Анализ поведения пространственных диссипативных структур в системах реакция-диффузия в поле внешних флуктуаций в окрестности точки бифуркации

Автор: Курушина Светлана Евгеньевна

Журнал: Компьютерная оптика @computer-optics

Рубрика: Дифракционная оптика, оптические технологии

Статья в выпуске: 3 т.34, 2010 года.

Бесплатный доступ

Рассматривается обобщённая модель двухкомпонентной системы реакция-диффузия, учитывающая влияние реальной внешней флуктуирующей среды. Для этой модели предложены методы получения обобщённых уравнений Гинзбурга-Ландау при возникновении неустойчивостей типа мягкой моды и дисперсионного уравнения для усреднённых по ансамблю реализаций амплитуд незатухающих мод. Описана эволюция этой модели в окрестности точки бифуркации Тьюринга. Проведено численное моделирование конкретных систем реакция-диффузия, подтверждающих полученные теоретические выводы.

Система реакция-диффузия, мультипликативные флуктуации параметров, пространственные диссипативные структуры, неустойчивые моды, уравнения гинзбурга-ландау, шумоиндуцированное параметрическое возбуждение, численное моделирование

Короткий адрес: https://sciup.org/14058948

IDR: 14058948

Текст научной статьи Анализ поведения пространственных диссипативных структур в системах реакция-диффузия в поле внешних флуктуаций в окрестности точки бифуркации

1. Стохастическая двухкомпонентная система реакция-диффузия

Многие макроскопические системы могут быть описаны с помощью набора параметров состояния (динамических переменных) { x k }, удовлетворяющих эволюционным уравнениям вида

^x^ = f ( x ( r , t )),                        (1)

где x(r, t) и fn (x(r, t)) - векторы, компонентами которых являются, соответственно, параметры состояния xk и функциональные зависимости, определяющие эволюцию компонент xk во времени и в пространстве. Эти зависимости, как правило, нелинейны, содержат дифференциальные операторы по пространственным переменны м и сами определяются набором управляющих параметров п, описывающих вместе с граничными условиями воздействие на систему окружающей среды.

Здесь исследуется важный частный случай систем типа (1) - распределённые двухкомпонентные системы типа «реакция-диффузия»

d х,

-=- = f k ( х 1 , х 2, n , r , t ) + D x А х k , k = 1,2, д t                                 k

имеющие широчайшую область приложений [1-16 и др.].

Исследование систем типа (2) проводится при следующих условиях.

Полагается, что модель (2) описывает макросистемы. Для таких систем внутренние флуктуации допустимо считать пренебрежимо малыми. Это позволяет исключить влияние внутренних флуктуаций на особенности исслед уемых явлений.

Изучаются системы, для которых отсутствует обратная связь с окружающей средой. Это означает, что характерные размеры среды существенно превышают характерные размеры системы.

Среда считается однородной и изотропной, не претерпевающей систематических изменений. Это допущение необходимо для исключения эффектов, обусловленных систематической эволюцией окружающей среды, и означает, что характерное время изменения состояния среды значительно больше времени наблюдения за системой.

Внешний шум присутствует в системах любого типа. Поэтому возникает необходимость уточнить модель (2) так, чтобы в ней можно было учесть эффекты, связанные со стохастическим характером среды.

Влияние среды на свойства системы описывается с помощью набора параметров п. Если система находится во флуктуирующей среде, то некоторые из этих параметров (или все) становятся случайными величинами. Учитывая два последних условия, эти параметры можно представить стационарными однородными изотропными случайными полями n(r,t), которые удобно разложить на две составляющие n(r, t) = n0 + f (r, t). Здесь по - пространственно-вре- менное среднее параметра п, соответствующее среднему состоянию среды, поле f((r,t)) описывает флуктуации параметра относительно среднего значения, (f (r, tp = 0 . В весьма обширный класс феноменологических уравнений типа (1), встречающихся в приложениях, внешний параметр входит линейно.

