Анализ динамических характеристик кластеров маховиков в системе управления ориентацией космического аппарата

Для управления ориентацией любых космических аппаратов (КА) – спутников [1], космических роботов [2] и др. применяются реактивные двигатели-маховики и силовые гироскопы. Двигатели-маховики (ДМ) традиционно используются в системах управления ориентацией (СУО) как миниатюрных, так и крупногабаритных информационных спутников, когда КА не совершает быстрых поворотных манёвров и основное требование к электромеханическому приводу СУО заключается в обеспечении необходимой области вариации вектора его кинетического момента (КМ).

Здесь наиболее популярны минимально избыточные схемы на основе четырех ДМ: схема NASA, рис. 1 a , где оси вращения трех основных ДМ направлены вдоль осей канонической системы координат O x _c ^g y _c ^g z _c ^g , фиксированной в связанной с корпусом КА системе координат (ССК) O xyz , а четвертый резервный ДМ – по пространственной биссектрисе между этими осями, и схема General Electric ( GE ), где оси вращения четырех ДМ расположены симметрично вдоль образующих линий кругового конуса с углом полу-раствора γ , рис.1 b .

Применение кластера ДМ по схеме NASA реализуется следующим образом: в начале миссии

Рис. 1. Схемы кластеров NASA ( a ) и GE ( b )

КА работают три основных ДМ; при выходе из строя любого такого ДМ активируется четвертый резервный ДМ и кластер продолжает работать, но с уменьшенной областью вариации вектора его кинетического момента.

Кластер ДМ по схеме GE используется по-другому: в начале миссии КА работают все четыре ДМ; при отказе любого ДМ кластер остаётся работоспособным, но также с уменьшенной областью вариации вектора его КМ.

С целью обеспечения отказоустойчивости СУО проектирование кластера ДМ традиционно выполняется сразу для двух проектных конфигураций – стандартной (штатной) конфигурации, когда работоспособны все четыре ДМ, и резервной конфигурации, когда имеется отказ любого одного ДМ из трёх основных ДМ в схеме NASA и, соответственно, из четырёх ДМ в схеме GE .

Важная проблема возникает, когда любые два ДМ выходят из строя. В этом случае область вариации вектора КМ кластера ДМ представляется ромбом в соответствующей плоскости канонической системы координат, поэтому пространственное угловое движение КА не является полностью управляемым и целесообразно управлять ориентацией КА с помощью двух работоспособных ДМ и магнитного привода (МП) с цифровым управлением тремя электромагнитами. Отметим, что управление тандемом этих приводов является непростой задачей, так как вектор геомагнитной индукции существенно изменяется в ССК из-за пространственного движения КА и вращения Земли.

В статьях [3-5] мы исследовали задачу обеспечения живучести цифровой СУО мини-спутника землеобзора при всех шести вариантах возможных отказов двух ДМ в кластере по схеме GE . Установлено, что разработанные законы управления кластером ДМ и МП обеспечивают трассовую сканирующую съёмку земной поверхности, но не на любом участке орбиты путника и при снижении доступных ускорений КА в процессе его поворотных манёвров в двух вариантах отказов ДМ. В статье [6] выполнен сравнительный анализ основных энергетических характеристик кластеров маховиков и гироди-нов при управлении космическим роботом на геостационарной орбите.

В данной статье сравниваются динамические характеристики кластеров ДМ указанных типов в отношении размеров областей вариации векторов их кинетического и управляющего моментов, как в штатной конфигурации, так и при отказе любого одного ДМ в их составе.

Рис. 2. Кластер ДМ по схеме NASA и области вариации вектора его КМ для двух конфигураций

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Используются простейшая модель углового движения КА в виде свободного твердого тела с тензором инерции J , который совершает пространственное угловое движение с помощью кластера ДМ по схеме NASA либо GE , рис. 1. Наряду с ССК O xyz применяются инерциальная система координат, стандартные символы { • } = colQ, [ • ] = lineQ, ( - ) ‘ ,[ -х ] и ° ,~ для векторов, матриц и кватернионов, а также S _а = sin а , C _а = cos а и i = 1,2,.. m = 1 + m .

В инерциальной системе координат угловое движение КА определяется кватернионом Л , векторами угловой скорости го = { to i } и углового ускорения Ь = Е = { £ i }, i = 1 ^ 3. Вектор КМ любого из двух рассматриваемых кластеров ДМ представляется в ССК столбом Н = { H i }.

