Анализ интегральной формулы Уиттекера общего вида для электрических и магнитных потенциалов, однородных по Эйлеру

Электростатическими и магнитостатическими полями, однородными по Эйлеру, называются поля, напряженность или индукция которых является функцией, однородной по Эйлеру в смысле, который придается этому термину в общих курсах математического анализа [1, 2]. Электростатическое или магнитное поле является однородным по Эйлеру, если его напряженность E ( x , y , z ) (для магнитного поля — индукция B ( x , y , z ) ) удовлетворяет тождеству E ( Ax , Ay , Az ) = A ^{- 1} E ( x , y , z ) (для магнитного поля — тождеству B ( Ax , Ay , Az ) = = A^{k - 1} B ( x , y , z ) ) в области, в которой происходит движение заряженных частиц, при всех A >  0. Число k , которое не обязательно является целым, называется порядком однородности поля, и оно в значительной мере определяет свойства траекторий заряженных частиц.

В этом цикле работ [3–18] рассматриваются вспомогательные инструменты для синтеза электронно- и ионно-оптических устройств с помощью электрических и магнитных полей, однородных по Эйлеру с заданным порядком однородности k . Принцип подобия траекторий [13, 19–24] позволяет использовать электростатические поля, однородные по Эйлеру, как эффективные энергоспектрографы [3, 19–24], а магнитостатические поля, однородные по Эйлеру, — как эффективные масс- спектрографы [7–10]. Однако этим не ограничиваются перспективы использования полей, однородных по Эйлеру, для создания разнообразных приборов с полезными свойствами.

Готовые аналитические выражения, задающие скалярные потенциалы для электрических и магнитных полей, однородных по Эйлеру, являются полезным инструментом при синтезе корпускулярно-оптических систем рассматриваемого типа [4, 5, 11, 12, 14, 15, 18]. Они позволяют с самого начала задавать искомую систему электродов или магнитных полюсов в параметризованном виде так, что на выходе получаются поля, заведомо удовлетворяющие наложенным требованиям "быть однородными по Эйлеру с заданным порядком однородности". В этой работе анализируются интегральные формулы Уиттекера для трехмерных гармонических потенциалов, однородных по Эйлеру, которые были предложены в [25].

ОБЩАЯ ФОРМУЛА УИТТЕКЕРА ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В монографии [25] (гл. 18) устанавливается полезная связь между трехмерными гармоническими функциями и аналитическими функциями комплексного переменного. Пусть F (z, t) — однопараметрическое семейство аналитических функций комплексного переменного z, зависящее от веще- ственного параметра t е [-п, п]. Тогда функция

+ п

V ( x , y , z ) = J F ( z + i x cos t + i y sin t , t ) d t ,      (1)

- п будет, как легко убедиться, комплекснозначной трехмерной гармонической функцией (а ее вещественная и мнимая части — соответственно вещественными трехмерными гармоническими функциями), поскольку вещественная и мнимая части функции F по отдельности удовлетворяют уравнению Лапласа в силу ее аналитичности. Замечательное свойство формулы (1) состоит в том, что справедливо и обратное утверждение: для любой трехмерной гармонической функции V (x, y, z) найдется такая функция F (z, t), для которой будет выполнено соотношение (1). Вместо однопараметрического семейства F (z, t) аналитических функций комплексного переменного z в формуле (1) можно использовать однопараметрическое семейство двумерных гармонических функций U (x, У, t):

+ п

V ( x , y , z ) = J U ( z , x cos t + y sin t , t ) d t ,          (2)

- п поскольку между аналитическими функциями комплексного переменного и двумерными гармоническими функциями существует взаимнооднозначное соответствие.