Если в каждом из уравнений (2) флуктуирует один внешний параметр, то, учитывая вышеизложенное, система (2) примет вид дх,

3 = P ( х 1 , х 2 , X 10" . % n ) +

О t

d t     Q ( х 1 , х 2 , П 10 ...П j ) +

+ f 2( r , t ) Q '( х 1 , х 2, n l ,... n , ) + F 2( r , t ) + D 2 V 2 х 2.

Здесь х 1 , х 2 - динамические переменные, /1... X n ,

П 1 — П j - параметры задачи, /10, п10 - пространственно-временные средние соответствующих параметров, D 1 , D 2 , - коэффициенты диффузии компонент, P, Q, P' и Q' - нелинейные функции, описывающие взаимодействие подсистем. Здесь также учт ено воздействие внешних случайных сил, имеющих аддитивный характер и описываемых случайными полями F i ( r , t ) с нулевыми средними значениями.

Определим статистические характеристики случайных полей в соответствии со свойствами среды, следуя работе [14].

В работе [14] приводится обоснование того факта, что для большинства реальных систем, имеющих немарковское поведение, хорошим приближением для моделирования флуктуирующей окружающей среды является цветной шум. В этом случае будущая эволюция системы зависит лишь от её состояния и состояния среды в данный момент времени , которое является марковским (при этом предполага-

ется, что начальное состояние системы не зависит от шума). Это означает, что любое предсказание будущей стохастической эволюции многомерного процесса, описываемого переменными системы и случайным внешним источником, основанное на информации о состоянии в данный момент, является наилучшим из всех возможных.

Как отмечено в [14], флуктуации окружения представляют собой суммарный эффект действия многих слабосвязанных факторов окружающей среды. Тогда из центральной предельной теоремы следует, что флуктуации внешнего источника распределены по Гауссу. Свойства эргодичности, марковости и гауссовости флуктуирующего окружения ограничивают выбор случайных полей для моделирования флуктуаций окружающей среды в (3) стацио-

следовательно, вид возникающих структур, а также ограничивают секулярный рост амплитуд неустойчивых мод. Поэтому разработка новых или модификация существующих аналитических методов сведения исходной системы к базовым моделям представляется важной.

Здесь разработан метод получения уравнений для усреднённых по ансамблю реализаций амплитуд неустойчивых мод систем типа (3), находящихся во внешних аддитивных и мультипликативных флуктуирующих полях.

Вначале исслед уем поведение системы (3) в частном случае, когда она находится только в поле аддитивных флуктуаций. Рассмотрим уравнения д.х.

—1 = P(х1, X 2, Хр—Х n ) + DV х1 + f1(r, t), д t дх„

/ = Q ( X 1 , х 2 , П 1 ,... п n ) + D 2 V х 2 + f , ( r , t ).        (5)

д t

Среди параметров х 1 — Ъ , П 1 П n есть параметр, имеющий размерность, обратную времени. Пусть это X i . Введём безразмерные время т = x 1 t и координаты r ' = r JxjDi . Тогда система (5) примет вид:

нарным однородным изотропным гауссовым полем с экспоненциальной функцией корреляции:

(f, ( r , t ) MrA t =

= Ф , ( I r - r ' ) exp ( - k^t - t ' ) 5y , ( г , j = 1,2 ) .

Ф j (| r - r '| ) задаёт пространственную зависимость корреляций случайного поля. Время корреляции rt = kt-1 - характерный временной масштаб внешних флуктуаций. Символ 8 j означает отсутствие взаимной корреляции полей f 1 ( r , t ) и f , ( r , t ).

Вид корреляционного тензора полей F , ( r , t ) зависит от характера действующих аддитивных сил.

Чтобы завершить построение модели, определим условия на границе системы. Для большинства приложений выбираются либо граничные условия Дирихле, либо граничные условия Неймана [9].

Для упрощения теоретического исследования будем считать систему безграничной.

