Анализ напряженно-деформированного состояния цилиндра с переменными модулями упругости на основе трехмерных уравнений теории упругости

Механика

Original article

Analysis of Stress-Strain State of a Cylinder with Variable Elasticity ModuliBased on Three-Dimensional Equations of Elasticity Theory

Jalala Ismayilova M

Introduction . Functionally graded materials are of great use, because heterogeneity of properties enables to control the strength and rigidity of structures. This has caused great interest in the topic in the world scientific literature. The construction of solutions to such problems depends significantly on the type of boundary conditions. In this paper, we consider the equilibrium of a thin-walled circular cylinder whose mechanical properties change along the radius. Homogeneous boundary conditions were set on cylindrical surfaces that had not been considered before, the effect was on the ends. The mathematical formulation of the problem was carried out in the linear theory of elasticity in the framework of axisymmetric deformation. Expressions were constructed for the components of the stress-strain state of the cylinder, in which some coefficients were found from the solution to the resulting system of linear algebraic equations. Materials and Methods . The material of the cylinder was linearly elastic, the elastic modulus of which depended linearly on the radial coordinate. The basic research method was the asymptotic method, in which half the logarithm of the ratio of the outer and inner radii acted as a small parameter. Iterative processes were used to construct the characteristics of the stress-strain state of the cylinder.

Results. Homogeneous solutions to the boundary value problem were obtained for a linearly elastic functionally gradient hollow thin-walled cylinder. An analysis of these solutions made it possible to reveal the nature of the stress-strain state in the cylinder wall. For this purpose, an asymptotic analysis of the solutions was carried out, relations for displacements and stresses were obtained. It was determined that those solutions corresponded to the boundary layer, while their first terms determined Saint-Venant edge effect similar to the plate theory.

Discussion and Conclusion . The analytical solution to the equilibrium problem of a thin-walled cylinder inhomogeneous in radius constructed by asymptotic expansion can be used for numerical solution to a specific problem. For this, it is required to solve the obtained systems of linear algebraic equations and determine the corresponding coefficients. The resulting asymptotic representations provide analyzing the three-dimensional stress-strain state. The selection of the number of expansion terms makes it possible to calculate displacements and stresses with a given degree of accuracy. This analysis can be useful in assessing the adequacy of applied calculation methods used in engineering practice.

Введение. Функционально-градиентные материалы находят широкое применение в различных конструкциях. Благодаря зависимости механических свойств от координат можно управлять напряженно-деформированным состоянием (НДС) деталей. Примером использования такой неоднородности может служить цилиндр, механические свойства которого зависят от радиуса. При этом интерес может представлять цилиндр как отдельная конструкция, так и являющийся подтелом составного тела, например, соединяющий две среды с сильно различающимися свойствами. При расчете НДС тонкостенного цилинда используются некоторые прикладные теории. При этом важно знать оценку их адекватности. Особенно в случае неоднородных свойств она может быть осуществлена с помощью компьютерного моделирования или асимптотического анализа на основе трехмерной постановки. Последним определяется актуальность настоящего исследования.

Изучению НДС полых цилиндрических тел в рамках линейной теории упругости посвящен ряд исследований. В [1, 2] на основе метода сплайн-коллокации и метода конечных элементов изучено механическое поведение радиально-неоднородного цилиндра в трехмерной постановке. В [3] изучено НДС цилиндра, свойства которого зависят от радиуса, нагруженного равномерным внутреннем давлением. В [4] проведено аналитическое исследование для функционально-градиентного пьезоэлектрического цилиндра. В [5] построено точное решение для радиально-неоднородного полого цилиндра с экспоненциальным модулем Юнга, постоянным коэффициентом Пуассона и степенным модулем Юнга. В [6, 7] c помощью метода прямого интегрирования получено аналитическое решение осесимметричной задачи термоупругости для сплошного цилиндра, когда коэффициент линейного теплового расширения является произвольной функцией от радиуса. В [8] разработана общая асимптотическая теория трансверсально-изотропного однородного полого цилиндра. Для трансверсальноизотропного однородного цилиндра получены новые группы решений. Приведено сравнение построенных решений с решениями, построенными с помощью прикладных методов расчета. В [9, 10] изучены некоторые краевые задачи теории упругости для функционально-градиентного изотропного и трансверсально-изотропного (плоскость изотропии перпендикулярна оси) цилиндра, в случае, когда модули упругости являются произвольными непрерывными функциями от радиуса цилиндра. В [11] проведен анализ задачи изгибной деформации для радиально-неоднородного цилиндра. Анализ этих работ показывает, что не для всех типов граничных условий на цилиндрических поверхностях имееются асимптотические представления решений.

