Анализ физических и математических моделей напряженных магнитоанизотропных структур

В настоящее время напряженные магнитоанизотропные структуры (НМАС) находят широкое применение не только в устройствах сбора и обработки информации, но и в качестве многофункциональных устройств (МФУ): преобразователях силы, момента и перемещения; модуляторах, ключах и переключателях; регулируемых линиях задержки; акселерометрах и др. [1-7].

В связи с этим возникает актуальная задача оценки эффективности существующих физических и математических моделей НМАС при разработке различных МФУ.

Принципиальная базовая схема неуправляемых и управляемых НМАС этих устройств выполнена из двух кольцевых ферромагнитных элементов ЧЭ1 и КЭ3 (чувствительного и компенсационного, рис. 1) по дифференциально-трансформаторной резонансной схеме (обмотки возбуждения 5, 8 соединены последовательно-согласно и к генератору 2, а обмотки измерительные 4, 9 соединены последовательно-встречно и через конденсатор 6 с регистратором 7 и обмотки управления 10).

Математическая реализация такой кольцевой физической модели НМАС в трехмерном

Рис. 1. Принципиальная базовая схема НМАС пространстве вызывает непреодолимые трудности из-за сложности распределения электромагнитного и силового полей в кольцевом ЧЭ. Для упрощения обобщенной физической модели кольцевого ЧЭ его неуправляемая и управляемая НМАС была представлена в двухмерном пространстве в виде прямоугольной пластины из ферромагнитного материала, равной сечению кольцевого элемента, при силовом воздействии в электромагнитном поле (рис. 2) [1-3].

При этом вводятся следующие допущения [1, 2]:

1. Магнитное поле ЧЭ изменяется по синусоидальному закону; 2. Магнитное поле равномерное и имеет нормальную составляющую магнитной индукции Bz; 3. Комплексная магнитная проницаемость ЧЭ для заданного цикла перемагничивания постоянна; 4. Плотность токов по толщине пластины не изменяется; 5. Тангенциальные составляющие напряженности электрического поля Еа и Ев на границах пла- стины постоянны; 6. Поля, идущие в обход пластины, относятся к полям рассеивания; 7. Среда пластины изменяется под действием силы; 8.

Механические напряжения в пластине имеют нормальную составляющую σ и действуют в нормальной к пластине плоскости.

При введенных допущениях обобщенная физическая модель неуправляемой НМАС ЧЭ описывается системой дифференциальных уравнений теорий электромагнитного поля, ферромагнетизма и упругости в декартовых ко- ординатах [1-3].

эн

—я

ЭЕ дЕ

\ --~ — --~ = ]ШЦ Н ;

Эх ду'

дБ 1

--Я             я энн эн

--Я --Я я dw dP(t) 1 Е— ==

^ dz dS

где γx и γy – удельные электрические проводимости по x и y; Ex, Ey, Hz – комплексы действующих значений напряженностей электрического и магнитного полей на поверхности пластины по осям x, y, z; ω – круговая частота поля; w – деформация НМАС; S – площадь сечения пластины; μσ=μн-∆μ – магнитная проницаемость под действием σ [1-7]; μн – начальная магнитная проницаемость; ∆μ – изменение магнитной проницаемости.

Граничные условия имеют вид:

| HSG) при ж = +а;

V 0 при х = +Ь.

Г Н^х) при у = +Ь;

V О при х = +а.

где ℓ=2a, t=2b – толщина и ширина пластины; с – длина пластины; σ – нормальные механические напряжения в пластине при действии силы P на поверхности S.

Решение дифференциальных уравнений (1-5) с условиями (6-7) осуществляется в результате анализа магнитного и электрического состояний напряженной магнитоанизотропной структуры (НМАС) ЧЭ с учетом уравнения

(5) закона упругости. В результате определены электрические и магнитные параметры НМАС и характеристики преобразователей [1-3]. Разработана физическая модель управляемых НМАС для магнитоанизатропных ключевых элементов (МКЛ) (рис. 2), выполненных по дифференциально-трансформаторной схеме [1-3].

Обобщенная физическая модель управляемой НМАС также представлена в виде ферромагнитной пластины в электромагнитных полях возбуждения и управления при статическом силовом воздействии (рис. 2) при вышеназванных допущениях [1-3].

Eth- Ej

У н»

Ни / t = 2b

Рис. 2. Обобщенная физическая модель неуправляемой при E _y=0 и H _y=0 и управляемой при E _y≠0^y и H _y≠0^y НМАС

Физическая модель на рис. 2 с учетом принятых допущений в двухмерном пространстве при одновременном воздействии силового поля и полей возбуждения и управления описывается следующими дифференциальными уравнениями в декартовых координатах для МКЛ [3].