2. Обобщённые уравнения Гинзбурга-Ландау и дисперсионные уравнения для усреднённых по ансамблю реализаций амплитуд неустойчивых мод

Базовые математические модели самоорганизации едины для широкого класса физических, химических, биологических и экономических систем. К таким моделям относятся обобщённые уравнения Гинзбурга-Ландау, решения которых хорошо изучены. Линейные члены уравнений Гинзбурга-Ландау определяют возможность существования фазового перехода системы. Нелинейные слагаемы е определяют правила отбора взаимодействующих мод и,

1 = P ,( х , х 2 , хр...Х n ) + V ' 2 х + F ( r ' , т), дт

= Q '(X, х 2 , np... p n ) + D V' 2 х 2 + F 2 ( r ' , Т ).      (6)

дТ            1 2 1 n               2      2

Здесь       P ' ( х 1 , х 2 , Хр.- Х n ) = P ( х 1 , х 2 , Хр™Х n ) / Х 1 ,

Q ' ( х , , х 2 , П 1 ,... р n ) = Q ( х , , х 2 , П 1 ,... р n )/ Х 1 , F 1 ( r ' ,т) = f .(r ' ,т) / Х 1 , F 2 ( r ' ,т) = f > ( r ' ,т Х 1 , D = D 2 / D 1 . Далее везде штрихи опущены.

Пусть значения параметров X i X n , П 1 П n таковы, что х 10 и х 20 - устойчивые состояния равновесия детерминированной системы (5), определяемые уравнениями P ( х 1 , х 2 , Х 1 ,... Х n ) = 0, Q ( х 1 , х 2 , П 1 ,... П n ) = 0.

Перепишем систему (6) в операторном виде, разделив её правую детерминированную часть на линейную K ( V 2 ) q и нелинейную g ( q ) компоненты:

- K ( V 2 ) q = g + F ( r , т ).                      (7)

дТ

Вектор q описывает отклонения решения относительно стационарных состояний q = ( х 1 - х 10, х 2 - х 20). Линейный оператор K ( V 2 ) имеет вид

(a, +V2

K ( V 2 ) = 1 11

\ a 21

a 22 + D V

a

1 j

дP дxj

х 10 , х 20

, a 2 j

д Q

д x j

х 10 , х 2 0

, j = 1, 2.

Векто р g содержит кв ад ратич ны е и кубические нелинейности, полученные разложением в ряд право й детерминированной части (6), и определяется так:

*

g =

^ 2

Е g S q . q v

Ц V= 1

Е g 2^ q ц q v

V Ц v= 1

2                       ^

+ Е g (X q ц q v q к

+ Е g l3^ q ц q v q к

Ц v к= 1                     J

где g 1,цv

1 d 2 P

2! д x ц д x v

g 1• цvк

1     д 3 P

x ц 0 , x v 0

3! д x ц д x vд x к

x ц 0 , x v 0

g 2• цv

1 д 2 Q

2! д x ц д x v

’g 2•цvк xц0, xv 0

1   д 3 Q

3! д x ц д x vд x к

x ц 0 , x v 0

Вектор F содержит случайные компоненты:

F =

Жг,т) )

F ^rт) J

При линейном исследовании на устойчивость опускаем нелинейный член g ( q ) и случайные компоненты и полагаем, что вектор q имеет вид q = q 0 exp( Хт + i kr ).

После его подстановки в левую часть (7) получаем характеристическое уравнение А2 - аХ+в + 0, имеющее решения

1         а ( к ) ±Vа 2( к ) - 4 в ( к )

^1,2(к ) =             2             • где

а ( к ) = Tr ( a - ) - (1 + D ) к 2, в ( к ) = Det ( a - ) - ( Da11 + a 22 ) к 2 + Dk 4 .

Неустойчивость Тьюринга типа мягкой моды возникает, если Im( X 12) = 0 и Re( % 1) 0, т.е. а< 0, в< 0.

Представим вектор q в виде суперпозиции по собственным формам оператора K ( V 2 )

q ( r , т ) = Е O < j ) < k ) ^ k j '( т ) e kr ■ (11) k ' , J

Здесь O ( j ) ( k ) - собственные векторы оператора K ( V 2 ), E k J ) ( т ) - неизвестные амплитуды, exp( i kr ) - собственные функции оператора V 2 . Здесь предполагается, что вектор q ( r , t ) представляется как суперпозиция плоских волн, однако в зависимости от симметрии задачи в качестве собственных ф ункци й оператора V 2 удобнее выбирать функции Бесселя или сферические волновые функции.

