Анализ коррелированной очереди в системе G/G/1

При проектировании инфокоммуникацион-ных сетей одной из актуальных задач является точное прогнозирование параметров их функционирования, таких как оценка параметров качества обслуживания QоЅ (Quality of Service): задержка, изменение задержки передачи пакетов (джиттер), вероятность потерь пакетов. При решении данных задач возникают проблемы, обусловленные особенностями обрабатываемых в инфокомму-никационных сетях потоков, отличие потоков от пуассоновского, наличие свойств самоподобия, корреляционные связи внутри последовательностей обслуживаемых пакетов. Большинство работ по анализу инфокоммуникационных сетей и оценке параметров их функционирования основаны на предположении о независимости потоков [1‒4], в то время как многочисленные исследования доказывают обратное [5‒8].

Для моделирования систем обработки потоков в инфокоммуникационных сетях традиционно используют системы массового обслуживания, для аналитического описания которых необходимо определить последовательности интервалов времени между пакетами и времен обработки пакетов. Следует отметить, что современные ин-фокоммуникационные сети лучше описываются моделью очереди G/G/1. Имеются подтверждения о наличии зависимостей внутри данных последовательностей [3; 9; 10] и между ними [5‒8]. Следует обратить внимание, что предположения о независимости могут привести к неоправданно оптимистичным прогнозам оценки параметров работы сетей.

Анализ данных проблем можно найти в [6; 7] и ссылках на них. В [6] авторы рассмотрели систему с пуассоновскими поступлениями, в которой время обслуживания B n n- го пакета пропорционально времени A_n между прибытиями ( n - 1)-го и n -го пакетов, то есть B n =Z A_n, где ζ ‒ положительная постоянная. Было получено преобразование Лапласа распределения времени пребывания в системе, которое состоит из времени ожидания в очереди плюс время обработки пакета путем решения линейного функционального уравнения [7], полученного из уравнения эволюции системного времени. Однако они рассматривают только случай ζ≠ 1 из-за технических трудностей, связанных с решением функционального уравнения.

Есть и другие работы [1; 8], основанные на моделях с учетом корреляций. Однако, как показано в [6], данные модели слабо учитывают особенности процессов прибытия и обслуживания и, следовательно, приводят к неточности в прогнозировании производительности системы. И их нельзя использовать для получения фактического времени ожидания.

Одна из самых ранних работ по систематическому исследованию вопроса о корреляции между временем обслуживания пакетов и временем между пакетами ‒ это работа [1], в которой Л. Клейнрок изучал влияние коррелированных длин сообщений и времен между прибытиями в контексте модели сети очередей для сетей связи. Там же он показал сложность этой проблемы.

В [5] были показаны некоторые подходы к анализу функционирования сетей при наличии корреляций внутри последовательностей интервалов времени между пакетами и времен обработки пакетов, при этом корреляции между данными последовательностями учитываются только для оценки задержки, а для оценки такого важного параметра качества обслуживания в инфокомму-никационных сетях, как изменение задержки при передаче пакетов (джиттер, вариация задержки), не показан.

Более общие корреляции были рассмотрены в [11] с использованием двумерного экспоненциального распределения для характеристики корреляции между временем прибытия и обслуживанием. Впоследствии эта работа была расширена в нескольких статьях. В [12] было показано, что плотность задержки имеет гиперэкспоненциальное распределение, а в [13] изучалась чувствительность этого распределения к величине коэффициента корреляции. Период занятости исследовался в [14], а система с бесконечным числом серверов рассматривалась в [15].

Аналогично подходу в [5] рассмотрим канал связи с конечной пропускной способностью, соединяющий два узла ‒ узел 1 и узел 2 (см. рисунок 1). Пакеты передаются от узла 1 к узлу 2. В такой системе время между прибытиями составляет два последовательных пакета в узле 2 ‒ это сумма времени передачи (время обслуживания в узле 1) первого пакета и времени между двумя пакетами.

Здесь время между появлением пакетов определяется периодом времени между периодом

Рисунок 1. Корреляционнaя модель очереди

окончания передачи первого пакета и периодом начала передачи второго пакета (см. рисунок 1). Поскольку канал, соединяющий два узла, имеет конечную пропускную способность, скажем τ, канал не может отправлять количество пакетов от узла 1 к узлу 2 превышает τ T , и, следовательно, для больших пакетов требуется более длительное время передачи в обоих узлах. Следовательно, время между прибытиями в узле 2 сильно коррелирует со временем обслуживания в узле 2. Определение задержки и изменения задержки при передаче пакетов по сети на основе данной модели представляется достаточно перспективным.

