Аналитический расчет жесткости опор балки для обеспечения первой собственной частоты колебаний и критической силы
Автор: Рабецкая О.И., Кудрявцев И.В., Митяев А.Е.
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau
Рубрика: Авиационная и ракетно-космическая техника
Статья в выпуске: 4 т.23, 2022 года.
Бесплатный доступ
В работе рассматривается проблема обеспечения требуемой первой собственной частоты изгибных колебаний балки при действии продольной силы за счет введения необходимой жесткости опор. Рассматривая и объединяя уравнения свободных колебаний балки и уравнения, описывающие потерю ее устойчивости, было получено условие работоспособности на основе обеспечения минимально заданного значения первой собственной частоты колебаний с учетом действия продольной силы. При этом достижение нулевой частоты собственных колебаний соответствует потере устойчивости, что позволяет решать обе задачи. Данная задача математически сложна и в известной научной литературе ее решение обычно приводится только в графическом или табличном виде. Проблема заключается в нелинейной зависимости коэффициентов опор от жесткости при колебаниях и потере устойчивости. Для решения этой проблемы использовалась аппроксимация нелинейных зависимостей коэффициентов опор методом наименьших квадратов и получения квадратичных аппроксимирующих функций. В результате задача определения требуемой жесткости опор свелась к разрешающему алгебраическому уравнению четвертой степени, для которого существует аналитическое решение. Полученное решение позволяет определить жесткость опор балки, которая обеспечивает требуемое значение первой собственной частоты колебаний балки и ее первой критической нагрузки в виде внешней сжимающей силы или температурных воздействий. Замена нелинейных зависимостей коэффициентов опор от жесткости опор более простыми квадратичными функциями привела к относительно простым аналитическим зависимостям, которые позволяют преобразовывать разрешающее уравнение в соответствии с конкретной решаемой задачей. Вместе с тем, квадратичные функции повлияли на погрешность расчета, для снижения которой было произведено ограничение рассматриваемого диапазона жесткостей опор и разбиение его на три зоны. Проведено сравнение результатов расчетов по предложенному аналитическому решению с численными расчетами методом конечных элементов. Сравнение результатов расчета показало погрешность не более 5 % для рассматриваемого диапазона жесткостей опор, что вполне достаточно для инженерных расчетов балочных конструкций. Для ограничения погрешности результата рекомендуется, чтобы жесткости обоих опор были равны или же одного порядка.
Балка, упругие опоры, колебания, устойчивость, первая собственная частота, первая критическая сила, аналитическое решение
Короткий адрес: https://sciup.org/148325802
IDR: 148325802 | УДК: 534.11 | DOI: 10.31772/2712-8970-2022-23-4-708-720
Beam support stiffness analytic solution for the first eigen-frequency and critical force
The work discusses the problem of providing the required first natural frequency of bending vibrations of the beam under the action of a longitudinal force by introducing the necessary stiffness of the supports. Considering and combining the equations of free vibrations of the beam and the equations describing the loss of its stability, the operability condition was obtained because of providing a minimum given value of the first natural frequency of vibrations considering the action of the axial force. In this case, the achievement of the zero frequency of natural vibration corresponds to the loss of stability, which allows solving both problems. This problem is mathematically complex, and in the known scientific literature its solution is usually given only in graphical or tabular form. The problem lies in the nonlinear dependence of the coefficients of supports on the stiffness during vibrations and loss of stability. To solve this problem, the approximation of the nonlinear coefficients of the supports by the least squares method and the obtaining of quadratic approximating functions was used. As a result, the problem of determining the required stiffness of the supports brought to a fourth-degree resolving algebraic equation, for which an analytic solution exists. The obtained solution allows the stiffness of the beam supports, which provides the required value of the first natural frequency of vibrations of the beam and its first critical load in the form of external compressive force or temperature effects. Replacing the nonlinear dependencies of the support coefficients with the stiffness of the supports with simpler quadratic functions led to relatively simple analytic dependencies that allow the resolution equation to be transformed according to the particular problem being solved. At the same time, quadratic functions influenced the calculation error, to reduce which, the range of the support stiffness under consideration was limited and divided into three zones. The results of calculations using the proposed analytical solution were compared with numerical calculations using finite element method. The comparison of the calculation results showed an error of not more than 5 % for the considered range of stiffness of the supports, which is quite enough for engineering calculations of beam structures. To limit the error of the result, it is recommended that the stiffnesses of both supports be equal or of the same order.
Список литературы Аналитический расчет жесткости опор балки для обеспечения первой собственной частоты колебаний и критической силы
- Некоторые аспекты моделирования динамики трансформируемых космических конструкций / Ц. Джан, В. Н. Зимин, А. В. Крылов, С. А. Чурилин // Сибирский журнал науки и технологий. 2019. Т. 20, № 1. С. 68–73. DOI: 10.31772/2587-6066-2019-20-1-68-73.