Известно, что неустойчивые моды заключены в узкой полосе значений волновых векторов, что даёт возможность построения волновых пакетов путём суммирования по волновым векторам, заключённым в малых интервалах. Таким образом, выделяются несущие моды с дискретными значениями волновых векторов и медленно меняющимися амплитудами E k J ) ( т ).

Чтобы получить уравнения для амплитуд мод E k ' ) ( т ), подставим (11) в (7), умножим полученное уравнение слева на exp( - i kr ) O * ( j ' ) ( k ) и проинтегрируем по области, значительно большей периода осцилляций exp( i kr ), но в которой E k J ) ( т ) меняется очень мало. Здесь O * ( j ) ( k ) - собственные вектора оператора, сопряжённого к K ( V 2 ): O ( j ) O * ( j ) = 8 - .

После преобразований система уравнений для амплитуд мод E k J ) ( т ) принимает вид:

d?( j >

-^ ’С. = dт

(j)

Е GjJ vk, k , k )^k' Sk" °(k + kk

, kk'

+ Е ^ jJJ ( k , k ' , k ' , k ^E j ^->k '+ k ' + k' - k ) +

J J J , kkk 2 + Е O ^( J ) < k ) Z E , k ( т ) -

E= 1

В (12) введены следующие обозначения:

g , k , k , k '‘ ) = е g Sv o ; ( j ) ( k ) о ц J '> ( k ' ) о J ) ( k ‘‘ ),

E,^v ojjJ(k, k', k'; k'') =

= Е g е3^к o e 4 j ) ( k ) о ц/^ ( k ' ) о J ) ( k '' ) о J) ( k ' ' ).

E,ц/v, к zE k (т) = j Fe (r, т)e-'krdr - компоненты случайного векторного поля z(t), имеющие нулевые средние, £ и k - индексные аргументы этого поля. В предположении, что времена корреляций случайных полей гораздо меньше всех характерных времён задачи (3), корреляционные функции для компонент поля z(t) будут иметь вид: zjk,k(t)zi,k'(т)) = gji (k)8(k-k')5(t-т)5'i [12].

Положим далее для определённости

Ф '' ( r - r ' ) = 6 j' exp( - к fl |r - r ' ).                  (13)

Здесь 6 j - интенсивности флуктуаций, к ' - величины, обратные радиусам корреляций. Тогда для дву-мернойсреды gj■ = 2 п9 '- к ^ /( к 2 + к ^)3/2.

Система (12) содержит как устойчивые (затухающие), так и неустойчивые (незатухающие) моды. В окрестности точки бифуркации время релаксации незатухающих мод значительно больше времени релаксации затухающих, поэтому последние адиабатически следуют за первыми. Это даёт возможность исключить из уравнений (12) затухающие моды.

Чтобы провести процедуру адиабатического исключения устойчивых мод, перепишем (12), выделив из неё две подсистемы уравнений: для неустойчивых мод (обозначим их дополнительным индексом (и)) и для устойчивых (5). Поскольку незатухающие моды, если пренебречь нелинейными членами, могут нарастать до бесконечности, уравнения для них запишем с точностью до кубических сла- гаемых, обеспечивающих нелинейную стабилизацию неустойчивости.

Естественно считать, что амплитуды устойчивых мод много меньше амплитуд неустойчивых мод If s i « IfJ и их изменения происходят самосогласованным образом: f s ~ f2, (приближение самосогласованного поля).

В уравнениях для устойчивых мод оставим только члены, необходимые для получения уравнений для неустойчивых мод с точностью до членов третьего порядка.

( j )

-X y (k , ) f k s ) =

-T     j

= У ^(k , k‘, k"£™ f® 8(k‘+ k"- k )| + (14)

/     11 V s , u , u ~ku 'k u V u u      s 7 I V 7

k′ u k ′ u

+ / о ;( j ) (k s у E , k s ( T ).