Пусть x = y = z = 0 — регулярная точка для гармонической функции V ( x , y , z ) , что означает, что в окрестности начала координат функция V ( x , y , z ) может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда      V ( x , y , z ) =

= ^ cijkx‘yJzk-i-j . Подстановка этого ряда в уравнение Лапласа показывает, что суммы V (x, y,z ) = ^ cijkxlyJzk i J будут удовлетворять i, J Sk уравнению Лапласа не только в сумме, но и по отдельности, т. е. являться однородными гармоническими полиномами степени k . Но для каждого k > 0 есть ровно 2k +1 линейно независимых гармонических полиномов, где в качестве базисных функций можно выбрать (см. далее) полиномы

+ п

J ( z + i x cos t + i y sin t ) d t ,                (3, а)

- п

+ п

J ( z + i x cos t + i y sin t ) k cos ( mt ) d t ,      (3, б)

- п

+ п

J ( z + i x cos t + i y sin t ) sin ( mt ) d t ,       (3, в)

-п где m = 1,2,..., к. Если разложить трехмерную гармоническую функцию в ряд по гармоническим однородным полиномам с множителями c0k , cmk , smk (1 < m < k, 0 < k < да), подставить в этот ряд для эталонных гармонических полиномов параметризацию (3) и просуммировать этот ряд по степеням (z + ix cos t + iy sin t)k при фиксированных тригонометрических множителях 1 , cos mt, sinmt, это даст аналитические функции F0 (z + ix cos t + iy sin t), Fmc (z + ix cos t + iy sin t), Fms (z + ix cos t + iy sin t). Если теперь просуммировать полученный ряд Фурье с коэффициентами F0 (z + ix cos t + iy sin t), Fmc (z + ix cos t + iy sin t), Fms (z + ix cos t + iy sin t), получим функцию F (z + ix cos t + iy sin t, t) для соотношения (1).

Остается обосновать, что параметризация (3) действительно обеспечивает полный набор гармонических потенциалов. Действительно, функция ( z + i x cos t + i y sin t ) k после раскрытия скобок и тригонометрических преобразований представляет собой усеченный ряд Фурье по базису 1, cos mф , sin mф , где m = 1,2, ^ , k , а все коэффициенты существенно ненулевые: чтобы в этом убедиться, достаточно подставить в выражение ( z + i x cos t + i y sin t ) k значения y = z = 0, либо x = z = 0, либо x = y = 0 . Из линейной зависимости выражений (3) для базисных полиномов следовала бы линейная зависимость базисных тригонометрических функций, что неверно.

При выводе соотношения (1) весьма ограничительным условием является требование регулярности функции V (x, y, z) в начале координат. От требования регулярности функции V (x, y, z) в начале координат (или, что то же самое, отсутствия особых точек у функции V ( x, y, z ) в начале координат) можно избавиться, если выполнить сдвиг x ^ x - x0, y ^ y - y0, z ^ z - z0 и переобозначить функцию F (z, t) так, чтобы перенести зависимость первого аргумента от параметра t во второй аргумент функции. Это завершает доказательство формулы (1): ведь в ненулевой окрестности хотя бы одной точки функция V (x, y, z) удовлетворяет уравнению Лапласа, и из выполне- ния уравнения Лапласа следует, что в окрестности этой точки она обязана разлагаться в сходящийся степенной ряд. Чтобы доказать это, вокруг выбранной точки выделяется шар, внутри которого во всех точках функция удовлетворяет уравнению Лапласа. Затем значения функции внутри шара записываются с помощью интеграла типа Пуассона по поверхности шара, получаемого из функции Грина для внутренней задачи Дирихле на сфере [26–28]. Полученный интеграл разлагается в формальный ряд Тейлора в окрестности центра шара, после чего доказывается, что этот ряд сходится во всех точках внутри шара. Идея доказательства полностью аналогична доказательству с помощью интеграла Коши регулярности (разложимости в сходящийся степенной ряд и, как следствие, бесконечной дифференцируемости) для аналитических функций комплексного переменного, удовлетворяющих условию Коши—Римана [29, 30].

Формула (1) не является взаимно-однозначной: для одной и той же функции V (x, y, z) существует бесконечное разнообразие допустимых функций F (z, t), обеспечивающих выполнение соотношения (1). Это связано с тем, что один и тот же однородный гармонический полином можно предста-+п вить в виде j (z + ix cos t + iy sin t)k h (t) dt с помо-- п щью весьма разных функций h (t). Действительно, функции (3, б), (3, в) при m > к тождественно равны нулю. Добавив к списку суммируемых функций произвольные наборы функций (3, б), (3, в) с m > к и повторно выполнив суммирование ряда, как это описано выше, мы получим на выходе совсем другую функцию

F (z + ix cos t + iy sin t, t), однако сам интеграл (1) при этом не изменится.

