Аналитика элементарных модулей

Автор: Семенов Б.П.

Журнал: Известия Самарского научного центра Российской академии наук @izvestiya-ssc

Статья в выпуске: 2 т.4, 2002 года.

Бесплатный доступ

Аналитические решения задачи о функциях и производных первого и второго порядков функций векторных модулей могут быть использованы в системах управления, в частности, робототехнических систем.

Короткий адрес: https://sciup.org/148197713

IDR: 148197713

Текст научной статьи Аналитика элементарных модулей

Самарский государственный аэрокосмический университет

Модуль векторной модели - векторный замкнутый контур или минимальная по составу система взаимо связанных векторных замкнутых контуров с определенностью между функциями и аргументами.

Под определённостью между функцией и аргументом будем понимать возможность вычисления значений функций контура по заданным значениям его аргументов и констант.

Все многообразие векторных модулей можно разделить на одноконтурные (простые) и многоконтурные (с обратными связями).

Элементарный векторный модуль - одноконтурный модуль с числом функций, равным числу измерений контура.

Элементарные плоские и пространственные векторные модули, приведены в табл.1. Практический интерес для определения частных производных представляют приведённые в этой таблице основные аргументы одно- и двухаргументных модулей.

Функции элементарных плоских модулей

Аналитические решения для функций элементарных m-векторных плоских модулей табл.1 получим из условия замкнутости:

∑m pi ⋅cos ϕi = 0, (1) i=1

∑ pi⋅sin ϕi = 0. (2)

i=1

Используем вариант индексации векторов: i = 1, j = 2 и k = 3.

Модуль Пл1 (функции p₁ и ϕ ₁ ). Преобразуем (1) и (2)

p1 ⋅ cos ϕ1 = -X,

p1 ⋅ sin ϕ1 = -Y, где

X= ∑ ^m p_i ⋅ cos ϕ _i,Y= ∑ ^m p_i ⋅ sin ϕ _i, i=2 i=2

тогда p1 = VX2 +Y2 (3)

ϕ ₁ = sign(- ⋅ Ya)rccos(-pX₁/) . (4)

Модуль Пл2 (функции p₁ и p₂ ). Преобразуем (1) и (2)

p1 ⋅ cosϕ(1 - ϕ2 )+ p2 + X = 0 , (5)

p₁ ⋅ sin( ϕ ₁ - ϕ ₂)+Y=0, (6)

где

X=∑ pi ⋅cos( ϕi -ϕ2), i=3

Рис.1. Геометрия модуля Пл2

Таблица 1. Элементарные векторные модули

s m

Св И И

О s

Обобщённый список функций

О П У

S T

u к

Основные аргументы

двухаргументных модулей

одноаргументных модулей

u 1

u 2

u 3

α i

β i

α j

β j

α k

β k

r i1

α i1

β i1

r i2

α i2

β _i2

Пространственные

Пр 1

α i

β i

Пр 2

α i

Пр 3

α i

α j

Пр 4

α i

β j

Пр 5

β i

Пр 6

β i

α j

Пр 7

β i

β j

Пр 8

α i

β i

Пр 9

α i

β i

α j

Пр 10

α i

β i

β j

III

Пр 11

Пр 12

α k

Пр 13

β k

Пр 14

α j

α k

Пр 15

α j

β k

Пр 16

α i

α j

α k

Пр 17

α i

α j

β k

Пр 18

β i

β j

Пр 19

β i

β j

α k

Пр 20

β i

β j

β k

∞

Плоские

u 1

u 2

ϕ i

ϕ j

^pil

ϕ il

^pi2

ϕ i2

Пл 1

ϕ i

Пл 2

Пл 3

Пл 4

Примечание: i 1 и i₂ - индексы векторов, не имеющих параметров-функций.

Y = j pi ■ sin(фi-ф2), p1=-Y/sin>1-^2) (7)

ⁱ⁼³ затем из уравнения (5)

т.е. перейдем к системе координат X2O2Y2

(рис.1), тогда из уравнения (6) получим p 2 ^{= -X-}p 2 ^⋅ cos( ϕ 1 ^- ϕ 2 ) ^{. (8)}

Модуль Пл3 (функции p₁ и ϕ ₂ ). В системе координат X₁O₁Y₁ (рис.2),

X= ∑ ^m p_i ⋅ cos ϕ (_i - ϕ ₁) , i=3

Y= ∑ ^m p_i ⋅ sin ϕ (_i- ϕ ₁) .

i=3

Первый вариант решения (V=1) принимаем при | ϕ ₂ ₁ | > π /2.