Будем считать, что при отсутствии внешних возмущающих моментов вектор G = J m ( t ) + Н ( t ) суммарного кинетического момента КА вместе с кластером ДМ удовлетворяет условию баланса G = 0 . В этом случае модель пространственного углового движения КА имеет простейший вид

Л = Л ° to /2; J b ( t ) = - Н ( t ) = М , (1) где столбец M = { M i } = - { H * } , i = 1 ^ 3, представляет вектор управляющего момента (УМ) соответствующего кластера и применяется символ ( • ) локальной производной вектора по времени.

Реактивный ДМ с номером # p е [1,2,3,4] вращается вокруг неподвижной в ССК оси с ортом ap, p = 1 ^ m, m = 4. При этом изменению вектора его КМ hp = hpap с ограниченным модулем | hp |= hp

Пусть для простоты каноническая система координат O xgygzg (рис. 1) совпадает с ССК Oxyz, оси которой совмещены с главными центральными осями тензора инерции J = diag(J i) при максимальном J^m= max(Ji) и минимальном J_m= min(Ji) моментах инерции, соответственно. Для упрощения сравнения динамических характеристик кластеров также принимается, что одинаковый для всех ДМ осевой момент инерции Jr< J_mи не учитываются моменты всех сил сопротивления по осям вращения двигателей-маховиков.

Задача заключается в расчете радиуса R_H шара, вписанного в область вариации вектора H КМ сравниваемых кластеров ДМ как в штатной конфигурации, так и при отказе любого одного ДМ в их составе, а также в оценке радиуса R_Mшара, представляющего возможности соответствующего кластера ДМ по созданию вектора управляющего момента M в ССК.

АНАЛИЗ ОБЛАСТЕЙ ВАРИАЦИИ ВЕКТОРОВ КМ И УМ КЛАСТЕРОВ

Вводятся нормированные векторы КМ двигателей-маховиков hp = hpap с ограниченными модулями | h |= h = h /hm < 1, столбец нормированных КМ отдельных двигателей-маховиков h = {hp} и столбец нормированного КМ Н = {Hi} = {x, y, z} = Zhp кластера ДМ, которые связаны соотношением Н = Ah. Здесь матрица A = [ap ] соответствующей размерности представлена строкой, составленной из столбцов отображений ортов ap осей вращения ДМ на оси ССК Oxyz. Вводится также столбец m = {mp } нормированных УМ отдельных ДМ с компонентами mp = mp/mm.

Радиус R_Hшара, вписанного в область вариации истинного кинетического момента кластера ДМ, связан очевидным соотношением R_H= h^mr_Hс радиусом r_Hаналогичного шара для нормированных векторов КМ двигателей-маховиков.

Оси вращения ДМ фиксированы в ССК, поэтому при любой конфигурации кластера ДМ области вариации их векторов M и H являются конгруэнтными, а оценка радиуса R_M шара, вписанного в область вариации вектора M получается по соотношению R_M= mm r_M, где r_Mпредставляет радиус аналогичного вписанного шара для нормированного вектора УМ M = {Mi} = M/mm.

СХЕМА NASA

Здесь орты ap осей вращения ДМ отображаются на оси ССК Oxyz столбцами а, = {1,0,0}; а2 = {0,1,0};

а₃= {0,0,1}; а₄= {a, a, a }, где a = C_Y = V1/3 = 0.57735, что соответствует значению угла у = 54°44'.

Рис. 3. Область вариации вектора КМ кластера ДМ по схеме NASA при отказе ДМ #3

В штатной конфигурации такого кластера ДМ матрица А = [a_p ], p = 1 + 3 имеет вид A = A3, где A3 = I3 при стандартном обозначении единичной матрицы 13. Область вариации вектора H нормированного КМ такого кластера ДМ представляется кубом, в который вписывается шар радиусом rH = 1, см. трёхмерное изображение в правой части рис. 2, зелёный цвет. При этом радиус r_M шара, вписанного в об-

СХЕМА GE

В штатной конфигурации этого кластера ДМ (рис. 4) матрица A4 = [ap ], p = 1 ^ 4, расположения осей вращения ДМ в ССК формируется из столбцов ai = {Сy, 5y,0}; a2 = {Сy,-5y,0};

аз = {Сy ,0,5y }; a₄= {Сy ,0,-5y},

ласть вариации нормированного вектора управляющего момента, имеет также очевидное значение rM = 1.