Е*^ = а,, где γx и γy – электрические проводимости по x и y; Ex, Ey, Exy, Eyy – напряженности электрических полей от возбуждения и управления по осям x, y; Bz, Bzy – магнитные индукции обмоток возбуждения и управления; ω, ωy – круговые частоты полей возбуждения и управления; σz – нормальные механические напряжения в НМАС; μσz – магнитная проницаемость от механических напряжений σz; E – модуль упругости; – деформация точки структуры по оси z.

Граничные условия при этом имеют вид:

| H_z(y) при x = +a;

НДх, — \H_n при x = +a: у = 0:

к 0 при x = +b.

Г H„(y) прих = ±a;

H_iy(x,y) = л H_Q при x = fa; у = 0; (12)

к 0 прих = +b.

f ^ZGD ПРИ x = i^;

//_z(x,y) = л H_b прих = +b;x = 0;

к 0 при x = +a.

Г H^GD прих= ±b;

/f_zyG,y) ⁼ ) H_b при x = +b;x = 0; (13) к 0 при x = +a.

/      0    при t < t_t;

^-_VG) = при t_t t₂;

(      0    при t > t₂.

f 0 при t < t_t;

«zvG0=]« npHt1

I —zmax (        0 при t > t₂.

где a и b – размеры пластины; t – время срабатывания МКЛ; t₁ и t₂ – время включения и выключения МКЛ.

Решение уравнения ферромагнетизма (11) известна в литературе и его решение имеет вид [1-3]: и — и = и — ^u + Ди — и + Ди = Ди , ^г к "у ^г н "а "у ^г н "а "у'

где μ_у и μ_к – магнитные проницаемости управляемого и компенсационного элементов; ∆μ_σ– изменение проницаемости.

Решение матмодели (8-11) с условиями (1214) осуществляется так же как и предыдущей и позволяет определить электрические и магнитные параметры управляемой НМАС и определить выходную характеристику МКЛ [1-3].

Рассмотренные физические и математические модели НМАС устройств контроля не полностью отражают суть процессов, происходящих в НМАС кольцевых ЧЭ, так как рассматриваются в двухмерном пространстве.

Поэтому была разработана физическая модель НМАС в виде реальной кольцевой структуры [4-7].

Обобщенная физическая модель неуправляемой и управляемой НМАС ЧЭ сжатия и растяжения представлена на рис. 3 в виде четверти ферромагнитного кольца, сечение которого ориентированно в сферической системе полярных координат таким образом, чтобы вектор нормальных напряжений σ совпадал с направлением магнитного поля Hc, а вектор касательных напря- жений τ был с ним перпендикулярен, где P – сила воздействия на кольцо, направленная по радиусу ЧЭ под прямым углом к полю Hc; a = rн – rв; rн и rв – наружный и внутренний радиусы кольца; а – толщина кольца; b – ширина кольца; r0 – средний радиус элемента; φ – угол между осью симметрии сечения и радиусом rв; Er и Eв – напряженности электрического поля на гранях сечения; Bс – максимальная магнитная индукция внешнего магнитного поля; Hс – напряженность магнитного поля перпендикулярная сечению кольца; i – ток в обмотке возбуждения; iв – вихревой ток; iy – ток управления; θ – угол между осью симметрии сечения и радиусом r0 по длине кольца в рад.

Рис. 3. Физическая модель НМАС обобщенная при i_у=0 и i_у≠0, τ=0 и τ≠0

Математическая модель неуправляемой НМАС ферромагнитного ЧЭ описывается уравнениями теории электромагнитного поля, ферромагнетиз -ма и упругости. Решение этой модели в трехмерном пространстве связано с большими трудностями. Поэтому задача также была сведена к двумерной и решена в полярных цилиндрических координатах при принятых выше допущениях [4].

При одновременном воздействии силового поля (без учета касательных напряжений) и электромагнитного поля возбуждения состояние НМАС ЧЭ описывается дифференциальными уравнения- ми в полярных цилиндрических координатах.

где γr и γφ – удельные электрические проводимости по направлениям; Er, Eφ, Hc – комплексы действующих значений напряженностей электрического и магнитного полей по поверхности сечения кольца по переменным r, φ и с; с = 2πr0 = const – длина кольца; μσ – магнитная проницаемость под действием механического напря- жения σ; wr – перемещение точки структуры по радиусу r; E – модуль упругости.

Граничные условия при этом имеют вид (рис. 3)

b                ь

И_с^ ФЛ*) = ff_c(y) при — arcsin--- < ф < arcsin---. (21)

• V—       —             2г _в           2г_в

  При малых углах φ имеем

  
  

  b ≈ L=           .