- Кудрявцев И. В. Обеспечение динамического состояния прямолинейных волноводных трактов при нагреве с помощью расстановки опор // Вестник Московского авиационного института. 2021. Т. 28, № 4. С. 92–105. DOI: 10.34759/vst-2021-4-92-105.
- Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.
- Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 591 с.
- Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.
- Ильин М. М., Колесников К. С., Саратов Ю. С. Теория колебаний. М.: МГТУ, 2001. 272 с.
- Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теории колебаний. СПб.: Лань, 2003. 254 с.
- Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991. 256 с.
- Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.
- Клаф В. К. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.
- Доев В. С. Поперечные колебания балок. М.: КНОРУС, 2016. 412 с.
- Balachandran B. Vibrations. Toronto: Cengage Learning, 2009. 737 p.
- Benaroya H., Nagurka M., Han S. Mechanical vibration. CRC Press: London, 2017. 602 p.
- Leissa A. W. Vibration of continuous systems, McGraw-Hill: New York, 2011. 524 p.
- Bottega W. J. Engineering vibrations. CRC Press: New York, 2006. 750 p.
- Meirovitch L. Fundamentals of vibrations. McGraw-Hill, Book Co: New York, 2001. 826 p.
- Clough R. E. Dynamics of Structures. McGraw-Hill College: New York, 1995. 752 p.
- Shabana A. S. Theory of vibration. Springer-Verlag: New York, 2019. 382 p.
- Geradin M., Rixen D. J. Mechanical vibrations. John Wiley & Sons: London, 2015. 617 p.
- Rao S. Mechanical vibrations. Pearson Education Limited: London, 2018. 1295 p.
- Hagedorn P. Vibrations and waves in continuous mechanical systems. John Wiley & Sons: New Jersey, 2007. 388 p.
- Kelly S. G. Mechanical vibrations. Theory and applications. Cengage Learning: NY, 2012. 896 p.
- Rades M. Mechanical vibrations II. Printech Publisher: Turin, 2010. 354 p.
- Inman D. J. Engineering vibration, Pearson Education: NJ, 2014. 720 p.
- Jazar R. N. Advanced vibrations. A modern approach. Springer: New York, 2013. 695 p.
- Kelly S. G. Advanced vibration analysis. CRC Press: New York, 2007. 650 p.
- Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 807 с.
- Алфутов Н. А., Колесников К. С. Устойчивость движения и равновесия. М.: МГТУ, 2003. 256 с.
- Farshad M., Stability of Structures. Elsevier Science B. V.: Amsterdam, 1994. 434 p.
- Jerath. S., Structural Stability Theory and Practice: Buckling of Columns, Beams, Plates, and Shells. John Wiley & Sons: Chichester, 2020. 672 p.
- Timoshenko S. P., Gere J. M., Theory of Elastic Stability. Dover Publications: New York, 2009. 560 p.
- Thomsen J. J. Vibrations and stability. New York, 2003. 420 p.
- Yoo C. H. Stability of structures. Elsevier: London, 2011. 529 p.
- Ziemian R. D., Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. JohnWiley&Sons: NY, 2010. 1117 p.
- Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.
- Биргер И. А., Пановко Я. Г. Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3. М.: Машиностроение, 1988. 567 с.
- Коренев Б. Г. Справочник по динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1972. 511 с.
- Уманский А. А. Справочник проектировщика. Т. 2. М.: Стройиздат, 1973. 415 с.
- Blevins R. D. Formulas for dynamics, acoustics and vibration. John Wiley & Sons, Ltd: Chichester, 2016. 458 p.
- Wang C. M. Exact solutions for buckling of structural members. CRC Press: New York, 2005, 212 p.
- Galef A. E. Bending frequencies of compressed beams // Journal of the Acoustical Society of America. 1968. Vol. 44(2). P. 643. DOI: 10.1121/1.1911144.
- Bokaian A. Natural frequencies of beams under compressive axial loads // Journal of Sound and Vibration. 1988. Vol. 126(1). P. 49–65. DOI: 10.1016/0022-460X(88)90397-5.
- Кудрявцев И. В., Рабецкая О. И., Митяев А. Е. Аппроксимация значений коэффициентов опор балки при колебаниях и потери устойчивости // Сибирский аэрокосмический журнал. 2022. Т. 23, № 3. С. 461–474.
- Дрейпер Н. Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Вильямс, 2016. 912 с.
- Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: URSS, 2014. 352 с.
- Несмеев Ю. А. Об одном подходе к решению алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней // Вестник Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2011. № 1(13). С. 26–30.
- Несмеев Ю. А. Развитие одного подхода к решению алгебраического уравнения 4-й степени // Вестник Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 4(24). С. 29–38.