В настоящей работе на основе асимптотического анализа трехмерных уравнений теории упругости изучаются особенности НДС тонкостенного цилиндра, свойства которого линейно меняются вдоль радиуса. При этом внутренняя граница закреплена в осевом направлении и свободна в радиальном направлении.

Достижение этой цели было получено с помощью нескольких шагов: асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений и построение однородных решений; вывод формул для компонент вектора перемещений и тензора напряжений; учет краевых условий на торцевых поверхностях.

Материалы и методы. Рассматривается радиально-неоднороднополый тонкостенный цилиндр Г = {r е [r; r2 ], ф е [ 0; 2п], z е [-10; 10 ]} в цилиндрической системе координат r, ф,z с началом на его оси. Задача о его равновесии, в случае закрепления цилиндрических поверхностей вдоль оси и нулевых нормальных напряжений, решается в осесимметричной постановке при действии напряжений на его торцах.

Краевая задача состоит из уравнений равновесия [8]:

дОт + d2rL | ^rr -^фф -0 д r    дzr до до о rz         zzrz дr    дzr где arr, аrz, ^, аzz — компоненты тензора напряжений.

Определяющие соотношения [8]:

дur    (ur a rr =( 2 G + Х)--+Xl —II

• ⁷ д r     ( r   дz J

  ^а zz

  
  

  ^а фф

  
  

  ди   ди ]

  —^L + — ^z ,

  д r   дz J

  
  

  „ __Г |^д u r /u z

  a _rz = G l1

  ( дz   д r

  
  

  Здесь u_r = u_r ( r , z ), u_z = u_z ( r , z ) — компоненты вектора перемещений.

  Параметры Ламе изменяются по линейному закону вдоль радиуса: G ( r ) = G * r ,  Х ( r ) = Х . r ,

  
  

  где G ,, к. — константы.

  После подстановки (3)-(7) в уравнения (1), (2) безразмерная система уравнений принимает вид: (д²и     ди                   д²и           ди            д²

  ( 2 G + к ) I ^ u P + ^U I + 8 ( G + к₀ ) e + V2 e»     + G e 2 e 2 ep ^- u P - 2 G _e 2 и = 0,

  ^{v 0    0 7}(др ² др J ^{v 0    0 7} дрд1 ⁰       д1 ⁰        д1 ^{2      0 P}

  
  
  
  

  Механика

  
  

  Здесь:

  
  

  р = -ln

  
  

  тонкостенности;

  
  

  ( д ² и-     д и

  G.      -8

  
  
  
  

  _кдр ²      др

  
  

  (      д ² и ,        д и _р I                    д ² и _р

  ^{+ ( 2} G 0 ^{+ Х} 0 ) е ² 1 e^{2 8р}^7 ⁺ e ^Ер— | ⁺ ( ^G ° ^{+ Х} 0 )⁸ e ^Ерт-77 = °.

  (     о£ 2       д^)              дрд^

  
  

  1 I G I

  — новые безразмерные координаты; 8 = ln -   — малый параметр в

  2 r

  
  

  l 0

  ^;

  
  

  r ₀

  некоторый параметр, имеющий размерность напряжения.

  
  

  ^u

  u р = —, r ₀

  
  

  u z

  u ?       , x

  r ₀

  
  

  Х * r °

  
  

  * = G , '

  
  

  G * r 0

  ^G ° =      ;

  G ₁

  
  
  
  

  случае

  
  

  G 1

  
  

  _—

  
  

Рассмотрим задачу, в которой на боковых поверхностях цилиндра заданы однородные граничные условия:

u tU = °, ^,. = °.

К торцам цилиндра приложены напряжения:

°       . l

°4= _± ।

= t 1 s ( р ) ,

= t 2 s ( р ) ,

( s = 1; ² ) .

°_рр = "б", °^гё = 7^, °^ = "g" — безразмерные напряжения.

