Аналитическое решение первой задачи динамики манипуляторов с вращательными сочленениями

Решается проблема сложности вывода и громоздкого аналитического вида уравнений математических моделей управляемых систем тел с явно выраженными структурными, кинематическими, статическими и динамическими параметрами. В первую очередь это относится к уравнениям динамики, на которых основаны системы управления. Наш практический опыт и теоретические результаты указывают на то, что пути решения этой проблемы нужно искать в двух направлениях. Во-первых, в направлении классификации систем тел и использования особенностей представителей рассматриваемых классов систем тел в части упрощения формализмов вывода их уравнений динамики, а также уменьшения числа математических операций в аналитическом представлении уравнений динамики. Во-вторых, в направлении выбора параметров состояния тел, в которых записываются аналитические скалярно-координатные виды уравнений динамики. В этой связи следует заметить, что подавляющее большинство (более 90 %) промышленных роботов, а также роботов специального назначения имеют структуру одной открытой ветви, в которой тела образуют друг с другом вращательные кинематические пары пятого класса (вращательные сочленения). Если в таких системах полюса тел выбирать на осях их относительного вращения, то межполюсные расстояния будут постоянными, что значительно упрощает решение указанной проблемы. По поводу выбора параметров состояния, явно входящих в уравнения динамики, следует заметить, что квазискорости, т. е. проекции абсолютных угловых скоростей тел на оси их связанных систем координат, являются наиболее подходящими для этих целей. Дело в том, что в уравнениях кинематики, замыкающих уравнения динамики до полного набора уравнений для решения той или иной задачи, всегда можно выразить квазискорости через любые другие параметры, например, относительные углы поворота тел и их производные по времени, направляющие косинусы и их производные, кватернионы и т. д. Если проекции абсолютных угловых скоростей тел на их оси измеряются, например, гироскопами на телах и решается первая задача динамики, то формулы решения содержат минимальное число операций сложения и умножения. Таким образом, целью исследования является разработка простого метода вывода аналитического вида уравнений динамики манипуляторов с вращательными сочленениями в квазискоростях, в которых явно выражены геометрические, кинематические, статические и инерционные параметры тел. Используемые методы исследования (векторная и аналитическая механика систем тел, векторная алгебра, системный анализ и методы тождественных преобразований) позволили свести вывод уравнений динамики манипуляторов к формальным действиям их выписывания без выполнения сложных математических операций дифференцирования, возведения в степень, вычисления векторных операций и т. д. Результаты исследования содержат доказательство общего векторного вида уравнений динамики манипуляторов в квазискоростях с явно выраженными межполюсными расстояниями и параметрами распределения масс тел. Для выписывания моментов движущих сил в сочленениях получены скалярно-координатные формулы и их простой частный вид для случая параллельности осей вращения соседних сочленений. Как частный случай получены формулы выписывания уравнений динамики манипуляторов на плоскости. Для них процесс выписывания уравнений динамики сводится к конкретизации числа тел, их геометрических и инерционных параметров. Заключение. Эффективность изложенных методов и полученных формул продемонстрирована на примерах выписывания уравнений динамики тела с одной закрепленной точкой, гироскопа в кардановом подвесе и ангулярного манипулятора с тремя и шестью степенями свободы в пространстве. Эти результаты позволяют нам ожидать, что число пользователей предлагаемых методов будет расти. Положительный опыт использования этих методов в учебном процессе в дисциплинах «Основы механики систем тел», «Электромеханические системы» и «Мехатроника» оправдывает наши ожидания.