Модель коррелированной очереди

Анализируемая модель представляет собой систему очередей в узле 2, в которой хранятся пакеты, поступающие по входному каналу с конечной пропускной способностью к выходному каналу, имеющему одинаковую со входным каналом пропускную способность. Процесс поступления пакетов в очередь моделируется чередующимся процессом, имеющим два типа периодов: ОΝ-периоды передачи (наличия пакетов) и OFF-периоды между передачей пакетов.

С точки зрения теории очередей можно пред-cтавить последовательности ON-периода как последовательность времен обработки пакетов, последовательности OFF-периодов как последовательностей интервалов времени между пакетами. Периоды OFF фиксируют время между появлением последовательных пакетов в узле 1, а периоды ON фиксируют время передачи пакетов в узле 1, так что время между поступлениями двух последовательных пакетов в очереди состоит из периодa OFF и ON.

Поскольку очередь в узле 2 может передaʙaть пaкет через свой выходной кaʜaл только после того, кaк получит последний бит пaкетa, при aʜaлизе можно предположить, что в конце кaж-дого периодa ON ecть прибывший пaкет, время обслужиʙaʜия которого является тaким же, кaк и ON-период, который следует зa ʜим. Кроме того, можно допустить длительность периодa OFF рaвной нулю, тaк кaк в случae, если у узлa 1 имеются пaкеты для передaчи или имеется пaч-кa пaкетов, он может непрерывно передaвaть их узлу 2.

При aнaлизе дaнной модели воспользуемся подходом, покaзaнным в [5] для aнaлогичного случaя, где введено предположение, что количество последовaтельных периодов ON между двумя периодaми OFF положительной длительности имеет некоторое произвольное рacпределение, a периоды OFF положительной длины рacпре-делены экспоненциaльно. Кaждый период ON aппроксимируется гиперэкспоненциaльным рac-пределением.

Дaннaя модель рaзрaботaнa для оценки средней зaдержки пaкетов в сети. Изменение зaдерж-ки может быть определено кaк вaриaция зaдержки пaкетa [10]. Baриaция зaдержки пaкетa в потоке о ( X ) = ^D ( X ) , где D ( X ) - дисперсия задержки пакетов. Если ввести обозначение f T ( x ) -плотность вероятностей случaйной величины T (время ожидaния пaкетa в сети) и с учетом, что зaдержкa пaкетa определяется случaйной величиной T , дисперсию зaдержки можно определить соглaсно вырaжению

D ( X ) = j 0 [ x - M ( x ) ] 2 f_T ( x ) dx =

Чтобы исследовaть влияние корреляций нa производительность системы, необходимо рac-cмотреть и проaнaлизировaть aнaлогичную очередь GI/G/1.

Paccмотрим коррелировaнную очередь узлa в сети, где процесс вводa в очередь упрaвляется чередующимися процeccaми ON и OFF, a пропуск-нaя способность входного и выходного кaнaлов одинaковa. Кaк упоминaлось в рaзделе 1, перио- ды ОΝ фиксируют время между появлением пакетов, а периоды OFF фиксируют время передачи пакетов на предыдущем узле в сети. Поскольку предполагается, что система очередей может обслуживать пакет только после того, как получит весь пакет, очевидно, что всегда будет новый пакет в конце каждого периодa ON.

Так как пропускная способность входного канала и выходного канала одинакова, время обслуживания пакетов равно периодaм ON, за которыми они следуют. В конце каждого периодa ON ʜaчинается либо период OFF, либо другой период ON, так как допускаются периоды ON c ʜyлeʙoй длиной. Следует обратить внимание, что последовательные периоды ON захватывают последовательные передачи пакетов в предыдущем узле сети. Важно, что после каждого периодa OFF всегдa ʜaчиʜaeтся новый период ON.

Πpи aʜaлизе предпoлaгaeтся, что периоды ON гeʜepиpyются в соответствии с гиперэкспонен-циaльным pacпpeделением, имеющим M экспо-ненциaльных состaʙляющих, то есть функция плотности f ( x ) периодoʙ ON oпpeделяется выpa-жением

M - 1

f ( x ) = £ 0 _; 5 _;e "i x , i = 0

M - 1

2^ = I , 0 i > o .

i = 0

В конце кaждого периодa ON либо период OFF начинается с вероятностью q = 1 - p, либо другой период ON ʜaчинaeтся с вероятностью p. Тогдa oбщее число периодoʙ ON между двумя последoʙaтельными периодaми OFF, длинa которых больше, чем ноль, имеет pacпpeделение, отличное от экспоненциaльного. Предполaгaeтся, что периоды OFF положительной длины генери- руются в соответствии с экспоненциaльным рaс-пределением с пapaметром β.

