Анализ напряженно-деформированного состояния радиально-неоднородной трансверсально-изотропной сферы с закрепленной боковой поверхностью
Автор: Ахмедов Н.К., Юсубова С.М.
Журнал: Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don) @vestnik-donstu
Рубрика: Механика
Статья в выпуске: 1 т.22, 2022 года.
Бесплатный доступ
Введение. В статье изучается осесимметричная задача теории упругости для радиально-неоднородной трансверсально-изотpопной незамкнутой сферы, не содержащей ни один из полюсов 0 и 𝜋. Считается, что модули упругости являются линейными функциями от радиуса сферы. Предполагается, что боковая поверхность сферы закреплена, а на конических сечениях заданы произвольные напряжения, оставляющие сферу в равновесии.Целью данной работы является асимптотический анализ задачи теории упругости для радиально-неоднородной трансверсально-изотропной сферы малой толщины и исследование на базе этого анализа трехмерного напряженно-деформированного состояния.Материалы и методы. На основе уравнений теории упругости методом однородных решений и асимптотического анализа исследуется трехмерное напряженно-деформированное состояние радиально-неоднородной сферы.Результаты исследования. После выполнения однородных граничных условий, заданных на боковых поверхностях сферы, получено характеристическое уравнение и произведена классификация его корней относительно малого параметра, характеризующего толщину сферы. Построены соответствующие асимптотические решения, зависящие от корней характеристического уравнения. Показано, что решения, соответствующие счетному множеству корней, имеют характер пограничного слоя, локализованного в конических срезах. Разветвление корней порождает новые решения, которые характерны только для трансверсально-изотропной радиально-неоднородной сферы. Появляется слабозатухающее погранслойное решение, которое может проникать глубоко вдали от конических сечений и изменять картину напряженно-деформированного состояния.Обсуждение и заключения. На основе построенных решений можно определить области применимости существующих прикладных теорий и предложить новую более уточненную прикладную теорию для радиально-неоднородной трансверсально-изотpопной сферической оболочки.
Уравнения равновесия, уравнения лежандра, радиально-неоднородная сфера, характеристические уравнение, погранслойные решения, вариационный принцип, прикладная теория, метод редукции
Короткий адрес: https://sciup.org/142234449
IDR: 142234449 | УДК: 539.47
Analysis of the stress-strain state of a radially inhomogeneous transversely isotropic sphere with a fixed side surface
Introduction. The paper considers an axisymmetric problem of elasticity theory for a radially inhomogeneous transversally isotopic nonclosed sphere containing none of the 0 and poles. It is believed that the elastic moduli are linear functions of the radius of the sphere. It is assumed that the side surface of the sphere is fixed, and arbitrary stresses are given on the conic sections, leaving the sphere in equilibrium. The work objective is an asymptotic analysis of the problem of elasticity theory for a radially inhomogeneous transversally isotropic sphere of small thickness, and a study of a three-dimensional stress-strain state based on this analysis.Materials and Methods. The three-dimensional stress-strain state is investigated on the basis of the equations of elasticity theory by the method of homogeneous solutions and asymptotic analysis.Research Results. After the homogeneous boundary conditions set on the side surfaces of the sphere are met, a characteristic equation is obtained, and its roots are classified with respect to a small parameter characterizing the thickness of the sphere. The corresponding asymptotic solutions depending on the roots of the characteristic equation are constructed. It is shown that the solutions corresponding to a countable set of roots have the character of a boundary layer localized in conic slices. The branching of the roots generates new solutions that are characteristic only for a transversally isotropic radially inhomogeneous sphere. A weakly damping boundary layer solution appears, which can penetrate deep away from the conical sections and change the picture of the stress-strain state.Discussion and Conclusions. Based on the solutions constructed, it is possible to determine the applicability areas of existing applied theories and propose a new more refined applied theory for a radially inhomogeneous transversally isotropic spherical shell.
Список литературы Анализ напряженно-деформированного состояния радиально-неоднородной трансверсально-изотропной сферы с закрепленной боковой поверхностью
- Галеркин, Б. Г. Равновесие упругой сферической оболочки / Б. Г. Галеркин // Прикладная математика и механика. — 1942. — Т. 6, № 6. — С. 487-496.
- Лурье, А. И. Равновесие упругой симметрично нагруженной сферической оболочки / А. И. Лурье // Прикладная математика и механика. — 1942. — Т. 7, № 6. — С. 393-404.
- Виленская, Т. В. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для сферической оболочки малой толщины / Т. В. Виленская, И. И. Ворович // Прикладная математика и механика. — 1966. — Т. 30, № 2. — С. 278-295.
- Mekhtiyev, M. F. Asymptotic analysis of spatial problems in elasticity. — Springer, 2019. — Vol. 99. — P. 241. https://doi.org/:0.:007/978-98:-:3-3062-9
- Боев, Н. В. Пространственное напряженно-деформированное состояние трехслойной сферической £ оболочки / Н. В. Боев, Ю. А. Устинов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1985. — № 3. — С. 136143.
- Ахмедов, Н. К. Асимптотическое поведение решения задачи кручения радиально-неоднородного трансверсально-изотропной сферической оболочки / Н. К. Ахмедов, Т. Б. Мамедова // Вестник Донского государственного технического университета. — 2011. — № 4. — С. 455-461.
- Ахмедов, Н. К. Анализ структуры пограничного слоя в задаче кручения слоистой сферической оболочки / Н. К. Ахмедов, Ю. А. Устинов // Прикладная математика и механика. — 2009. — Т. 73, № 3. — С. 416-426.
- Grigorenko, A. Ya. Analysis of the axisymmetric stress-strain state of a continuously inhomogeneous hollow sphere / A. Ya. Grigorenko, N. P. Yaremchenko, S. N. Yaremchenko // International Applied Mechanics. — 2018. — Vol. 54. — P. 577-583. https://doi.org/10.1007/s10778-018-0911-1
- Akhmedov, N. K. Asymptotic analysis of three-dimensional problem of elasticity theory for radially inhomogeneous transversally-isotropic thin hollow spheres / N. K. Akhmedov, A.H. Sofiyev // Thin-Walled Structures. — 2019. —Vol. 139. — P. 232-241. https://doi.org/10.1016/j.tws.2019.03.022
- Akhmedov, N. K. Asymptotic behavior of the solution of an axisymmetric problem of elasticity theory for a sphere with variable elasticity modules / N. K. Akhmedov, N. S. Gasanova // Mathematics and Mechanics of Solids. — 2020. — Vol. 25. — P. 2231-2251. https://doi.org/10.1177/1081286520932363
- Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. — Москва : Наука, 1970. — 939 с.
- Устинов, Ю. А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит / Ю. А. Устинов. — Ростов-на Дону : ЦВВР, 2006. — 257 с.
- Tolokonnikov, L.A. Diffraction of cylindrical sound waves by an elastic sphere with an inhomogeneous coating / L.A. Tolokonnikov // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2015. — Vol. 79. — P. 467-474. https://doi.org/10.1016/i.iappmathmech.2016.03.008
- Kiani, M. Radially inhomogeneous spherical structures; analysis of EM scattering using Taylor's series method and their potential applications / M. Kiani, A. Abdolali, M. Safari // AEU - International Journal of Electronics and Communications. — 2017. — Vol. 80. — P. 199-209.