При отказе любого из трех основных двигателей-маховиков включается резервный ДМ #4 с ортом a₄= {a, a, a} оси его вращения в ССК. Для достижения максимальных значений нормированных радиусов r_Hи r_Mнеобходимо увеличение допустимых модулей векторов КМ и УМ резервного ДМ #4, именно следует принять h4 - h4 /hm < d4m и m₄- m₄ /mm < d₄^mс пара

столбец h = {h _p }, составленный из КМ h_p, p = 1 ^ 4 отдельных ДМ, связан с вектором Н КМ кластера соотношением Н = А₄h и вектор УМ кластера М =-Н =-А₄m, где (3 х 4) -

матрица

A4

^CY ⁵Y 0

С с

Y Y

^^^^^^^в

⁵Y

⁵у

^CУ 0

" ⁵Y

метром d4m = 1.216. При отказе, например, ДМ

# 3, матрица	A = A 3 = [a1, a 2, a 4]	и обратная
матрица A31	имеют вид
"1	0 a 1     "10	-1"
A 3 = 0	1 a ; A -1= 0 1	-1 ,(2)
_0	0 a J     [00	1/a

Как известно [7], система векторов xp, p = 1 ^ m                         m p в евклидовом пространстве R является линейно независимой, если матрица Грама

G, составленная их этих векторов, имеет определитель G = det (G) > 0, который равен квадрату объема m -мерного параллелепипеда, построенного на векторах x _p, направленных по его ребрам.

В рассматриваемом варианте класте-

а область вариации вектора нормированного КМ такого кластера ДМ представлена в правой части рис. 2, синий цвет, а также на рис. 3. При таком варианте отказа в область вариации вектора H нормированного КМ кластера вписывается шар радиусом rH = 0.705, см. проекции и трёхмерное изображение на рис. 3. В итоге получаются значения радиусов RH = 0.705h^mи R_M= 0.705 mm.

ра ДМ имеем m = 4, x _p = a_p и матрица Грама представляется в явном виде G = А₄А4 = 16diag(C² S_y², S2) с определителем G = 16 CY S_y⁴.

Выбор значения угла у в (4) основан на максимизации объема указанного параллеле-

пипеда, что достигается при максимальном значении определителя G, когда d G / dу = 0. В результате получаются явные аналитические соотношения

Рис. 4. Кластер ДМ по схеме GE в штатной конфигурации и область вариации вектора его КМ

d G / dу = 16[-2 5_YCy 5y⁴ + 4 C2 Cy 5

УПРАВЛЕНИЕ КЛАСТЕРОМ ДМ

= 325yCy 5y²[-5y² + 2 CJ] = 0;

5Y²= 2 CJ ^ tg y = V2 ;

C_Y = a = 1/д/1 + tg²Y = 7173 = 0.57735;

5Y  b = tg Y/V1 + tg2 Y = 7273 = 0.8165 0,

по-прежнему при значении y = 54°44'.

Область вариации нормированного КМ этого кластера ДМ с учетом двух плоскостей, где располагаются компланарные орты a1, a₂и a₃,a₄соответственно, представляется в ССК десятигранником, каждая грань которого является ромбом, см. рис 4, зеленый цвет. В эту область вписывается шар радиусом r_H = 25_Y = 2^2/3 = 1.633, который касается всех 10 граней, см. рис. 4. В итоге получаются значения искомых радиусов

При отсутствии избыточности кластера не возникает каких-либо проблем управления ДМ, см. матрицы A3¹(2) и (4). Для кластера по схеме GE в штатной конфигурации проблема заключается в распределении векторов КМ и УМ между избыточными числом ДМ. Здесь при матрице A4 (3) задача состоит в решении двух векторных уравнений

А₄h = Н V Н е R³, h е R⁴;

А₄m = -М = Н* V Ме R³, mе R⁴. ()

Распределение КМ и УМ двигателей-махови-

R_H = 1.633h^mи R_M= 1.633mm.