Компоненты вектора напряжений t_Xs ( р ) , t ₂₅ ( р ) , ( s = 1;2 ) удовлетворяют условиям равновесия.

Для построения однородных решениий компоненты вектора смещений будем искать в виде:

ир(р; ^) = и (р) eaS, и Др; ^) = w (р) e ^.

Подставляя представления (14) в систему (8)–(11), получим:

(2G° + Х°)(и"(р) + 8и'(р)) + 8аe8р((G° + Х°) w'(р)+X°8w(р)) + 82G° (а2e28р -2)и(р) = 0,(15)

Go (w"(р) + 8w'(р)) + ( 2G0 + Х0)82 (а e8р и (р) + а2 e28р w (р)) + 8 (Go +Х0)а e8р и '(р) = °,(16)

w р=±1 = °,(

[(2G0 +Х°)и'(р) + 8Х° (и(р) + аe8рw(р))] |    = °.(18)

Исследуем краевые задачи (15)-(18) при 8^ °. Для решения (15)-(18) при 8^ ° воспользуемся асимптотическом методом [9–13].

Ненулевые решения (15)–(18) соответствуют третьему итерационному процессу, компоненты вектора смещений будем искать в виде разложений по малому параметру:

^{и (3)} ( р ) = ⁸ ( ^и 3° ( р ) ^{+ 8 и} 31 ( р ) ⁺ • • •) ,

< w(3) (р) = 8(w3° (р) + 8w3! (р) + -- -), а = 8-1 (р° +8р1 + •••).

После подстановки разложений (19) в уравнения (15)–(18) для членов первого порядка имеем:

(2G, + Х°) из"° (р) + р° (G° + Х°) w3° (р) + G°p° из° (р) = °,(20)

G°w30 (р) + Р° (G0 +Х° )из° (р) + (2G0 +Х0 )в°w3° (р) = 0, w3° (р)р=±1 = °,(

((2G° +Х°) и3° (р) + Х °р° w3° (р)) 1^ = °.(23)

Следуя [13], спектральная задача (20)–(23) соответствует потенциальному решению для плиты.

Таким образом решения представляются в виде:

• а)    ир3;1) (р; 5) = 8i тк (-2G°P2k sinР°k sin (р°кр)+ O(е))х exp[1 (р°к + 8р1 к + • • '4,(24)

к=1                                                              к 8у u53;1) (p;5) =s i Tk (0GoPoksin Pok cos (Pokp)+O(s))x exp 11 (Pok + sPik+• • • )51 • k=1                                                    Vs7

Здесь P0£ является решением уравнения:

COS P o k = ^o

Напряжения, соответствующие решениям (24) и (25), имеют вид:

^3/ = Z Tk (-4Go0Po k sin Pok cos (Pok p) + O (s))x exp 11 (Pok +£P1 k +---)5), k=1                                                     Vs7

^pv = Z Tk (-4G0Pok sinPok sin(Pokp) + O(s))xexpf 1 (Pok +£P1 k + ”-)5) ’ k=1                                                     Vs7

^;1) = Z Tk ( 4G<0Po k sin Pok cos (Pok p) + O (s)) exp 11 (Pok +sP1 k +---)5), k=1                                                  Vs7

^ ФГ = O ( s ) •

• b)    u p3;0) (p;5) = si Fi (0GoP0 i cos Poi cos (Poi p) + O (s))x exp 11 (Poi +sP1i + ”-)5), i=1                                                       Vs7

• u(3;0) (p; 5) = si Fi ( 0GoPo,- cos Poi sin (Poi p) + O (s))x exp f 1 (Poi +sP1i ^'OTl • i=1                                                      Vs7

Здесь P0£ является решением уравнения:

^sin P o i = ^o

Напряжения, соответствующие решениям (31) и (32), имеют вид:

• ^З;0, = ii Fi (—4Go0Poi cos Poi sin (Poip) + O (s)) exp 11 (Poi +sP1i + -)5>|> i=1                                                      Vs7

• ^pp;0’ = iiFi (4G0Poi cosPoi cosOoip) + O(s))expf 1 (Poi +sP1i +-")51 i=1                                                       Vs7

• ^Pt0’ = :iFi (4Go0Po,- cosPoi sin(Poip) + O(s))expf 1 (Poi +sP1i ^'O5)’ i=1                                                      Vs7