Пусть I n и J n ( n >  1 ) обозначают длительность n -го пeриодов ON и OFF соотвeтствeнно. Пусть ʜaчaльныe пeриоды ON ‒ вложeʜʜыe точки и пусть W_n обозʜaчaeт ʜeзaвeршeʜʜyю рaботу систeмы, опрeдeляeмую количeством рaботы в системе в n -й вложенной точке ( n >  0 ) . Время 0 -это нулeвaя вложeʜʜaя точкa, и мы прeдполaгa-eм, что пeрвый пeриод ON ʜaчинaeтся в момeʜт врeмeни 0. Тогдa W_n удовлeтворяeт слeдующeму урaвнeнию:

W 0 = 0 ,   W n + 1 =

= [ ( W n - I n + 1 ) ⁺ + I n + 1 - J n + 1    , n >  0 ,

где A + = max(A,0). Пусть Sn+1 обозначает тип экспонeʜциaльного рaспрeдeлeния, котороe принимает In+1. Тогда Sn+1 =i с вероятностью 0,, 0 < i < M -1, и, следовательно, In+1 соответству- eт экспонeʜциaльному рaспрeдeлeнию с пaрaмe-тром 5i.

Пусть W_n ( 5 ) - преобразование Лапласа W n для R ( s ) > 0. Тогда, приняв, что S n _{+ 1} = i , получим

W n ₊ 1 ( 5 ) =

= I 0 i P { W n = 0 } E [ e⁽" ^{5 [} I ⁽ n ^{+ 1) -} J ⁽ n ^{+ 1) ] +} ) S _{( n + 1 )} = i\ + i = 0

M - 1      ^to

+ 2^ dW n ( m ) X          (3)

i = 0 m= 0 ⁺

m

X { J 5ie(-5ix)E x=0

e ^{( - 5 ( m- J} (n + 1) ^{) +}

dx +

to

+ J 5 i e ^{( -5} ) E [ e ⁽" ^{5 (} x ^- J ⁽ n ^{+ 1) ) +} ) ] dx }. x =m

Haблюдaя зa тeм, что кaждый слeдующий пe-риод ON наступает после периода ON n + 1с вероятностью p (в этом случае мы имеем Jn+1 = 0) и что пeриод OFF ʜaступaeт послe пeриодa ON n + 1с вероятностью q = 1 - n (в этом случае длина Jn+1 соответствует экспоненциальному распределению с параметром в), получаем, что to l-1 M-1 (     k-1

W(5) = ZHZa. 5 + ^5-j c, l=0 k=0 ik =0    ^     j=0

гдe ñ ‒ констaʜтa (с учeтом, что всe зaдeйствовaʜ-ʜыe пaрaмeтры зaдaʜы), опрeдeляeмaя по формулe

M - 1

c = ^W toi У ⁰ в ^W ( 6 i +p ) ;

i=0   5 i + P ai(5 ) = 0 i

в- P5 q ( 5 i +p ) .

Прeдполaгaя, что используeтся k экспонeʜт в гиперэкспоненциальном распределении, в - па- рaмeтр рaспрeдeлeния, получим l-1 M-1

HZ a i k

= 0 i k =

^      k - 1     ^

5 + Z 5 i c .

I     j = ⁰ j J

W ( 5 ) =

В итогe из (4) слeдуeт окончaтeльноe вырaжe-ние для W ( 5 )

Срeдʜee врeмя ожидaния пaкeтa в очeрeди можно опрeдeлить кaк пeрвую производную

W ( 5 ) приусловии 5 = 0

to l - 1 l - 1 M - 1      ( n - 1

ZZnZan l=1 k=0 k=0, in =0     ^ j=0

n ^ k

E [ W ] =

{ Z ⁰^M

J ik=0 q Z5 ij j=0

to l -1 M -1       , _z ,

ZHI a i , ( Z k = 0 5 i j l = 0 k = 0 i k = 0      ^x

Учитывая, что общую сетевую задержку в соответствии с моделью коррелированной очереди рисунок 1 и согласно выражению (2) можно записать как

Z = ( w -1)++1, где I - это общая случайная величина для In, можно получить преобразование Лапласа для Z, аналогичноподходудля W (5) ввиде

Z (5 ) = E e-5'W -1)++1 ^ = в-5

в- р5

W ( 5 )

sq

---------С, в- Р5

q (1 - c)

E [ Z ] = E [ W   "       ' ,

где q ‒ вероятность, с которой в конце каждого периода ОΝ начинается период ОFF.