HM

В этой схеме при отказе, например, ДМ #4,

матрица	A = A3= [a,, a2, a3]	и обратная ма-
трица A3	1 имеют вид
a	a a          qa	qb-qb"
A 3= b	- b 0 ; A-1= qa	-qb   -qb , (4)
0	0 b J       [ 0	- qb 1/b _

ков с их минимальным принуждением основано на применении псевдообратной матрицы

7 01

- 2

A # = A 4 G

где qa = (2a)^-1и q_b = (2b) ¹, и область вариации вектора нормированного КМ кластера представлена на рис. 5 вместе с вписанным в неё шаром радиусом rH = 0.816. В результате при данной конфигурации кластера ДМ получаются значения радиусов R_H= 0.816h^mи R_M= 0.816m^m.

Но здесь отсутствует единственность решения уравнений (5), что приводит к накоплению погрешности [8]. Для устранения этого коварного эффекта были предложены различные подходы, например, представленные в патентах [9,10].

Мы применяем скалярную функцию настройки такого кластера для однозначного распределения векторов Н и M между ДМ по явным соотношениям [11]. Компоненты нормированного КМ кластера МД представляются как y = b(h₁ -h2) ; z = b(h₃ -h₄), x = x1 + x2, где x1 = a(h1 + h2) и x₂= a(h₃+ h₄). Распределение вектора H нормированного КМ осуществляется по закону

Рис. 5. Область вариации вектора нормированного КМ кластера ДМ при отказе ДМ #4

f , (h) = x - X₂+ p(x_xX₂-1) = 0, (6) где 0 <р<1, р = const; xi = ^xi / qy^; ~₂= x₂/ qz, qs = (4 a²- s²)^1/2, s = y,z, а также, при обозначениях c = x /2, d = qyqz - c², соотношениями

(i): q≡q_y +q_z;

A =(qIp)(1-(1 -4p[(qy -qz)c + pd]/q²)^1/2);

x = (x + A)/2, x₂= (x -A)/2 ;

• (ii)    распределение КМ между ДМ в их парах по очевидным соотношениям;

• (iii)    распределение вектора M по формуле

m = {mp } = ({A ₄, a^f})^-1{-M, Фр (h)}, (7)

где функция Ф_р(h) = -h^msat(ф_p, ц_рf _p (h)) имеет положительные параметры ф_р, Ц_ри строка a^f= [a ^f_p ] = df _р (h) / dh имеет компоненты af₂= ²^a[2a² ±b²h₂(h₁-h₂)][1 + pa^hilh⁴)];

’    qy                                    Qz f 2 a 2    2                   a (hi + h 2)

a_i4= —r[2a + bh₄(h₃-h₄)][1 + p---------].

’     Qz                                     Qy

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

В таб. 1 представлены значения радиуса r_H шара, вписанного в область вариации нормированного вектора КМ сравниваемых кластеров ДМ, как при их штатной конфигурации (Штатн.), так и при отказе любого одного ДМ (Отказ ДМ). Учитывая подобие областей вариации векторов M и H, что отражается в одинаковых значениях радиусов rH и r_Mшаров, вписанных соответственно в области вариации нормированных векторов КМ и УМ этих кластеров, нетрудно убедиться в преимуществах схемы GE – «выигрыш» по rH и r_Mболее 63% в штатной конфигурации и 16 % при отказе любого одного ДМ, одинаковые ограничения на значения КМ и УМ для всех четырех ДМ.

При штатной конфигурации сравниваемых кластеров ДМ потребные значения мощности и энергии кластера по схеме GE немного превышают аналогичные показатели кластера по схеме NASA. Этот эффект объясняется необходимостью дополнительных энергетических затрат [6]

Таблица 1. Радиус rH шара вариации КМ

Схема NASA Схема GE Штата. Отказ ДМ Штата. Отказ ДМ 1.00 0.705 1.633 0.816 для настройки кластера четырёх ДМ с целью исключения его избыточности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кратко представлены результаты сравнительного анализа динамических характеристик минимально избыточных кластеров двигателей-маховиков по схемам NASA и General Electric, как в штатной конфигурации, так и при отказе любого одного двигателя-маховика в их составе. Установлены преимущества схемы General Electric по размерам областей вариации векторов их кинетического и управляющего моментов, но в штатной конфигурации эта схема немного «проигрывает» схеме NASA в отношении потребных значений мощности и энергии из-за дополнительных энергетических затрат для настройки кластера четырёх ДМ при исключении его избыточности.