С помощью мультипольного разложения можно сконструировать форму, в которой до определенной степени будет устранена многовариантность выбора функции F ( s , t ) в формуле (1) для одной и той же трехмерной гармонической функции V ( x , y , z ) :

+ п

V (x, y,z ) = X ck0 j (z + ix cos t + iy sin t)k dt + k=0,”-

+ п

+ X X Ckm j(z + ix cos t + iy sin t)k cos mt dt + к=0,” m=1,к

+ п

+ X X Skm j(z + ix cos t + iy sin t)k cos mt dt = к=0,” m=1,k_

+ п

= X Ck 0 j(z + ix cos t + iy sin t)k dt + k=0,”_

+ п

+X X ckm j (z + ix cos t + iy sin t)k cos mt dt + m=1,” k=m,”_

+ п

+ X X Skm j(z + ix cos t + iy sin t)k cos mt dt = m=1,” k=m,”_

= j X ck0 (z + ix cos t + iy sin t)k I dt + у k=0,”

+ X j+п cos mt (z + ix cos t + iy sin t)' m=1,«”

m

I x

^x X c k + m , m у k = 0, ”

( z + i x cos t + i y sin t ) ^k | d t +

+ X j + ^п sin mt ( z + i x cos t + i y sin t )'

m

x

m = 1, ”

r^

^x X ^S k + m , m у k = 0, ”

( z + i x cos t + i y sin t ) ^k |

d t =

= j F ₀ ( z + i x cos t + i y sin t ) d t +

+ X j [(z + ix cos t + iy sin t)m x m =1,”

x F_cm ( z + i x cos t + i y sin t ) cos mt J ^d t ⁺

+ X j [ ( z + i x cos t + i y sin t ) m x m = 1, ”

x Fsm (z + ix cos t + iy sin t) sin mt J d t, где F0 (s), Fcm (s), Fsm (s) — произвольные аналитические функции комплексного переменного s, регулярные в точке s = 0 . Если же отказаться от требования регулярности гармонической функции V ( x, y, z ) в начале координат, формула приобретает вид

V ( x , y , z ) = j__$ F 0 ( s ( x , y , z , t ) ) ^d t ⁺

+ X j , _; cos mts m ( x , y , z , t ) F cm ( s ( x , y , z , t ) ) d t + m = 1, ”

+ X j _„ sin mt s^m ( x , y , z , t ) F sm ( s ( x , y , z , t ) ) d t , (4) m = 1, ”

где s (x, y, z, t) = (z - z0) + i (x - x0) cos t + i (y - y0) sin t,

( x 0 , y 0 , z 0) — произвольно выбранная регулярная точка трехмерной гармонической функции V ( x , y , z ) . В таком случае для фиксированной точки ( x 0 , y 0 , z 0 ) разные наборы функций F 0 ( s ) , F_cm ( s ) , F_sm ( s ) ( m = 1,2, — , ^да ), которые являются аналитическими функциями комплексной переменной s и регулярными в точке s = 0, будут порождать существенно разные гармонические функции V ( x , y , z ) : разложение в ряд по эталонным гармоническим полиномам в окрестности точки ( x ₀, y ₀, z ₀ ) у этих функций будет очевидным образом различным. Однако при одновременном варьировании и базовой точки ( x ₀, y ₀, z ₀ ) , и базовых функций F 0 ( s ) , F_cm ( s ) , F_sm ( s ) не исключен вариант, что на выходе будет получена одна и та же гармоническая функция V ( x , y , z ) .

Такое представление удобно, если заранее известно, что интересующая нас гармоническая функция принадлежит к классу мультипольных функций или представима в виде короткой суммы мультипольных функций. Однако в общем случае вполне компактные (с точки зрения записи в виде аналитической формулы) гармонические функции V ( x , y , z ) могут приводить к весьма длинным и неудобным мультипольным разложениям. Соответственно сложно считать, что проблема универсальной параметризации трехмерных гармонических функций успешно разрешена с помощью формулы Уиттекера (1).

