Анализ автоматизированных информационно-кибернетических систем

Анализ информационно-кибернетических систем предполагает выявление свойств эмерджентности и эффективности функционирования. Анализу, обычно, подвергают реально существующие системы или системы, полученные в результате их синтеза по определенным критериям. В последнем случае анализ называют послеоптимизационным [1].

Каждая задача анализа и синтеза задается множеством исходных данных в М -мерном математическом пространстве D c подмножествами Dm (область определения системы, ограничения, показатели эффективности, критерии оптимальности, методы решения задач анализа и т.п.) мощностью Nm каждое. При этом полная мощность множества D (общее количество возможных комбинаций исходных данных) будет определять числом:

N d = П N m = V * , m = 1,- *

где ν - геометрическое среднее мощностей подмножеств Dm .

Очевидно, что число ND очень быстро растет с увеличением размерности М пространства, существенно затрудняя решения задач анализа и синтеза.

ИК-систему называют линейной (линеаризованной), если все ее элементы и система в целом описываются линейными уравнениями. Любая линейная система в непрерывном времени может быть математически представлена во временной области - весовой функцией h(t), в комплексной области - передаточной функцией W(p) и в частотной области - частотной передаточной функцией W(jto). С использованием прямых (L, F) и обратных (L-1, F-1) преобразований Лапласа и Фурье названные функции можно однозначно преобразовывать друг в друга.

Определяющим при линейном анализе ИК-систем является понятие передаточной функции - отношение выхода y(p) системы к ее входу x(p), представленное в операторной форме:

W ( Р ) = 4 4 ^{x (} Р )

.

Передаточные функции линейных систем образуются составом и способом взаимодействия элементов/частей системы.

Линейная система может быть создана с применением следующих основных типовых линейных звеньев:

_о        W ( p ) = K

– усилительного с ^y      , где К – коэффициент усиления звена;

Wa ( Р ) = Р

– дифференцирующего с ^Ä      ;

W e ( Р ) = -

– интегрирующего с        ^p ;

– форсирующего (так называемого реального дифференцирующего звена) с W o ^{( Р} ) = ⁽ ® ^Р + 1) , где 9 - постоянная времени звена;

– апериодического (так называемого реального интегрирующего звена) W ( Р ) = (Тр + 1)

с ^à           , где Т - постоянная времени звена.

– колебательного (так называемого апериодического второго прядка) с

W K ⁽ Р ) =

⁽ T ^{2 p} + T^p + 1) , где Т2 и Т1 — постоянные времени звена.

Практическое создание модульной конструкции линейной системы из типовых звеньев предполагает использование базовых принципов структурообразования:

– на основе принципа последовательности действий образуются ИК-системы с последовательной структурой, передаточная функция которых находится как произведение передаточных функций последовательно соединенных звеньев:

W™ , ( Р ) = П W n ( Р )• n ^G1-- N.

;

–

реализация принципа одновременности действий позволяет создавать системы с параллельной структурой, передаточная функция которых образуется суммой входящих звеньев:

Wad ⁽ Р ) = Е ^Wn ⁽ Р )’ n ^{Е 1}’'

I • ••,

N

;

– с использованием принципа обратной связи создаются замкнутые (следящие) системы с передаточной функцией:

W_f^ ( p ) =

w « ( p )

1 ± W ( pW^ ( p )

где Wпр(p), Wобр(p) - передаточные функции прямой и обратной цепей в структуре системы, причем знак «+» соответствует отрицательной, а знак «–» – положительной обратной связи в ИК системе.

В практических ситуациях на этапах обоснования целесообразности и разработки систем, как правило, для структурообразования используют комбинации названных принципов, соответствующих конкретной задаче создания и применения линейной системы в определенной предметной области.

Использование нелинейных дифференциальных уравнений для описания реальных систем и элементов определяется необходимостью более адекватного представления нелинейностей реальных характеристик элементов ИК-систем. Опыт теоретического и экспериментального исследования нелинейностей позволяет классифицировать и типизировать нелинейные звенья для удобства и простоты применения математических методов нелинейного анализа ИК-систем.

Типовые статические характеристики нелинейных звеньев принято представлять следующими группами.

Звенья с линейно - однозначными характеристиками:

– звено типа характеристикой вида

«зона нечувствительности» со статической

0, "ide |x | <  x 0,

y(x ) = <  k ( x - x ₀) "ide |x | >  x ₀,

k ( x + x ₀) ide |x | < - x ₀.

– звено типа «ограничение» (или «насыщение») со статической характеристикой вида

У ^{( x} ) =

<

kxide |x|

y ₀ ide |x|

< x o , >  x ₀.

Характеристика этого типа может быть дополнена нечувствительности, как у предыдущего звена. В результате дополнения образуется звено типа «ограничение с

(7) зоной такого зоной

нечувствительности».

Динамические характеристики нелинейных звеньев математически представляются дифференциальными уравнениями, в которых переменными могут быть параметры, например,

– постоянная времени апериодического звена:

У ( p ) = -JxJpL-T ( p ) p + 1

, d p = где dt — оператор Лапласа и дифференцирования;

• -    запаздывание т(х): y(p) = x(p)e;

• -    смещение частоты ^(x): y(j(® ^)) = x(j®)e;

• -    смещение фазы S (x): y(j(® - ^ = x(j®)e(

• и    комбинации такого рода возможностей.

Результаты решения нелинейных уравнений графически представляют в информационно-фазовых пространствах состояний и переходов.