Пусть k = 1 при V = 1 и k = -1 при V = 2.

В треугольнике АВО1 ∆p= p22 -Y 2 , тогда p1 =-X+k ⋅ ∆p, (9)

ϕ ₂ = sign(- ⋅ Ya)rccos( ⋅ ∆ kp/p₂) + ϕ ₁. (10)

Модуль Пл4 (функции ϕ ₁ и ϕ ₂ ). Предварительно определим параметры суммарного вектора p_1-2 = p₁ + p₂ .

p 1-2 = VX²+Y² ^,

ϕ _1-2 =sign(- ⋅ Ya)rccos(-pX₁/_-2) , где

X= ∑ ^m p_i ⋅ cos ϕ _i, Y= ∑ ^m p_i ⋅ si ϕ n_i . i=3 i=3

Перейдем к системе координат X1О1Y1 (рис.3).

В треугольнике со сторонами a, b, c , и противолежащими соответственно углами А, В, С:

А = 2 ⋅ arccos л/ p ⋅ (p - a)/bc

Рис.2. Геометрия модуля Пл3

Рис.3. Геометрия модуля Пл4

и B=2 ⋅ arccosp ⋅ (p-b)/a , где p=0,5⋅ (a + b + c)

или при a = p1, b = p2 и с = p1-2 (рис.3)

А =2 ⋅ arccoss ⋅ (p-p₁)/p₂ ,

B=2 ⋅ arccoss⋅ (p-p2)/p1 , где p=0,5⋅ (p1 + p2 + p1-2) , s= p/p1-2 .

Принимаем первый вариант решения

V=1 при ϕ11-2 ≥ 0.

Пусть k = 1 при V = 1 и k = -1 при V = 2, тогда

ϕi= ϕ1-2 + ∆ϕi, (11)

где

i = 1 или 2, ∆ϕ1 =k⋅ B , ∆ϕ2 =-k⋅ A .

Используя отображения пространственного векторного контура на вспомогательной плоскости, представим решение задачи о функциях большинства элементарных пространственных модулей табл.1 в виде следующих параметрических формул.

Модуль Пр1 (функции r₁, α ₂, β ₁ ) .

p4 =∑m ricosαicosβi , j4 = 0, i=2

p5 =∑m ricosαisinβi , j5 = 90°, i=2 5

p2 =∑risinαi , j = 90°.

i = 2 ²

Решение единственное.

(V=1) - при β21-2 ≥

Максимальное число решений ‒ 2.

Модуль Пр2 (функции r ₁ , α ₁ , r ₂ ). m

Модуль Пр7 (функции r₁, β ₁, β ₂ ) .

r ₂ =

∑ricosαisin(βi -β1)

i = 3

cosα2 ⋅ sin(β2 - β1)

∑ri sinαi i=2 ,

sinα1

r 2

(1, 2, …, m) Пp1( r 1 , α 1 , β 1 )

= r1 cosα1

= r2 cosα2

p3 =∑ricosαicosβi , j3 = 0, i=3

Решение единственное.

Модуль Пр3 (функции r₁ , α ₁ , α ₂ ).

∑m ri cosαi sin(βi -β1)

α ₂ = ± arccos ⁱ ⁼ ³

r ₂ ⋅ sin( β ₂ - β ₁)

α 2

(1, 2, …, m) Пp1( r 1 , α 1 , β 1 )

Принимаем: первый вариант решения ( V =1) - при α ₂ ≥ 0 .

Максимальное число решений ‒ 2.

Модуль Пр4 (функции r₁, α ₁, β ₂ ).

p4 = ∑ ricosαisinβi , j4 = 90°.

i = 3

m =4 (1, 2, 3, 4)
m =4 (1, 2, 3, 4)
Пл4( ϕ 1 , ϕ 2 )
V

β 1 = ϕ 1

β 2 = ϕ 2

Принимаем: первый вариант решения ( V =1) - при β ₁ ₂ ≥ 0

Максимальное число решений ‒ 2.