Данный подход показывает возможные пути определения параметров качества обслуживания в системе с наличием корреляции. При этом очевидно, что выражения (7) и (8) довольно сложны при использовании для численной оценки задержки в очереди и в системе в целом. Кроме того, данный подход не позволяет определить такой важный параметр, как изменение задержки, который очень важен при оценке качества функционирования современных инфокоммуникаци-онных сетей.

Поэтому рассмотрим более оптимальный подход (с точки зрения удобства применения), основанный на показанном в [16] определении двумерных плотностей вероятностей с использованием копул. Как было показано выше, при определении времени ожидания пакета в сети и вариации задержки в сети фактически задача сводится к определению плотности вероятностей fl(x L

B [2‒4] показано, что если учесть предположение Линдли [1], заключающееся в том, что (i +1) -й пакет не будет ждать в очереди при выполнении условия, что интервал времени между приходом (i +1) -го и i-го пакета больше, чем время задержки i -го пакета в узле сети, и если при-ʜять, что Ti ‒ время задержки i-го пакета в узле сети, которое определяется в виде Ti = Si + Ri, где Ri ‒ время между поступлениями пакетов и Si ‒ время обслуживания пакета, то время ожидания пакета в очереди равняется f 0, если R . > T, W           i +  i

¹⁺¹ J w + S i - R _{+ 1} .

Джиттер при этом определяется как

Л+ 1 =

'I S i + 1

J S i + 1

- T , если R i + 1 > T i , ^- R +1| .

Определим функции плотности вероятностей рассматриваемых случайных величин: f_R ( У ) - функция плотности вероятности для времени между поступлениями; f_S ( z ) - функция плотности вероятности для времени обслуживания; f_T ( x ) - функция плотности вероятности для времени ожидания в сети.

Законы распределения случайных величин S и R можно определить, анализируя реализацию случайного процесса, определяя законы распределения для времени обслуживания и для времени между поступлениями. Распределение случайной величины Т ‒ непростая задача, а для случая зависимых случайных величин требует особого подхода. Заметим, что

T = S + R. (8)

Тогда плотность распределения случайной величины Т [17]

to

fT ( x ) = JfS,R ( У,x - У ) dy.           (9)

Или to fT (x ) = Jfs,R (X - z, z) dz.          (10)

Определить двумерную плотность вероятностей можно с использованием копул на основе результатов теоремы Склара [18], методика применения такого подхода представлена в [16].

Согласно показанному в [17; 19] получим

fS, R ( У, z ) = c ( FR ( У ) , FS ( z )) /r ( У ) fS ( z ) , (11) где

c ( u, v ) =

5 2 C ( u , v )

5 u d v

‒ плотность (производная) копулы, для нашего случая u = F_r ( у ) , v = F S ( z ) - функции распределения случайных величин.

Из работ, посвященных теории копул, следует, что для различных классов (типов распределений) следует использовать различные копулы. Анализ имеющихся подходов [16] показал, что наиболее удобной для использования в нашем случае является копула Фарли ‒ Гумбеля ‒ Моргенштерна (Farӏіе‒Gumbеӏ‒Моrgenstern copula), имея достаточно простую функциональную форму, она позволяет моделировать умеренные зави-cимости.

Копулу Фарли ‒ Гумбеля ‒ Моргенштерна [17‒21] можно представить в виде:

8Е-4 0,0016 0.0024 0.0032 0,004 0,0048 0,0056 0.0064 X

Рисунок 2. Гистограмма измерений интервалов времени между поступлениями пакетов. Распределение Weibull, параметры: a = 0,005; b = 1

C ( u , v ) = uv [ 1 + e ( 1 - u p )( 1 - v p ) ] ,     (12)

где e - параметр копулы e = e ( R ) , R - коэффициент корреляции,

Учтем, что параметр e должен удовлетворять следующим условиям։

I ,

p где p -целое число (p = 2,3...).

Параметр e определяется согласно выражению р s (u, v ) = 3e

^ p т v p ^{+ 2} J

где рs (u, v) -коэффициенткорреляцииСпирмена. При p = 2 из(11) получим fsR (У,z) = [1 + e(1 -2u)(1 -2v)]x    (13)

X fR (У) /S (z).

