Аналитическое решение уравнений Навье – Стокса для описания неоднородного течения Куэтта с квадратичным профилем в слое с проницаемыми границами
Автор: Губарева К.В., Просвиряков Е.Ю., Еремин А.В.
Журнал: Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don) @vestnik-donstu
Рубрика: Механика
Статья в выпуске: 1 т.26, 2026 года.
Бесплатный доступ
Введение. Управление структурой потока в микрофлюидных системах, мембранных технологиях и пористых подшипниках требует понимания синергии проницаемости границ, их пространственной неоднородности и вязкости рабочей жидкости. Отдельно каждый из этих факторов активно изучается. Однако необходимо комплексное аналитическое описание их совместного влияния на поток. Таких публикаций нет. Представленная статья восполняет этот пробел. Цели работы: получение аналитического решения для поля скорости в течении Куэтта с проницаемыми границами и нелинейным граничным условием; изучение формирования гидродинамики под влиянием проницаемости (α), динамической вязкости (μ), линейной (A) и квадратичной (B) неоднородности граничного условия. Материалы и методы. Аналитическое решение базируется на стационарных уравнениях Навье – Стокса для несжимаемой ньютоновской жидкости с квадратичным разложением скорости по поперечной координате. Осевую, линейную и квадратичную моды профиля скорости исследовали методом численного моделирования в Matlab. Для стационарного, ламинарного, изотермического течения ньютоновской вязкой и несжимаемой жидкости расстояние между проницаемыми пластинами h = 1 м. Нижняя пластина неподвижна, верхняя движется со скоростью W = 0,3 м/с. Скорость фильтрации жидкости Vw = 0,001 м/с, μ = 0,01 Па·с для A = ±0,03 с–1 и B = ±0,005 м–1·с–1. Воду, моторное масло и нефть исследовали при 20 °C, 40 °C или 60 °C. В этом случае h = 0,02 м, W = 0,05 м/с, A = 0,1 с–1, B = 0,02 м–1·с–1, Vw = 0,0005 м/с. В зависимости от жидкости и температуры μ — от 0,05 до 9,15·10–3 Па·с. Результаты исследования. Визуализированы асимметрия течения, отклонение от оси канала, вариативность амплитуды завихренности ωy. Нулевая скорость фильтрации отмечается для нижней пластины в плоскости z = 0 и растет с увеличением этого показателя до максимума при z = h (расстояние между пластинами). Для воды линии тока минимально отклоняются от горизонтали, а для масла при 20 °C — искривляются вблизи верхней стенки. Сопоставляются двумерные поля завихренности для воды, масла и нефти при различных температурах. Слабая ωy и снижение вязкости обусловили отрицательные показатели ωy для воды и нефти. Для масла ситуация противоположная: положительные показатели при повышенной ωy. Обсуждение. Итоги расчетов позволяют утверждать: − при изменении знака A инвертируются направления смещения максимумов скорости и завихренности; − знак B определяет кривизну изолиний; − толщина слоя с максимальным градиентом скорости меняется на два порядка при переходе от воды к маслу. Выявленные закономерности объясняются физическим смыслом параметров: A задает макроскопическую асимметрию течения, B управляет распределением поперечного потока, а вязкость через α контролирует глубину граничных возмущений. Заключение. Впервые было получено точное аналитическое решение стационарных уравнений Навье – Стокса для обобщённого течения Куэтта ньютоновской жидкости между проницаемыми пластинами с квадратичным профилем скорости на границе. Параметрический анализ показал, что коэффициент A определяет асимметрию полей скорости и завихренности, а B — их нелинейность. Вязкость контролирует толщину сдвигового слоя: для высоковязких сред перепад скорости локализуется у стенок, для маловязких — профиль линейный. Результаты создают основу для задач микрофлюидики, мембранных технологий и трибологии. Перспективы связаны с учётом неньютоновских свойств жидкости, нестационарных режимов и устойчивости течений.