  <^1

  
  

Н_с(г, у) = 0 при ф = +arcsin —;

Н (

) = О при г = г о + -.

Совместное решение уравнений тории ферромагнетизма (18) и упругости (19) в литературе позволяет при радиальном сжатии кольца определить магнитную проницаемость НМАС [1, 2]:

0,5632_£a_£g г₀Р

° н         н nB2abz где μн – начальная магнитная проницаемость; ∆μ – изменение магнитной проницаемости от P.

Совместное решение системы уравнений электромагнитного поля (15-17) с условиями (2022) позволяет определить напряженности магнитного поля H_c и электрического поля E_r и E_φ, параметры НМАС и далее преобразователя [1-7].

Рассмотренные физическая и математическая модели, как и предыдущие не отражают полную картину силового поля в ЧЭ, так как задача по существу решена в двухмерной плоскости.

В реальных кольцевых ЧЭ имеет место сложная картина распределения механических напряжений, когда одновременно возникают различного вида напряжения сжатия σ_s, растяжения σ_p и сдвиговые (касательные) напряжения τ, которые не учитываются предыдущими моделями (рис. 3).

Общее выражение для определения нормальных механических напряжений сжатия и растяжения в кольцевом ЧЭ под действием силы нажатия P записывается [1, 2, 5]:

0,5Р Г        гл   / гл   \      1

, (24)

Ья L    яка   z   J где верхние знаки относятся к наружной поверхности кольцевого ЧЭ, а нижние знаки – к внутренней поверхности ЧЭ.

При θ=0 наружная поверхность ЧЭ сжимается под действием σc, а внутренняя растягивается под σр (см. рис. 3). При θ=π/2 картина меняется на обратную: наружная поверхность растяги- вается под σр, а внутренняя – сжимается под σc. Картина распределения напряжений повторяется для каждой четверти кольца.

Используя обобщенную физическую модель ЧЭ на рис. 3, определяются максимальные напряжения сжатия σ_c при θ=0 и растяжения σ_р при θ=π/2 согласно выражений (24) и

Учитывая 3-ю гипотезу прочности для ЧЭ и максимальные касательные напряжения                  определяются эквивалентные механические напряжения при работе ЧЭ на сжатие и растяжение [5-7]:

стэс = V^Tb^-^CTp;

Подстановка выражений (25) в формулы (26) и (23) позволяет получить:

и определить магнитную проницаемость НМАС [1, 2]:

,             (28)

где (-) – при сжатии элемента; (+) – при растя- жении элемента; μн – начальная магнитная проницаемость элементов 1 и 3 (рис. 1); ∆μ – изменение магнитной проницаемости.

При принятых выше допущениях и предположениях при одновременном воздействии силового поля сжатия или растяжения и поля возбуждения состояние соответствующего неуправляемого ферромагнитного ЧЭ описывается дифференциальными уравнениями в сферических полярных координатах [5]:

"9-с

ЭЕ   ЭЕ     ЭВ

• -—^!- — --- = —---= —jto^ Н ;

dr    Эср      dt^-т ^с

ЭВ    1  ЭВ  /эн   эн   эн'

—+ —■ — ■— +—+ —

ЭН^    В²  ЭН_  ^dff_p   Эа_с    дт

(dw  dw   dw=\

-+ —+- dr    d

где σэ – соответствующие эквивалентные напряжения кольцевых ЧЭ; γр и γφ – удельные электрические проводимости по направлениям; Er, Eφ, Hc – комплексы действующих значений напряженностей электрического и магнитного полей по поверхности сечения кольца по переменным r, φ и θ; с – длина кольца; r0 – средний радиус элемента; ω – круговая частота; μ σэ – магнитная проницаемость от механического напряжения

σэ; wr, wφ и wθ – перемещение точек структуры по радиусу r, углам φ и θ; E – модуль упругости; θ – угол в радианах.

Граничные условия при этом имеют вид (рис. 3): a

Н_с(г,ф) = H_c(r) приг = г₀ + —; ф = О; т, < г< г_н; (34)

b                ь

Н^ ф,т) = H^q?) при — arcstn-- < ф < arcstn--; (35) —      —            2г_в          2г _в

При малых углах φ имеем

b

[' X Л                       I             °

НАг, ф) = О при ф = -rarcstn —;

п Е (36)

v Нс^ ф,т) = 0 при г = г0 + с = j^ rQd6 =tq6, О < 6 < 2тг. (37)

Уравнение ферромагнетизма (32) для НМАС решается исходя из энергетических соотношений ферромагнетика и результат его представлен в литературе [1, 2] в виде выражений (23) и (28).