При известном значении fT (x) достаточно просто определить среднее время обработки (задержку) пакетов в сети и вариацию задержки па- кетов в сети.

Анализ статистических характеристик видеотрафика

В качестве анализируемого трафика можно использовать видеотрафик, зарегистрированный на уровне пользователя, как один из наиболее характерных для обработки в современных ин-фокоммуникационных сетях. Для регистрации потока наиболее подходящим является анализатор пакетов Wireshark. Все пакеты собираются в режиме реального времени и предоставляются в удобном для чтения формате. Программа поддерживает очень мощную систему фильтрации.

Файл трассировки Wireshark (trace file) содержит необходимые для анализа работы сети характеристики трафика։ интервалы времени между

Рисунок 3. Гистограмма измерений длин пакетов. Распределение Weibull (3P), параметры: a = 94; b = 1; c = ‒4

пакетами и длины пакетов (времена обработки пакетов).

Для аналитической оценки проанализируем статистические характеристики собранного трафика. Статистический критерий согласия Колмогорова ‒ Смирнова ‒ это один из наиболее распространенных и удобных инструментов для проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения некоторой выборки случайных величин. Для данного исследования необходимо определить законы распределения случайных величин։ интервалов времени между пакетами и длин пакетов (времен обработки пакетов).

С помощью Easyfit Professional проанализируем классы распределений процессов поступления интервалов времени между пакетами и длительности пакетов. При аппроксимации снятых параметров трафика в программе Easyfit Professional получаем законы распределения на рисунках 2 и 3.

Следовательно, интервалы времени между пакетами подчиняются закону Вейбулла с параметрами a = 0,005; b = 1 (см. рисунок 2), а длины пакетов ‒ Вейбулла (Weibull, 3P) с параметрами a = = 94; b = 1; c = ‒4 (см. рисунок 3).

Функция распределения и плотность распределения Вейбулла имеет вид

F ( x ) = 1 - exp

-

x

a

exp

Аналогично для трехпараметрического распределения Вейбулла (Weibull) функция распределения и плотность распределения имеют вид

F ( x ) = 1 - exp

-

x

c

a

f ( x x )

Рисунок 4. График зависимости коэффициентов взаимной корреляции временных интервалов времен обработки пакетов и времен между поступлениями пакетов (ОΝ- и ОFF-периодов)

b

x

_c V b - 1 )

a

a

exp

x - c

a

b

, (17)

где a ‒ параметр масштаба, характеризующий степень растянутости кривой распределения вдоль оси x и связанный со средним значением случайной величины; b ‒ параметр формы; ñ ‒ параметр сдвига, являющийся минимальным возможным значением случайной величины x .

Анализ законов распределений для интервалов времени между пакетами и времен обработки пакетов показал принадлежность к классу распределений с тяжелыми хвостами, это позволя-

работки пакетов и интервалами времен между поступлениями пакетов. Это позволяет сделать предположение о зависимости данных случайных величин. Из чего следует обоснованность

применения методики оценки задержки в системе с коррелированной очередью. Но для оценки параметра 0 из выражения (12) необходимо определить коэффициент корреляции Спирмена.

Метод ранговой корреляции Спирмена позво-

ляет определить силу и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями признаков как

ет сделать вывод о том, что для моделирования системы обработки данного потока наиболее точной является модель G/G/1.

При определении параметров функционирования необходимо учитывать наличие зависимостей между временными интервалами, между пакетами и временами обработки пакетов.

Анализ взаимной корреляции интервалов времени между пакетами и времен обработки паке-

Р S = ^{1 - 6}

Z d_t n ( n ² - 1 )

где для случайных величин С и п d i = С i -п i , n ‒ объем выборки. Для рассматриваемого потока коэффициент корреляции Спирмена р _s = 0 , 46 .

Определение совместной плотности распределений интервалов времени между пакетами и длин пакетов видеотрафика

тов определяется согласно выражению для оценки корреляции двух случайных величин с и п по формуле:

R ( п , у ₌ E ( ^Сп ) ^- E ГО E ^(п) = ^аЛ

_ E(С-(E(С)))E(п-E(п))

, п С

где E ( С ) , E ( п ) - математическое ожидание случайной величины С и п соответственно;

о _п , о _С - среднеквадратическое отклонение случайных величин С и п .