Модуль Пр8 (функции α1, β1, r2). ϕ2 = α2

p3 =∑m ricosαicos(βi-β2), ϕ3 = 0, i=3

-∑ri cosαi sin(βi - β1)

β = arcsin i=3 +

r2 ⋅ cosα2

+ β 1

β2 = β или

β ₂ = 180 ° - β

p4 =∑risinαi, ϕ4 = 0, i=3

p5 = r1 - p4

Принимаем: первый вариант решения

( V =1) - при ϕ 5 ≥ ₂ .

Модуль Пр18 (функции β ₁, β ₂, r₃ ).

r ₃

r1 sinα1 + r2 sinα2 + ∑ri sinαi i=4

sinα3

Максимальное число решений ‒ 2.

Модуль Пр9 (функции α ₁, β ₁, α ₂ ).

m2 = m

(1, 2, …, m) Пp7( r 1 , β 1 , β 2 )

p2 = r2,

p3 =∑m ricosαicos(βi-β2), j3 = 0, i=3

p4 = ∑m ri sinαi , j4 = 0, i=3

p5 = r1 - p4

Принимаем: первый вариант решения ( V =1) ‒ при β ₁₁ _- ₂ ≥ 0.

Максимальное число решений ‒ 2.

Модуль Пр19 (функции β ₁, β ₂, α ₃ ).

- ( r ₁ sin α ₁ + r ₂ sin α ₂ + ∑ r_i sin α _i )

α = arcsin ⁱ ⁼ ⁴

r ₃

α3 = α или

= 180 ° - α

α ₃

m 2 = m

(1, 2, …, m) Пp7( r 1 , β 1 , β 2 )

Принимаем: первый вариант решения

Принимаем: первый вариант решения ( V =1) - при α ₂ ≥ 0 .

Максимальное число решений ‒ 2.

Модуля Пр10 (функции α ₁, β ₁, β ₂ ).

- r sin α

α1 = arcsin i=2

α 1

m2 = m

(1, 2, …, m) Пp7( r 1 , β 1 , β 2 )

(V=1) ‒ при β11-2 ≥0 и α3 ≥ 2 .

Максимальное число решений ‒ 4.

Прямые аналитические решения для функций модулей Пр12 и Пр13 получены ранее методом Гаусса [1-3], для модулей Пр6, Пр11, Пр14-Пр17, применим метод обращения, при котором одну из функций исходного модуля используем в качестве аргумента обращённого .

Производные первого порядка функций элементарных модулей

Для одноаргументной функции

Принимаем: первый вариант решения ( V =1) - при β ₁₁ _- ₂ ≥ 0.

Максимальное число решений ‒ 2.

dU X) = dU dx dt ∂x dt ,

для многоаргументной функции

dU(x1,

., x_k ) _{= ∑} ^k ∂ U dx j _, j = 1 ∂ ^xj ^dt

т.е. для определения полной производной функции необходимо определить все её частные производные первого порядка.

Дифференцируем уравнения (1) и (2)

dU a1 1 1 dx j +a 21 dU 2 dx j +b 11 = 0, (14) dU a1 1 2 dx j +a 22 dU 2 dx j +b 12 = 0, (15) тогда при i = 1, 2; s = 1, 2 и j = 1, …, k, используя данные табл.2,

QU,A,.

= , dxjA где

Таблица 2. Коэффициенты a. и свободные s члены b1s матриц формулы (16) для плоских модулей

Ui a pk Фк x b1s ai1 cos^k -pk sinфk b11 ai2 sin^k Pk cosфk b12 dU d2 x dx dt ’ d U X) = d U dt dx2

d ² U ( x ₁,..., x_k ) dt ²

A =

A i =

b 1 ₁

a 2 1

“

A ₂ =

^b 1 1

b 1 ₂

j = 1

Для пространственного модуля (i = 1, 2, 3 и s = 1, 2, 3) используем формулу (16) и данные табл.3, при этом

d ² U ( dXj ) ² d U d ² Xj

+ dx 2j dt dx dt2

j V 7 ^j

+ 21 1 d 2 U dx- dx j~1 -2dj+i dx- dx -2 dt dt

1 ₁

2 ₁

3 ₁

“ b i i

^a 2 i

3 ₁

1 ₂

2 ₂

3 ₂

, A 1 =

" ^Ь 1 2

2 ₂

3 ₂

1 ₃

2 ₃

3 ₃

“ ^Ь 1 з

2 ₃

3 ₃

1 ₁

“ ^b 1 i

3 ₁

^a i i

^a 2 i

" ^b 1 i

^A 2 ⁼

1 ₂

“ ^Ь 1 2

3 ₂

, A =

1 ₂

2 ₂

- b_x

1 ₂

1 ₃

“ ^Ь 1 з

3 ₃

1 ₃

2 ₃

— b

1 ₃

Производные второго порядка функций элементарных модулей

Дифференцируем выражения (12) и (13)