ФОРМУЛА УИТТЕКЕРА ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ПО ЭЙЛЕРУ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОРЯДКОМ ОДНОРОДНОСТИ

Рассмотрим функцию V (x, y, z), однородную по Эйлеру с порядком однородности, равным n (который не обязательно является целочисленным), и регулярную в начале координат (т. е. представимую в окрестности начала координат сходящимся степенным рядом V (x, y, z ) = = ^cijkx‘yJzk-i-j). Дифференцируемая однородная функция обязана удовлетворять соотношению Эйлера x(dV/9x) + y(dV/9y) + z(dV/9z)-nV = 0 [1, 2]. Подставив в него степенной ряд для функции V , немедленно получим, что порядок однородности n обязан быть неотрицательным целым чис- лом, а все однородные функции указанного типа будут представлять собой однородные полиномы степени n от x, y, z .

Поэтому однородные гармонические функции, регулярные в начале координат, — это гармонические однородные полиномы и только они. Для каждого n >  0 есть ровно 2 n + 1 линейно независимых гармонических полиномов степени n . Гармонические однородные полиномы можно выразить в общем виде через многочлены Лежандра P n ( т ) и присоединенные многочлены Лежандра P m ( т ) ( m = 1,2, — , n ) [25, 31-34]. В результате любой однородный гармонический многочлен степени n может быть представлен в виде взвешенной суммы эталонных линейно-независимых гармонических полиномов [25, 35, 36]:

U ( x , y , z ) = a о r n P n ( sin 9 ) +

+ ^ rn-mpnm (sin9)(amrm cosmф + bmrm sinmф), m=1, n где am , bm — произвольные коэффициенты, r, ф,9 — сферические координаты (x = = rcos9cosф, y = rcos9sinф, z = rsin9 ), а выражения rnPn (sin9), rn-mPnm (sin9), rm cos mф, rm sin mφ — однородные многочлены соответствующей степени от x, y, z .

Как показано в [25], в качестве базиса для однородных гармонических полиномов можно использовать функции

+ П j (z + ix cos t + iy sin t)n dt, - П

+ П j (z + ix cos t + iy sin t)n cos (mt) dt, - П

+ П j (z + ixcost + iysint)n sin(mt)dt (m = 1,2, — ,n). - П

Поэтому любые однородные, гармонические и регулярные в начале координат функции V ( x , y , z ) могут быть заданы как

+ п

V ( x , y , z ) = j ( z + i x cos t + i y sin t ) n h ( t ) d t ,     (5)

- п где n > 1 — натуральное число (порядок однородности), а h (t) — надлежащим образом выбранная функция, вообще говоря комплекснозначная.

Легко проверить, что при любом выборе функции h (t) формула (5) будет порождать однородную гармоническую функцию. Указанная формула называется формулой Уиттекера для однородных гармонических функций. Важным фактом является то, что при использовании представления (5) мы не упустим ни одной однородной гармонической функции, регулярной в начале координат. Правда, следует отметить, что формула (5) может при существенно разных функциях h (t) приводить к одним и тем же однородным гармоническим функциям V (x, у, z).

К сожалению, устоявшейся ошибкой является распространение формулы (5) на все однородные гармонические функции. Легко понять (если раскрыть степень в формуле (5) в сумму одночленов и выполнить интегрирование, вынося множители xy^Jz k ^- i ^{- J} за знак интеграла), что при всей свободе выбора функций g ( t ) единственные функции, которые можно получить с помощью формулы (5) при натуральных n , — это однородные полиномы. Однако, например, дробно-рациональная функция

U ( x , У , z ) =

( x + у ) ( x ² + у У

- 4 xy ) ( 8 z ⁴ + 12 z ² ( x ² + у ² ) + 3 ( x ² + у ² ) )

( x ² + у ² ) ³

удовлетворяет уравнению Лапласа, является однородной по Эйлеру с показателем однородности, равным единице, и отнюдь не сводится к линейной комбинации однородных гармонических полиномов x , y , z .

