Анализ гауссовского импульса, моноимпульса, дублета и параметрического сигнала в UWB-системах на основе уравнения Фоккера-Планка

Сверхширокополосные (СШП, англ. UWB – Ultra Wide Band) системы представляют собой перспективное направление в области беспроводной связи, локализации и позиционирования. Основные преимущества UWB включают высокое временное разрешение (порядка наносекунд), низкую спектральную плотность мощности (в соответствии с маской ГКРЧ), высокую помехоустойчивость к многолучевому распространению и возможность работы в помещениях [1–3]. UWB-системы находят практическое применение в широком спектре приложений: биомедицина, инспекция скважин, локализация БПЛА, интернет вещей и контроль жизненно важных параметров [4–12].

Выбор формы импульса является одним из критических параметров, определяющих производительность всей UWB-системы [4, 13]. В настоящей работе проводится комплексное исследование четырех основных типов импульсов: гауссовский импульс, моноимпульс (первая производная гауссиана), переходные состояния между ними и дублет (вторая производная гауссиана).

Гауссовский импульс широко распространён в практических приложениях благодаря простоте реализации и универсальности [14–16]. Моноимпульс обладает принципиальными спектральными преимуществами: нулевая постоянная составляющая спектра, более узкий спектр и оптимальное согласование с типичными RC-фильтрами приёмников [13, 17]. Дублет интересен как альтернативный вариант с ещё более высокой спектральной концентрацией энергии [13, 17].

Целью данной работы является получение полных аналитических выражений для отклика приёмника, SINR и BER при использовании указанных форм импульсов и переходных состояний сигнала между гауссовским импульсом и моноимпульсом на основе строгого решения уравнения Фоккера–Планка.

Стохастическая модель приёмника

Рассмотрим некогерентный приёмник с энергетическим детектированием в виде RC-интегратора с аддитивным белым гауссовым шумом. Данная модель соответствует типовой входной цепи UWB-приёмника на базе трансимпедансного усилителя с ёмкостной обратной связью. В отличие от супергетеродинных приёмников,

требующих многокаскадного преобразования частоты, данная архитектура позволяет напрямую усилить, проинтегрировать энергию сверхширокополосного импульса и принять решение на основе его амплитуды в однокаскадной структуре. Такой подход обеспечивает минимальные сложность и энергопотребление, что является критическим требованием для массовых UWB-устройств [4, 14, 15, 18]. Кроме того, использование простых модуляций (PPM и BPSK) в стандартах семейства IEEE 802.15.4 (таких как 802.15.4z) ориентированно именно на низкоимпедансные приемники прямого усиления, так как супергетеродинная архитектура с несколькими каскадами частотного преобразования неоправданно усложнила бы обработку импульсов сверхширокого спектра (3,1–10,6 ГГц) и привела бы к потерям энергии в промежуточных каскадах [4, 15, 18].

Динамика выходного напряжения на интегрирующем конденсаторе описывается уравнением Ланжевена [19]:

t ² s g ( t > ^S o exp - , 2a

s J

где S ₀ – амплитуда;

σ_s – параметр ширины импульса.

Энергия гауссовского импульса:

Моноимпульс – это первая производная гауссовского импульса:

t Г t21

s m ( t ) = ^S о ; exP -      I -

$s     \ 2^s J

Моноимпульс имеет характерную S-образную форму. Энергия моноимпульса:

S02 π

Em

2σ _s

.

dx ( t ) dt

dW_t dt ^,

Ключевое преимущество: спектр моноимпульса имеет нулевое значение при f = 0, S m ( 0 ) = 0 [20].

Дублет – это вторая производная гауссовского импульса:

sd ( t ) = Sо -

—

где γ = 1/τ – коэффициент затухания в контуре RC; k – коэффициент передачи по напряжению;

s ( t ) - входной сигнал;

B ₀ – интенсивность белого гауссова шума;

σ ⁴ _s

^,      I t

-e,p^

s

dW _t

приращение винеровского процесса

Дублет имеет два экстремума и два нулевых перехода. Спектр дублета сдвинут в область высоких частот по сравнению с моноимпульсом.

Формы гауссовского импульса, моноимпульса и дублета представлены на рисунке 1.