т.е. для определения полной производной второго порядка функции необходимо определить все частные производные первого и второго порядков этой функции, как чистые так и смешанные.

Дифференцируем систему уравнений (14) и (15)

d U 1

dx . • dx . j ₁ j ₂

^d U ² + b 2 = 0, (19)

dx . •dx .

d 2U

-----1— + a 2 dx • dx 2 dx • dx j1 j2 j1

= 0, (20)

Таблица 3. Коэффициенты a i и свободные члены b₁ s матриц формулы (16) для пространственных модулей

U i ^a>\	r k	a k	P k	x k b ₁
a i ₁	cos a k sin ^ k	-r k sin a k cos P k	-r k cos a k sin P k	b 1 ₁
a i ₂	sin a k	r k sin a k	0	^b 1 2
a i ₃	cos a k sin ^ k	-r k sin a k sin P k	-r k cos a k cos P k	^b 1 3

∂α _i ∂ b ₁

Таблица 4. Частные производные ^S и ^S матриц формулы (17) для плоских модулей

∂x ∂x j2 j2

x j 1	p k				ϕ k				x j ₁
x j ₂ ∂α i_S ∂ x j ₂	p k	ϕ k	p l	ϕ l	p k	ϕ k	p l	ϕ l	^xj 2 ∂ b 1 _S ∂ x j ₂
∂ a i ₁ ∂ x j ₂	0	-sin ϕ k	0	0	-sin ϕ k	-p k cos ϕ k	0	0	∂ b 1₁ ∂ x j ₂
∂ a i ₂ ∂ x j ₂	0	cos ϕ k	0	0	cos ϕ k	-p k sin ϕ k	0	0	∂ b 1₂ ∂ x j ₂

тогда при i = 1, 2; s = 1, 2; j1 = 1, …, k; j2 = 1, …, k, используя данные табл.4,

где

∂ ² U i ₌ ∆ i

∂ x_j ₁ ∂ x_j ₂ ∆

^b 2 1

= ∑3 ∂αi1 ⋅ ∂Ui + ∂b11 i=1 ∂xj2 ∂xj1 ∂xj2

где

∆=

1 ₁

^α 2 1

- b ₂₁

2₁

1 ₁

- b ₂₁

1 ₂

2 ₂

- b ₂₂

2₂

1 ₂

- b ₂₂

b 2 = ∑ ³ ^∂α ⁱ ² ⋅ ^∂ ^U ⁱ + ^∂ ^b ¹²

2 i=1 ∂xj2 ∂xj1 ∂xj2 ,

при

b =∑2 ∂αi1 ⋅∂Ui + ∂b11

²¹ i = 1 ∂ x_j ₂ ∂ x_j ₁ ∂ x_j ₂

_∑ ³ ∂α i ₃ i = 1 ∂ ^xj 2

∂Ui + ∂b12 ∂xj1 ∂xj2 .

Для каждого одно- и двухаргументно-

b =∑2 ∂αi2 ⋅ ∂Ui + ∂b12

22 i=1 ∂xj2 ∂xj1 ∂xj2 .

го модуля табл.1 на основе приведённых выше общих матричных решений могут быть получены аналитические выражения,

Для пространственного модуля (i = 1, 2, 3 и s = 1, 2, 3) используем данные табл.5 и формулу (17), при этом

минимизированнные по числу вычислительных операций.

Аналитическое и программное обеспечение абстрактных векторных модулей, ис-

∆=

∆ ₂

α 2 ₁

b 2 ₁

α 2 ₁

∆

1 ⁼

пользованное при решении различных научных и инженерных задач теории механизмов, может быть рекомендовано к широкому практическому применению, в частности, применительно к системам управления, например робототехнических систем.

- b21

αα

1 ₁ 2 ₁

∆=

- b21

- b22

- b23

Статья научная