Вывод: к сожалению, формула (5) не решает проблему полноценного перебора однородных гармонических потенциалов с заданным порядком однородности, которая возникает при задачах синтеза корпускулярно-оптических систем с электрическими и магнитными полями, однородными по Эйлеру. Требование регулярности (разложимости в сходящийся ряд) в начале координат определенно оказывается слишком сильным и основательно ограничивает множество допустимых электрических и магнитных потенциалов. Более пригодную для практики теорию гармонических функций, однородных по Эйлеру с натуральными (целочисленными) порядками однородности, можно найти, например, в [11, 36–38]. Насколько известно авторам, общая теория гармонических функций, однородных по Эйлеру с нецелочисленными порядками однородности, в настоящий момент отсутствует. Отдельные примеры таких функций можно найти в [4, 5, 12, 14, 15, 18].

Очевидно, что функции вида

+ п

Re J ( z + i x cos t + i у sin t )^k h ( t ) d t ,

- п получаемые из формулы (5), и при нецелых значениях k будут гармоническими и однородными по Эйлеру, а список из функций вида

+ п

J ( z + i x cos t + i у sin t ) ^k cos ( mt ) d t ,

- п

+ п

J ( z + i x cos t + i у sin t ) sin ( mt ) d t ( m = 0,1,2,... )

- п

будет содержать в себе линейный базис, по которому такие функции можно разложить в ряд. Однако когда k не является натуральным числом, то неизвестно, все ли функции вида (7) являются линейно-независимыми, а если нет, то какие именно значения m соответствуют базисным функциям. В частности, неизвестно, является ли базис, выбранный из списка (7), конечным, как при натуральных значениях k , или же бесконечным.

Также неясно, исчерпывается ли функциями вида (5) все семейство гармонических функций, однородных по Эйлеру с заданным нецелочисленным показателем однородности k . По всей видимости, ответ на этот вопрос является отрицательным по крайней мере для некоторых значений порядков однородности (см. выше пример для порядка однородности n = 1, который не может быть выражен через формулу Уиттекера). Однако строгого доказательства данного факта в настоящий момент нет, так что неизвестно, существуют ли такие значения k (и если существуют, то какие именно), когда формула Уиттекера обеспечивает все возможные гармонические и однородные по Эйлеру функции соответствующего порядка.

Можно убедиться, что при произвольном выборе, вообще говоря, комплекснозначных функций f ( t ) и g ( t ) , удовлетворяющих условию f ² ( t ) + g ² ( t ) = 1, функции

+ п

V(x,у, z)= J (z + ixf (t) + iуд (t))k h (t) dt (8) -п будут однородными и гармоническими. Неизвестно, раскладываются ли такие однородные гармонические функции в ряд по функциям вида (7), когда k не является натуральным числом (и тем самым попадают ли они в класс однородных гар- монических функций, описываемых формулой Уиттекера (5)).

Открытым остается вопрос, как следует выбирать в формулах (5) и (8) функции h ( t ) , чтобы гарантированно получать разные однородные гармонические функции. Также необходимо отметить, что вычисление интегралов (5), (7) и (8) в аналитической форме при нецелочисленных порядках однородности вызывает значительные технические сложности.

МЕТОД Ю. К. ГОЛИКОВА

Рассмотрим, следуя работе [39], как из общей формулы (1) можно получить интегральное выражение похожего вида для гармонических функций, однородных по Эйлеру. Для того, чтобы функция V ( x , у , z ) была однородной по Эйлеру с порядком однородности m , необходимо и достаточно , чтобы во всех точках рассматриваемой области выполнено было дифференциальное соотношение Эйлера [1, 2]

x

5 V ( x , у , z ) дx

^д V ( x , У , z )

+ у----- ду

+

д V (x, у, z)        ,.

---V—---’- - mV(x,у,z) = 0.(9)

Если подставить в (9) общую формулу (1) для трехмерных гармонических функций, получим необходимое и достаточное условие:

dF (s, t)        / \          \ s—j—- mF (5, t) = g (5, t),         (10, а)

d s

+ П j g (z + ix cos t + iу sin t, t) dt = 0,         (10, б)

- П где s — независимая свободная комплексная переменная, а F (s, t) и g (s, t) — аналитические комплекснозначные функции комплексной переменной s и вещественной переменной t .