Ограниченность модели Куэтта, гидродинамическая структура течения, профиль скорости течения, скорость фильтрации жидкости, амплитуда завихренности, динамическая вязкость
Короткий адрес: https://sciup.org/142247497
IDR: 142247497 | УДК: 536.21; 517.958 | DOI: 10.23947/2687-1653-2026-26-1-2242
Analytical Solution of the Navier–Stokes Equations for Describing Inhomogeneous Couette Flow with a Quadratic Velocity Profile in a Layer with Permeable Boundaries
Introduction. Flow control in microfluidic systems, membrane technologies, and porous bearings requires an understanding of the synergy between boundary permeability, their spatial inhomogeneity, and the viscosity of the working fluid. Each of these factors is actively studied separately. However, a comprehensive analytical description of their combined effect on the flow is needed. No such publications exist. The presented article fills this gap. Research objectives are as follows: to obtain an analytical solution for the velocity field in Couette flow with permeable boundaries and a nonlinear boundary condition; to study the formation of hydrodynamics under the influence of permeability (α), dynamic viscosity (μ), linear (A) and quadratic (B) inhomogeneity of the boundary condition. Materials and Methods. The analytical solution is based on the stationary Navier–Stokes equations for an incompressible Newtonian fluid, with a quadratic expansion of velocity along the transverse coordinate. The axial, linear, and quadratic modes of the velocity profile were investigated using numerical modeling in MATLAB. For a stationary, laminar, isothermal flow of a Newtonian viscous incompressible fluid, the distance between permeable plates was h = 1 m. The lower plate was stationary, while the upper plate moved with a velocity of W = 0.3 m/s. The liquid filtration rate was Vw = 0.001 m/s, and μ = 0.01 Pa·s for A = ±0.03 s–1 and B = ±0.005 m–1·s–1. Water, motor oil, and crude oil were studied at temperatures of 20 °C, 40 °C, or 60 °C. For this case, h = 0.02 m, W = 0.05 m/s, A = 0.1 s–1, B = 0.02 m–1·s–1, Vw = 0.0005 m/s. Depending on the fluid and temperature, μ ranged from 0.05 to 9.15·10–3 Pa·s. Results. Asymmetry of the flow, deviation from the channel axis, and variability of the vorticity amplitude ωy were visualized. Zero filtration velocity was observed at the lower plate in the plane z = 0 and increased with this parameter, reaching a maximum at z = h (distance between the plates). For water, the streamlines exhibited minimal deviation from the horizontal, while for oil at 20 °C, they curved near the upper wall. Two-dimensional vorticity fields for water, oil, and petroleum at various temperatures were compared. Weak ωy and reduced viscosity resulted in negative values ωy for water and petroleum. For oil, the situation was reversed: positive values corresponded to elevated ωy. Discussion. The calculation results allow us to conclude: − changing the sign of A inverts the directions of the maxima for velocity and vorticity; − the sign of B determines the curvature of the isolines; − the thickness of the layer with the maximum velocity gradient changes by two orders of magnitude when transitioning from water to oil. The identified patterns are explained by the physical meaning of the parameters: A defines the macroscopic flow asymmetry, B governs the distribution of the transverse flow, and viscosity, through α, controls the depth of boundary perturbations. Conclusion. For the first time, an exact analytical solution to the stationary Navier–Stokes equations was obtained for generalized Couette flow of a Newtonian fluid between permeable plates with a quadratic velocity profile at the boundary. A parametric analysis has shown that coefficient A determines the asymmetry of the velocity and vorticity fields, while B determines their nonlinearity. Viscosity controls the thickness of the shear layer: for high-viscosity media, the velocity drop is localized near the walls, while for low-viscosity media, the profile is linear. The results provide a foundation for applications in microfluidics, membrane technologies, and tribology. Future prospects are associated with accounting for non-Newtonian fluid properties, unsteady regimes, and flow stability.