• - ФФ    = O ( s ) •

Общее решение (15)–(18) будет суперпозицией решений (24), (25), (31), (32):

u p ( p ; ⁵) = ^s Z T k ( ^{- 0 G} o P o k sin P o k sin ( P o k p ) + ^O (^s) ) ^x k = 1

х exp

• - ^bi F i ( ² G o P o i cos P o i cos ( P o i p ) ^{+ O} ( s ) ) ^x exp 1 ¹ ( P o i +sP 1 i ⁺’” ) ⁵|,

7     i = i                                                      Vs                      7

u 5 ( p ; ⁵) = ^s Z Tk ( ^{0 G} o P 2 k ^sin P o k cos ( P o k p ) ^{+ O} (^s) ) ^x k = 1

f xexpI -Ook +£P1 k + -Vs

■) Т| + si F i ( ^0G o P 0i cos P o i sin ( P o i p ) + O ( s ) ) ^x exp I ¹ 0o i + sPu + • • 0^1. 7     i = 1                                                     Vs                      7

Решения (24), (25), (31), (32) имеют характер пограничного слоя. При удалении от торцов решения (24), (25), (31), (32) экспоненциально убывают.

Чтобы определить константы T, F, воспользуемся вариационным принципом Лагранжа. Вариационный принцип принимает вид [8]:

^- t 1 s ) ⁵ u p + ( ^CT 55

t 0 s ) $ u 5 ]

e ^{0 sp} d p = o.

5=± /

Подставляя (24–36) в (40), имеем:

Z M jk T k o = p o j ', k = 1

да

Z Q j. F . o = p o0* .

i = 1

Механика

Здесь:

M jk = 16 G o3 p 0 _v p 0 к ( в о j — в о к )^{— 1} sin в о к sin Р о , sin ( Р о , — в о к ) '

f  (вок +воj ) 1

exp — -------—

—

£

+ exp

£

, ( при j Ф k )

_{p 0}(1 _j )

M,= 16 G ₍3 в 0 j sin⁰ в о ,-

= 0Gвоj Sin во j J (t01 (p)cos (воjp) — til (p) sin (воj-p)) dp • exp I — Bj I + _—1                                                        V £ 7

( p ) ^sin ( ^в 0 j P ) ) d p-

Q ji = ¹⁶ G o P 0 , Р о i ( ^в о j ^{— в} о / ) ^{1 cos в} о у ^cos Р о i ^sin ( ^в о j ^{— в} о / ) ^ex P

—

£

, ( при i Ф j )

Q jj = 16 G в cos - в о /

i = j )

p оо> = 0 G о в 0 j COS

_—1                                                        V £ 7

⁺ J ( t 12 ( p ) cos ( ^в 0 j p ) ⁺ t 00

(p) sin (во,-P)) dp- exp

T = Тк о +£ T 1 +•• •,

F = F +rF

Постоянные  T^,Fip (p = 1,0,...) находятся из систем линейных алгебраических уравнений (41), (40),

аналогичные которым изучены в [13].

Результаты исследований. В работе в осесимметричной постановке рассмотрено решение задачи линейной теории упругости для функционально-градиентного полого тонкостенного цилиндра, свойства которого изменяются по толщине по линейному закону. На боковых поверхностях цилиндра заданы однородные перекрестные граничные условия, на торцах задан вектор напряжений. Построенные однородные решения удовлетворяют граничным условиям на цилиндрических поверхностях. Для их построения использован асимптотический подход на основе раздожения по малому параметру, характеризующему относительную толщину цилиндра. Для учета неоднородных граничных условий на торцах получены системы линейных алгебраических уравнений, аналогичные изученым в литературе. Показано, что построенные решения НДС имеют погранслойный характер, который соответствует краевому эффекту, аналогичному теории неоднородных плит, носящему имя Сен-Венана.

Обсуждение и заключение. Обычно при изучении НДС тонкостенных конструкций строятся прикладные методы расчета, снижающие размерность задачи. В этой связи актуальной является задача определения диапазона геометрических и механических параметров, в которых эти методы дают приемлемую точность. Построенные в работе на основе асимптотического анализа решения трехмерных уравнений позволяют оценить адекватность таких прикладных теорий с заданным наперед порогом точности. Кроме того, эти решения могут найти применение при оценке численных решений задач для конструкций с функционально-градиентными материалами.