Из уравнения (10, а) сразу следует общее выражение для функции F ( s , t ) :

s

F ( s , t ) = h ( t ) s m + s m j g ( s, t ) s - ^{m - 1}d s■ ,      (11)

s ₀

где h (t) — произвольная комплекснозначная функция, а g (s, t) — любая функция, удовлетворяющая тождеству (10, б). Выбор F(s, t) = h (t)sm (что соответствует тривиальному случаю g (s, t) = 0), как легко заметить, в точности приво- дит к формуле Уиттекера (5). Подстановка в (11) любой функции g (s, t), удовлетворяющей условию (10, б), с последующей подстановкой полученной функции F (s, t) в интегральное соотношение Уиттекера (1) позволяет получить новые интегральные выражения для однородных гармонических функций с заданным порядком однородности. К сожалению, поиск всех тех и только тех аналитических функций g(s,t) , для которых выполняется тождество (10, б), не так-то прост.

В работе [39] рассматривается частный случай, когда g ( s , t ) = g ₀ ( t ) не зависит от переменной s . В таком случае F ( s , t ) = h ( t ) s m - g ₀ ( t )/ m . Подставив это выражение в формулу (1), с учетом до-

+ П полнительного условия j g0 (t)dt = 0 получаем формулу Уиттекера (5), ноπ не с натуральным, а с произвольным вещественным порядком однородности. (Впрочем то, что формула (1) порождает гармонические однородные функции не только при натуральных, но и при любых вещественных n может быть проверено просто прямой подстановкой). Приведенный здесь способ вывода формулы Уиттекера с помощью специфического выбора функции g (s, t) наглядно показывает, что, по всей видимости, эта формула будет давать далеко не полное множество однородных гармонических функций с заданным порядком однородности. Например, как уже было продемонстрировано выше, при натуральных значениях параметра n из всех возможных однородных гармонических функций эта формула порождает лишь однородные гармонические полиномы заданной степени, упуская из виду функции, получаемые с помощью дифференцирования формулы Донкина [11, 17, 36–38].

К этому же результату, т. е. к формуле (5), приводит представление g ( s , t ) в виде ряда g ( s , t ) = ^ s k g k ( t ) , составленного из натуральных степеней комплексной переменной s , на который наложено дополнительное условие

Г + П /                                   X к , X

V к : j ( z + i x cos t + i у sin t ) g k ( t ) d t = 0.

Существование ненулевых разложений вида (12) следует из того факта, что интегралы (3, б) и (3, в) при натуральных k , m обращаются в тождественный ноль, если m >  к .

Задача о том, как именно следует подбирать функции g (s, t), чтобы было выполнено условие (10, б), и при этом формула (11) порождала новые нетривиальные интегральные выражения, отличные от формулы Уиттекера (5), а также, как имен- но будут выглядеть такие формулы в наиболее общем виде, в настоящий момент не решена. Примером того, что такие интегральные выражения существуют, может служить частная формула

+ .п ( x ² + y ² + z ² )^{( 2} n ^{+ 1)/2}

• V n ⁽ x , y , ^z ) = J                      . . n + 1 h ⁽ t ) d t .     ⁽¹³⁾

• -_п ( z + i x cos t + 1 y sin t )

Как легко проверить, при любом выборе комплекснозначной функции h ( t ) и при произвольном вещественном n выражение (13) будет однородной гармонической функцией порядка n . Однако выражение (13) не сводится к формуле Уиттекера (5), а представляет собой независимое от нее интегральное выражение. К сожалению, конструирование в явном виде для выражения (13) функции g ( s , t ) , с помощью которой (13) можно представить в виде (1) с функцией F ( s , t ) , сконструированной согласно рецепту (11), представляет собой достаточно сложную в техническом отношении задачу.

Данная статья была вдохновлена работой [39] и в определенных аспектах является ее дополнением и продолжением. Авторы выражают глубокую признательность ее создателю и своему учителю Юрию Константиновичу Голикову.