Соответствующее уравнение Фоккера-Планка описывает эволюцию во времени функции распределения плотности вероятности p ( x , t ) для напряжения на выходе RC-интегратора и имеет вид:

ap (x, t) _ a at       ax

B o a ² p 2 a x¹

.

Интегрируя по переменной x , получаем уравнения для первого и второго моментов:

dm (t)

dp- + ym (t ) = ks (t );

da 2 (t)

+ Y1a( (t ) = B0.

В стационарном состоянии дисперсия достигает значения:

Рисунок 1. Формы сигналов: 1 – гауссовский импульс, 2 – моноимпульс, 3 – дублет. За начало отсчета по оси абсцисс принят момент, соответствующий максимуму гауссовского импульса

2 σ

st

^{B 0} 2γ

.

Формы импульсов и их характеристики

Гауссовский импульс определяется выражением:

На графике показаны нормализованные формы трех типов UWB импульсов в диапазоне времени от –1,5 нс до 1,5 нс, центрированные в момент передачи t = 0. Использование отрицательного времени обусловлено необходимостью визуализации полной формы импульсов и их математического представления, требуемого для анализа спектра и обработки сигналов.

Параметрический сигнал представляет линейную комбинацию гауссиана и моноимпульса

с постоянными коэффициентами для каждого переходного состояния k :

s(k)( t ) = a0 k) sg ( t ) + a1 k) sm ( t ) ,

• ( k )        ( k )

где a 0 ) + a l ) = 1.

Для четырёх переходных состояний используются следующие комбинации:

• 1.    k = 0: ( a 0^{o )} ; a 1 ^{( 0 )}) = ( 1,0;0,0 ) - полный гауссиан;

• 2.    k = 1: ( a 01 ) ; a 1 ^{( 1 )}) = ( 0,7;0,3 ) — 70 % гауссиана и 30 % моноимпульса;

• 3.    k = 2: ( a 0^{2 )} ; a 1 ^{( 2 )}) = ( 0,4;0,6 ) - 40 % гауссиана и 60 % моноимпульса;

• 4.    k = 3: ( a 0^{3 )} ; a 1 ^{( 3 )}) = ( 0,0;1,0 ) - полный моноимпульс.

Коэффициенты a 0 k ) и ^a i k ) являются константами для каждого переходного состояния k , определяющими конкретную форму сигнала.

Формы гауссовского импульса, моноимпульса и параметрического сигнала представлены на рисунке 2.

Рисунок 2. Формы сигналов: 1 – гауссовский импульс ( k = 0), 2, 3 - параметрический сигнал ( k = 1 (70% гауссиана+30% моноимпульс) и k = 2 (40% гауссиана+60% моноимпульс) соответственно), 4 - моноимпульс ( k = 3 )

Отклик RC-фильтра и анализ SINR и BER

Среднее значение. Уравнение dm / dt + y m = ks ( t ) решается численно. Решение показывает баланс между накоплением энергии из входного сигнала и экспоненциальным затуханием в RC-цепи:

m (t) = ke~Y‘ j exp (ут) s (т) dt .

Дисперсия шума на выходе получается через интегрирование корреляционной функции выходного сигнала:

°n ( t )=B0 ( 1 _ exp ( _ 2 Yt)) — в при t -^ ■

SINR в линейном масштабе определяется как отношение квадрата амплитуды сигнала к дисперсии шума:

m ² t SINR <  t >=•

Оптимальное время отсчета T_opt (момент времени, когда сигнал импульса находится в максимуме амплитуды) находится из условия максимизации SINR ( t ) . Значение в децибелах вычисляется как:

SINR_дБ = 10 • log₁₀ ( SINR ) .

BER при пороговом детектировании:

BER ( T ) = |erfc

[ / SINR (T) ]

V 2

k           7

что эквивалентно:

BER ( T ) = Q (^ 2- SINR ( T ) ) , (2) где Q ( x ) - Q-функция и erfc ( x ) - дополнительная функция ошибок.

Моделирование и анализ

Система состоит из следующих типов импульсов: гауссовский импульс, моноимпульс, дублет и параметрический сигнал. Параметры модели приведены в таблице 1.