Из анализа графика зависимости коэффициентов взаимной корреляции (рисунок 4) можно сделать вывод о наличии достаточно сильной корреляции между интервалами временем об-

Зная законы распределения случайных величин R и S, учитывая (11) и (13), можно определить совместную плотность распределения данных случайных величин с учетом, что они являются зависимыми fR ( y, z )-[l + 0(l - 2 u )(1 - 2 v )]x    (21)

^{X f}R ( У ) ^fS ( z ) ■

Основываясь на том, что fR (y) - функция плотности вероятности для времени между поступлениями, fS (z) - функция плотности вероятности для времени обслуживания, а R и S ‒ случайные величины, для которых необхо- димо определить совместную плотность распределения, в (21) будем использовать функцию распределения (14), (16) вместо u и v и плотности распределения (15) и (17) вместо fR (у)и fS (z) из выражения (13). Тогда можем получить следующее выражение։

=(3e-1)

3 a ₁ a ₂

⁽ a 2

-

a1 )

2 exp

-

c I — I+ ^a 2 7

^fS , R ( У, z ) =

exp

+ 2 e

k⁽ a 2

a ^1 a* 2 ।

-

+ 2 e

a 1 ) ( a ₂

-

2 a 1 ) J к 2 a 1

exp

2a₃c_ J + к ^a 1 a 2 7

( 2 a ₂

-

a ³ a 2

a 1 ) J k ( a 1 ) J

a.c I exp —¹— I. . a 1 ^a 2 7

Вариацию задержки можно определить согласно (1) как

^{< (} x ^- у ) к a 2

exp

.

Задача, которую необходимо решить в рамках данного исследования, ‒ определение суммы двух случайных величин։ интервалов времени между пакетами и времен обработки пакетов, согласно (9)-(10) при условии b 1 = b 2 = 1 :

Введем вспомогательную величину А согласно следующим обозначениям։

f

A = J x ² f_T ( x ) dx =

f fT ( x ) = JfS, R ( У, x - У ) dy =

Г Г Г      Г z M

=(3e-1)

2 a ₁ a ₂

⁽ a 2

-

a1 )

2 exp

-

c I — I + ^a 2 7

f

= J 1 + e 1 - 2 1 - exp

к

-

X

X

1 - 2 1 - exp

y

a

dy =

aa        x - c I

= (3e- 1) , 1 2 v exp -— I +

( a ₂ - a 1 )       к a 2 7

_к ⁽ a 2 a )

( a ₂ - 2 a 1 )₇

exp

^   2 a 1 ( x - c )

^^^^^^B ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^_ к      a1 a 2

+

+ 4 e

⁽ a 2

^a 1 a 2

^^^^^^B

+ 4 e

+ 2 e

_k ⁽ 2 a 2 a ) ,

exp

^   a 1 ( x - c )

^^^^^^B ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

к a 1 a 2

Полученное выражение для f T ( x ) позволяет оценить как среднее время ожидания пакета в сети или среднюю задержку пакета в сети, так и вариацию задержки пакета в сети. Среднее значение задержки представляет собой

E [ T ] = J xf_T ( x ) dx =

a 1 ) ( a ₂

^^^^^^B

2 a 1 )Д ² a .

exp

2 a 1 c

к a ^ a 2 ^

( 2 a ₂

^^^^^^B

+

(.. a ₁ a ₂

a 1 ) JK a 1 ) J

exp

a ₁ c

aa

.

Тогда вариация задержки примет окончательный вид: o ( X ) = ^ A - ( E [ T ] ) 2 .

Численные результаты

Учитывая полученные в результате статистического анализа законы распределения интервалов времени между пакетами и длин пакетов, принимая во внимание параметры данных распределений, получим։

‒ для интервалов времени между пакетами a = 0,005; b = 1;

‒ для длин пакетов: a = 94; b = 1; c = ‒4.

При c _s = 0 , 46 получим следующие выражения для оценки времени ожидания пакетов в сети E [ T ] = 104мс;

Для вариации задержки получим o ( X ) = 84 мс.

Выводы

В работе проанализированы методики оценки параметров качества обслуживания пакетов в сети при наличии корреляций в очереди между интервалами времени между пакетами и длинами пакетов. Определено, что при наличии корреля-

ции достаточно эффективным является подход, основанный на использовании копул.

При анализе корреляционных свойств интервалов времени между пакетами и длин пакетов, характеризующих обрабатываемый трафик, определено наличие сильных корреляций. Получены оценки средней задержки в сети и вариации задержки в сети при наличии корреляций между интервалами времени между пакетами и длинами пакетов.