Анализ единственной оптимальной стратегии при экономической постановке задач игры с природой в теории игр

Статья посвящена анализу единственной оптимальной стратегии при антагонистической игре, а так же возможности приведения экономической постановки задачи к антагонистической игре.

ИГРА, ФАКТОР, ПРЕДПРИЯТИЕ, УСЛОВИЕ, МАТРИЦА, ФИРМА, МАКСИМИЗАЦИЯ, МИНИМИЗАЦИЯ, МАТРИЦА

Bengina P. M., master of the Institute of Economics and management

Samara national research University named after academician S. P. Korolev

Russia, Samara

ANALYSIS OF A SINGLE OPTIMAL STRATEGY WITH THE

ECONOMIC OBJECTIVES WITH NATURE IN GAME THEORY

The article is devoted the only optimal strategies in zero-sum game, as well as the possibility of bringing the economic formulation of the problem to a zerosum game.

THE GAME FACTOR, THE COMPANY, THE CONDITION, THE MATRIX, THE FIRM, MAXIMIZATION, MINIMIZATION, MATRIX

Предполагается, что предприятие производит 3 вида обуви: меховые сапоги (A1), резиновые сапоги (A2) и кроссовки (A3). Прибыль от продаж товара каждого вида определяется состоянием спроса, на который существенное влияние оказывают погодные условия, принимающее 3

формы: дождь (B1), снег (B2) и солнце (B3). Зависимость дохода предприятия от вида продукции и погодных условий представлена в таблице 1 (млн. руб):

Для данного условия составлена платежная матрица A:

А=

(10  6  2)

Элемент матрицы A — (aij) показывает, какой доход может получить фирма, если она будет выпускать товар i (i =1, 2, 3), а погода будет находиться в состоянии j (j = 1, 2, 3) [1].

В данном случае предприятие стремиться продать произведенную продукцию и получить максимальный гарантированный доход, не зависящий от погодных условий. Для этого необходимо рассчитать пропорции, в которых фирме следует производить свою продукцию.

Данная задача может быть сведена к антагонистической игре: в качестве первого игрока выступает предприятие, а в качестве второго — природа. Предполагается, что природа может вести себя таким образом, чтобы минимизировать выгоду фирмы, преследуя, таким образом, противоположные интересы (это предположение позволяет оценить доход фирмы при максимально неблагоприятных погодных условиях). В этом случае фирма имеет в своём распоряжении три чистые стратегии:1. производство только меховых сапог;2. производство только резиновых сапог;3. производство только кроссовок;

При этом у природы следующие стратегии:1. дождь (B1);2. снег (B2); 3. солнце (B3).Таким образом, решение проводится в три этапа.

Во-первых, сделан вывод, что матрица A не имеет доминируемых стратегий, следовательно, упростить ее нельзя.

Данная антагонистическая игра не имеет седловой точки и решения в чистых стратегиях.

По итогам предыдущих пунктов решение игры необходимо искать в смешанных стратегиях. Игра сводится к задаче линейного программирования. Если предприятие применяет свою оптимальную смешанную стратегию P*, а природа применяет последовательно свои чистые стратегии, то математическое ожидание дохода, который фирма может получить, будет не меньше цены игры V. Таким образом, должна выполняться следующая система неравенств:

6∗p1+10∗p2+1∗p3 ≥V

{ 9 ∗ p1 + 6 ∗ p2 + 2 ∗ p3 ≥ V } 4∗p1+2∗p2+8∗p3 ≥V

Решение данной системы неравенств произведено путем деления их на

V и введены следующие переменные:

Y1 = p1 ; Y2 = p2 ; Y3 = p3 ;

Поскольку p1 + p2 + p3 = 1, введенные переменные удовлетворяют условию:

Y1 + Y2 + Y3 = 1                                       (3)

Стоит учесть, что цель первого игрока — максимизация его выигрыша, а математическое ожидание его выигрыша не меньше цены игры, он будет стремиться максимизировать цену игры, что эквивалентно минимизации величины 1 [2].

Таким образом, для первого игрока задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:

F(yi) = Y1 + Y2 + Y3 ^ min                                  (4)

при прямых ограничениях:

у1 > 0, у2> 0, у3> 0

Далее рассмотрен другой игрок — природа. Если она будет применять свою оптимальную смешанную стратегию Q*, а первый игрок, предприятие, будет последовательно применять свои чистые стратегии, то математическое ожидание проигрыша второго игрока не будет превышать цены игры. Так, аналогично первому игроку, выполняется и решается система неравенств.

Задача первого игрока решена симплекс-методом. Полученные результаты:

y1 = 0,0524; y2 = 0,06; y3 = 0,0838; V = 5,093

p1 = 0,267; p2 = 0,307; p3 = 0,426; F(yi) = 0,1962

Задача второго игрока решается также симплекс-методом. Полученные результаты:

x1 = 0,0157; x2 = 0,0688 x3 = 0,1126; V = 5,093

q1 = 0,08 q2 = 0,347; q3 = 0,573; F'(xi) = 0,1971

Так, предприятию гарантирован средний доход в размере 5,093 млн. у. е. при самых неблагоприятных условиях. Оптимальная стратегия для него — производство всех трех видов одежды, причем меховые сапоги должны составлять 26,7% выпуска, резиновые сапоги — 30,7 %, а кроссовки — 42,6 %.

Влияние дождя на ассортимент и доход фирмы -8 %, снега — 34,7 %, солнца— 57,3 %.

Рассмотрены альтернативы выбора единственной оптимальной стратегии

• 1.    Критерий Вальда

• 2.    Критерий Гурвица. Предполагается, что А = 0,5.

• 4.    Если принять известным распределение вероятностей наступления различных погодных условий, условно приняв каждую их равной 1/3, для принятия решения можно найти математическое ожидание выигрыша [3].

maxi(minj aij) = max (4; 2; 1) = 4.

Согласно данному критерию оптимальной стратегией является производство меховых сапог.

maxi(A*minj aij + (1-A)*max aij) = (6,5; 6; 4,5) = 6,5

Согласно данному критерию оптимальной стратегией является производство меховых сапог.

M1 = 6/3+9/3+4/3 = 19/3

M2 = 10/3+6/3+2/3 = 18/3

M3 = 1/3+2/3+8/3 = 11/3

Так как максимальное математическое ожидание имеет М1, следует производить меховые сапоги. Следует отметить, что вариант оптимальной стратегии, полученный при помощи критериев, не совпадает с рассчитанным ранее. Это связано с тем, что данный метод позволяет выбрать стратегию, подразумевающую производство только одного товара с минимальными потерями, в то время как первоначальный способ ориентирован на расчет оптимальной пропорции между всеми группами производимых товаров.

Таким образом, в современном мире зачастую приходиться делать выбор среди множества вариантов. Принять грамотное и правильное решение помогают различные математические методы, позволяющие выбирать наиболее оптимальную и эффективную стратегию.