Таблица 1. Параметры модели

Параметр	Обозначение	Значение	Единица измерения
Длительность импульса	^ s	0,5	нс
Постоянная времени RC	т	0,61	нс
Спектральная плотность шума	B 0	1,0	B 2 / Гц

Выбор т =0,61 нс обоснован условием оптимального согласования: т ~ 1,22a_s , что обеспечивает максимальное совпадение между спектральным содержанием импульса и полосой пропускания фильтра.

Для удобства сравнения их спектральной структуры на входе все сигналы нормированы на одинаковую амплитуду 1,0 В:

s g ( t ) = S 0 ^ex P

s d ( t ) = S 0

' tL

4 k ° s

s m ( t ) = — ^S 0      exP

2 ^.

Параметрический сигнал образуется смесью: s^(k ) ( t ) = ( 1 -1) S g ( t ) + 3 S m ( t ) , k = 0,1,2,3.

RC-фильтр приемника имеет передаточную функцию H(s) = —, где y = 1*1,639 нс~'. По-s + y т сле прохождения через RC-фильтр их амплитуды существенно различаются:

– гауссовский импульс ~1,0 В: содержит постоянную составляющую спектра, которая фильтруется RC-фильтром нижних частот и теряется, широкий спектр гауссиана только частично совпадает с его полосой пропускания, и вследствие этого амплитуда отклика остается близкой к входной амплитуде;

– моноимпульс ~0,2 В: представляет собой производную гауссиана, что математически приводит к снижению пиковой амплитуды, а также острая форма моноимпульса при интегрировании дает малый вклад в итоговое значение амплитуды;

– дублет ~2,0 В: содержит нулевую постоянную составляющую и нулевую первую производную в нуле, что обеспечивает максимальную спектральную концентрацию энергии в полосе пропускания фильтра.

По формулам (1) и (2) построены графики зависимости SINR и BER от времени для гауссовского импульса, моноимпульса, дублета, параметрического сигнала (см. рисунок 3). Из них можно заметить, что параметрический сигнал показывает постепенное улучшение SINR и BER по мере увеличения доли моноимпульса; дублет демонстрирует значительное снижение производительности из-за концентрации энергии на высоких частотах, а также имеет резкий провал SINR из-за своих спектральных характеристик.

Гауссовский импульс имеет значительную постоянную составляющую спектра S g ( 0 ) ^ 0, в то время как моноимпульс удовлетворяет условию S m ( 0 ) = 0 . В многопользовательских системах это критически важно, поскольку постоянные составляющие спектра сигналов, приходящих от различных пользователей, суммируются в приёмнике, вызывая смещение уровня сигнала постоянного тока, что приводит к уменьшению эффективного динамического диапазона АЦП (аналого-цифрового преобразователя) и снижению чувствительности системы при большом числе пользователей.

Моноимпульс обладает S-образной формой с крутыми фронтами, что лучше согласуется с импульсной характеристикой RC-фильтра h ^ t ) = ye Yt ^. Более позднее оптимальное время отсчета для моноимпульса обусловлено необ- ходимостью времени на накопление энергии из S‒образного импульса.

Рисунок 3. Зависимость SINR и BER от времени: 1a – гауссовский импульс, 2a – моноимпульс, 3a - дублет, 1b - гауссовский импульс ( k = 0), 2b, 3b - параметрический сигнал ( k = 1

(70% гауссиана+30% моноимпульс) и k = 2 (40% гауссиана+60% моноимпульс) соответственно), 4b - моноимпульс ( k = 3 )

Заключение

Строгое применение уравнения Фоккера– Планка позволило получить полные аналитические выражения для отклика системы и выявить механизмы, определяющие производительность детектора. Параметрический сигнал, представляющий линейную комбинацию гауссовского импульса и моноимпульса, позволяет плавно переходить между различными формами импульсов, обеспечивая адаптивный выбор оптимальной формы в зависимости от условий распространения и требований системы.

Результаты работы имеют как теоретическое значение для развития теории детектирования импульсных сигналов, так и практическое применение при проектировании высокочувствительных UWB-приёмников, оптимизации параметров RC-фильтра и разработке адаптивных алгоритмов обработки сигналов.

Дальнейшее развитие подхода может включать анализ многопользовательских систем, влияние многолучевого распространения и разработку систем с переменной формой импульса в реальном времени.