Уравнение теории упругости (33) рассмотрено с учетом 3-ей гипотезы прочности и его решение приведено в виде формул (26) и (27).

Решение уравнений (29-33) с условиями (34-

37) позволили определить электрические и магнитные параметры объемной неуправляемой НМАС и далее всего МФУ [5, 6].

На рис. 3 представлена обобщённая физиче- ская модель управляемой НМАС.

При принятых выше допущениях и предположениях при одновременном воздействии си- лового поля сжатия и электромагнитных полей возбуждения и управления состояние управляемого ферромагнитного ЧЭ1 описывается дифференциальными уравнениями в сферических полярных координатах [7]:

где σэс – эквивалентные напряжения сжатия кольцевых ЧЭ; γр и γφ – удельные электрические проводимости по направлениям r и φ; Er, Eφ, Erу и Eφу – комплексы действующих значенrийφ наr-у пряженностей электрических полей от обмоток возбуждения и управления по направлениям r и φ; Bc, Hc, Bcy и Hcy – комплексы действующих значений магнитных индукций и напряженно- стей магнитного поля возбуждения и управления по направлению θ; ω – круговая частота; μ – магнитная проницаемость от эквивалентных механического напряжения сжатия; wr, wφ и wθ – перемещение точек структуры по радиусу r и углам φ и θ; r0 и с – средний радиус и длина кольцевого ЧЭ; μy – магнитная проницаемость от обмотки управления.

Граничные условия при этом имеют вид (рис. 3):

Н^г.ф) + Н^г.ф) = Н^г) + Яду (г), (43)

а при Г = Гп = —: ф = О: Г, < Г < Г„;

нХ<р,т) А-Н^ф/г) = Н_с(ф) + Н^ф), (44)

b               b при — arcstn — < ф < arcstn —;

2гв                 2гв

При малых углах φ имеем b ≈ L= I Г₀(1ф

Для компенсационного ферромагнитного ЧЭ3 в уравнениях (38-42) и граничных условиях (43-45) поле управления равняется нулю (рис. 1).

Уравнение ферромагнетизма (40) для напряженной магнитоанизатропной структуры НМАС управляемого ЧЭ1 и компенсационного ЧЭ3 (рис. 1) решено исходя из энергетических соотношений в литературе и выражение (28) принимает вид [1, 3, 7]:

^К ^у ^Н ^^ ”1" ^^у ^н "*~ ^^   ^^у ,(46)

.      1,02Л„а5^гоР где Ди = ---,   – изменение магнит- кБ^Ъа*

ной проницаемости НМАС, созданное эквивалентным механическим напряжением сжатия σ_эс усилия Р; λ_s – изотропная магнитострикция материала элементов; α_s – коэффициент намагниченности материала; μ_н – начальная магнитная проницаемость элементов 1 и 3; r₀ – средний радиус элемента; a и b – толщина и ширина элемента; μ_у и μ_к – магнитные проницаемости управляемого 1 и компенсационного 3 элементов (рис. 1).

Уравнение теории упругости (42) рассмотрено с учетом 3-ей гипотезы прочности и его решение представлено в виде формул (25) и (27).

Решение уравнений (38-40) с условиями (4345) электромагнитного поля с учетом уравнений ферромагнетизма (41) и теории упругости (42) позволили рассчитать электрические и маг- нитные параметры НМАС и всего МФУ, которые представлены в литературе [7].

Рассмотренные модели НМАС были реализованы на опытных образцах МФУ и широко представлены в литературе [1-7], что позволило дать экспериментальную оценку этим моделям.

Анализ моделей НМАС показал, что все они могут использоваться для расчета МФУ. Однако, наиболее сложной для практического применения является трехмерная модель НМАС в виде ферромагнитной пластины в декартовых координатах, так как она не полно отображает физические процессы в ней. Погрешность таких моделей НМАС достаточно велика и составляет до 25% [1, 2]. Модели НМАС в виде ферромагнитного кольца в полярных цилиндрических координатах в трехмерном пространстве полнее и точнее отображают физические процессы в ЧЭ, но анализ по существу сводится к двухмерной модели. Погрешность таких моделей при практической реализации может достигать до 15% [4].

Наиболее полную реальную картину физических явлений в НМАС отображают физическая и математическая модели НМАС в трехмерном пространстве в виде ферромагнитной кольцевой структуры в электромагнитном поле при силовом воздействии в полярных сферических координатах. Точность таких моделей гораздо выше и составляет до 10% [5].

• 2.

• 3.

• 4.

• 5.

• 6.

• 7.