Анализ и вычисление экономических данных с помощью математических моделей

Целью любой экономики является эффективное распределение ресурсов [1]. Люди постоянно разрабатывают новые методы производства, согласно которым будет тратиться минимальное количество ресурсов при максимальной выработке. Для того, чтобы реализовывать эти методы на практике, используют математические методы, которые позволяют решать эти задачи.

Математические модели являются инструментом создания прогнозов, осуществления планирования и контроля, а также анализа различных сфер жизни, в том числе и экономики. Например, Министерство торговли и экономического развития Российской Федерации используют прикладную статистику и эконометрику с целью расчета и анализа ретроспективных показателей, таких как динамика инфляции, ВВП и т.п. [2].

Модель – условный образ реального объекта, или процесса, который создан для более глубокого изучения действительности [3]. Исследование с помощью разработанных моделей называется моделированием. Появилось моделирование в результате сложности, а порой и невозможности изучения реального объекта. Гораздо проще разрабатывать модели реальных объектов для получения полноценного теорети- ческого знания, как правило, за счет использования совокупности этих моделей, т.к. модель отражает основные свойства реального объекта.

Подобие между моделируемым объектом и объектом бывает:

– физическое, при котором объект и модель имеют одинаковую или схожую физическую природу;

– структурное, при котором между объектом и моделью присутствует одинаковая структура;

– функциональное, при котором объект и модель выполняют одинаковые или подобные функции;

– динамическое, при котором наблюдаются схожие переходы состояния объекта и модели;

– вероятностное, если присутствует сходство между процессами вероятностного характера;

– геометрическое, при совпадении пространственных характеристик.

Для примера можно привести графическую модель зависимости между ценой и спросом, которая выражается в виде графика, на оси ординат которой отложен спрос, а на оси абсцисс – цена. На данном графике наглядно видно, что спрос падает по мере роста цены, т.е. присутствует обратная зависимость (рис. 1).

Рис. 1. Графическая модель, отображающая зависимость между спросом и ценой

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По типу математического аппарата различают модели:

• -    математические задачи линейного программирования, при условии, что целевая функция и система ограничений являются линейными;

• -    корреляционно-регрессионные модели, которые позволяют выявить взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными;

• -    матричный метод, основанный на применении линейной и векторноматричной алгебры, вплетенной в экономические процессы;

• -    теория игр, как метод анализа способов принятия решений в условиях конфликта [4].

Пример

Задача 1: В городе имеются две конкурирующие компании, «А» и «Б», каждая из которых занимается выпуском светлого и темного пива. Требуется определить эффективность для всех возможных вариантов стратегий компаний при заданных ценах, указанных в платежной матрице:

	Б1	Б2
А1	5	4
А2	3	6

Решение: Платежной матрицей игры называется матрица, которая показывает платеж одного игрока другому при условии, что первый игрок выберет стратегию A i , а второй - Б ,

При анализе данной матрицы видно, что Седловой точки - платежа, который одновременно является наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке -нет, а значит, что данная задача решается в смешанных стратегиях.

U1 = (а22-а21) / (а11+а22-а21-а12) = (63) / (5+6-3-4) =0,75.

U2 = (а11-а12) / (а11+а22-а21-а12) = (54) / (5+6-3-4) = 0,25.

Z1 = (а22-а12) / (а11+а22-а21-а12) = (64) / (5+6-3-4) = 0,4.

Z2 = (а11-а21) / (а11+а22-а21-а12) = (53) / (5+6-3-4) = 0,6.

Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что компании «А» необходимо распределить производство пива:

• -    75% на светлое;

• -    25% на темное.

Компания «Б», соответственно, должна распределить производство:

• -    40% на светлое:

• -    60% на темное.

Задача 2: В Таблице 1 представлены данные о производительности 5 предприятий, каждое из которых выпускает 4 вида продукции с потреблением 3 видов сырья. В дополнение, даны показатели длительности работы и цены на каждый вид сырья.

Таблица 1.

Вид изделия №	Производительность данных предприятий					Затраты видов сырья изделия
	1	2	3	4	5	1	2	3
1	5	6	4	7	8	2	4	5
2	1	3	5	4	1	3	6	7
3	9	16	1	5	7	4	5	6
4	4	11	8	6	5	5	9	7
	Количество полных рабочих дней в году					Цена различных видов сырья
	1	2	3	4	5	1	2	3
	210	160	180	130	150	50	60	70

Необходимо определить:

• 1.    Производительность каждого предприятия по каждому типу изделий;

• 2.    Потребность каждого предприятия по каждому типу сырья;

• 3.    Сумму кредитования предприятий для закупки сырья, которое необходимо для выпуска продукции указанных видов и объема.

Решение: Составим матрицы, которые характеризуют весь экономический спектр производства.

• 1)    Построим матрицу производительности предприятий по всем типам продукции:

А =   9  16  1  5  7

4  11  8  6  5

88 176 85 98 93 BA = 107 221 123 131 118 114 224 117 135 124 где j-я строка соответствует номеру типа сырья, а i-й столбец – номеру предприятия согласно таблице (j =1, 2, 3; i =1, 2, 3, 4, 5).

• 2)    Потребность каждого предприятия по каждому типу сырья равно произведению столбцов матрицы ВА на соответствующее количество рабочих дней в году:

  BA1= 2247035360

  
  

  15300  1274013950

22140  1703017700

21060  1755018600

• 3)    Введем вектор стоимости сырья q = (50,60,70)

Тогда стоимость годового запаса сырья:

Каждый столбец в матрице соответст-

Q = q * BA 1 = (3948000  6038400  3567600  2887300  3061500)

вует производительности по каждому виду продукцию. Годовая производительность i-го предприятия будет равна произведению i-го столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для каждого предприятия (i = 1, 2 ,3, 4, 5):

1050  960   720  9101200

210   480   900  520150

Ai=  1890  2560  180  6501050

840  1760  1440  780750

Матрица затрат сырья на единицу изделия имеет следующий вид:

B = 4  6  59

Расход по типам сырья на предприятиях равен произведению матрицы В на матрицу А:

Суммы кредитования предприятий для закупки сырья будут определяться соответствующими компонентами вектора Q.

Таким образом, использование математических методов доказывает свою актуальность и работоспособность. Исследования в данном направлении активно продолжаются, т.к. экономика развивается, включая в себя все больше новых элементов, которые необходимо анализировать и прогнозировать. Активную роль в этом играют все более совершенные процессоры, которые позволяют производить большее количество вычислений и стоить за счет этого более сложные модели. Прогресс не стоит на месте и именно это определяет дальнейшую жизнеспособность математических методов, как части экономической науки [5].