + D ( x ₀)) - f ( t , X ).

A + d (x J ⁴⁰⁹⁵

Вырази м код ЦАП через напряжение:

4095 U ( t , X ) — U m_{m 4nqs}U ( t , X ) D ( t , X ) _ 4095------------- _ 4095-- A .

^{A U        A U}

Подстави в U ( t , x ), по лучим:

A + d c ( x ) A U A + ^d _c ( X _o)4⁰⁹⁵

- ( A + D ( x 0 ) ) - f ( t , x )

D ( t , x ) _ 4095

A U

— A .

Окон чательно в ЦАП следует выдавать код:

D ( t , x ) _ 4+ d M - ( A + D ( X 0 ) ) - f ( t , x ) — A ,

^{A +} d c ^{( X} 0 )

где A = 4095 · U min / ( U max – U min ) – константа для данного Ц АП , d_c ( x ₀ ) – значение калибровочной функц ии в начальной точ ке, D ( x ₀) – значение кода ЦАП при фиксации положения груза в начальной точке, d_c ( x ) – значение калибровочной функции в текущей точке.

I _ U

R 4

Для моделировани я ЭДС индук ции в схему был вставлен элемент переменного тока (рисунок 4) с амплитудой 3 В и частотой 3 Гц.

На положительный вход операционного усилителя U 1A подавался сигнал с частотой 10 Гц, амплитудой 0,046 В и смещением 0,135 В

Результаты симуляции данной схемы представлены н а р исунке 5.

Амплитуда тока соответствует уравнению (2), в сигнале не наблюдается паразитный эффект, создаваемый ЭДС индукции, что говорит о работе усилителя тока.

Вследствие чего в уравнении (1) пропал член, отвечающий за ЭДС индукции, и теперь уравнение движения можно записать в виде:

d2 x . dx m + с   + man - x _ F - sin at.

dt² dt ⁰ s

И оператор напрямую может задавать амплитуду возбуждающей силы через переменную F _s.

Рисунок 5. Результаты симуляции

3.    Экспериментальная отработка

Проведён эксперимент по отработке системы, в ходе которого оператор задавал амплитуду и частоту возбуждающей синусоидальной силы. В процессе испытания регистрировался ток в катушке, а по его значению рассчитывалась реализованная электродинамическая сила. Сопоставление заданной и полученной сил позволило оценить точность работы разработанного усилителя тока, а также корректность реализованного алгоритма управления. Результат приведен на рисунке 6.

На графике показаны три кривые: f2 – заданная оператором сила; f1 – сила, рассчитанная по измеренному току; f1(filtr) – отфильтрованная кривая f1. Анализ показывает высокое совпадение заданной и реализованной сил. Погрешность воспроизведения амплитуды составила ±0,0023 Н, что соответствует относительной ошибке ±5,5 % при заданной амплитуде. Указанная погрешность преимущественно связана с наличием артефактов в расчётной силе по току, которые появляются после фильтрации сигнала. Полученные данные подтверждают высокую точность усилителя тока и адекватность разработанного алгоритма управления.

Заключение

Предложен аналитический подход к формированию алгоритма управления, основанный на точном учёте зависимости управляющего параметра (кода ЦАП) от текущей координаты подвижного элемента. Ключевым достижением стало математическое обоснование функции управления, позволяющей одновременно обеспечивать компенсацию гравитационной силы, создание заданной возвращающей жёсткости («электропружины») и возбуждение синусоидального воздействия требуемой амплитуды и частоты.

Анализ динамики системы показал, что ис- пользование источника напряжения приводит к появлению нежелательной дополнительной вязкости, обусловленной взаимодействием индуцированной ЭДС с магнитным полем. Разработанный специализированный усилитель тока полностью устраняет этот эффект, обеспечивая прямую про-

Том 10

порциональность возбуждающей силы задаваемому сигналу без паразитных искажений.

Проведённое моделирование и экспериментальное исследование подтвердили высокую точность реализованного алгоритма: погрешность воспроизведения возбуждающей силы не превысила ±5,5 % по амплитуде. Полученные данные свидетельствуют о готовности системы к практическому применению при наземной отработке крупногабаритных слабодемпфированных конструкций космической техники.

Перспективными направлениями дальнейшего развития являются: повышение диапазона компенсируемых масс, а также интеграция системы в многокоординатные стенды обезвешивания для испытаний сложных пространственных конструкций. Реализация предложенных решений позволит существенно повысить достоверность модальных испытаний и, как следствие, надёжность разрабатываемых космических аппаратов.