;= 1

Для неустойчивых мод из (12) получим:

-X 1 (k u ^ =

—T

- У g (1Vk k' (1)F(1) oik' +k#-k 1 +

= / , ° 11 ( k u , k u , k u ) f k 'u f k ' u 8( k u + k u k u ) + k u k u

+ / ( °le (k u , k u , k s ) +

; ,k u k s                                                     (15)

+ G®(k u , k s , k u )) f k u f k s )5(k u + k s k u ) +

+ У g (1)fk к' У k,T(1)£(1)£(1)

+ / ° 111 ( k u , k u , k u , k u Z ^ k' u f k" u f k ■u 8X k′ u k′′ u k u

x (k u + k u + k u - k u ) + / o :(1) (k u ) z E , k u (t).

;= 1

В случае мягкой моды при исключении f k js из уравнений (15), в (14) можно пренебречь производной по времени d f k s ) / - T [13]. Выражая из (14) f k js и подставляя полученное выражение в (15), получим фундаментальную систему уравнений для амплитуд неустойчивых мод:

-X 1 (k u ) f k u =

-T

(1)                          (1) (1)

/ °11 (k u , k u , k u -Sk 'u fk"u 8(k u + k u k u ) + k ′uk ′u

+ Wi/k k' k' k" к ^(1)?(1) £(1) &k' +k' +k”-k 3

+ / ^ ( k u , k u , k u , k u , k s h>k ' u S k^ S k ^ ° ( k u + k u + k u k u ) k u k u k ′′ u

+ / о ; (1)(k u ) z E , k ( t ).

ε

Здесь введены следующие обозначения:

® u , k u , k u , k u, k s ) =o (1)1 (k u , k u , k u , k u 1) -

-

Гп (1)fk k' к ^ + п(1)Гк к к' 33

(U 11 ( k u , k u , k s ) + u 11 ( k u , k s , k u ))

°H( k s , k u , k ”) -

X 1 (k s )

-

(1)lk к' к 'l + G(1)lk  к к''ll

(u 12 ( k u , k u , k s ) + u 21 ( k u , k s , k u ))

x 2 (k s )

O (2) (k s , k u ,k"),

to ; (k u , k u , k s ) =

(a (1)1к к' к 1 + G(1)('k  к к'Yl

_ (U 11 ( k u , k u , k s ) + U 11 ( k u , k s , k u ))

X 1 ( k s )

(1)                           (1)

+ (O 12 ( k u , k u , k s ) + ° 21 ( k u , k s , k u ))

о ;(1) (k s ) +

X 2 (k s )

o :(2) (k s ).

Эти моды служат параметрами порядка. Их кооперация или конкуренция определяют вид возникающих структур. Уравнения вида (16) также называют обобщёнными уравнениями Гинзбурга-Ландау (УГЛ). Дельта-функции 8 ( k u + k u - k и ), 8 ( k u + k u + k u - k и ), S ( k u + k s - k u ) дают «правила отбора» для взаимодействующих мод. При отсутствии пространственной корреляции внешнего аддитивного шума уравнения (16) сводятся к уравнениям, полученным в [13].

Уравнения (16) в последней строке содержат флуктуирующие компоненты. Дальнейший анализ уравнений (16) может заключаться в получении соответствующего уравнения Фоккера-Планка (УФП), которое определяет вероятность возникающей некоторой конфигурации мод. Однако в (16) содержатся слагаемые вида ® ; ( k u , k u , k s )f (kl u z ; , j ; s (T)8( k u + k s - k u ), кото рые существенно усложняют вывод УФП. Кроме того, УФП не дают возможности исследовать влияние флуктуирующего окружения на дисперсионные характеристики неустойчивых мод. Поэтому усредним уравнения (16) по ансамблю реализаций.

При усреднении возникает необходимость раскрытия корреляторов вида f f k u z ; k s (t)^ . Для этого используется многомерное обобщение формулы Фурутцу-Новикова [12].

Принимая во внимание формальные решения системы уравнений (16), учитывая, что параметры порядка f k u являются функционалами случайного поля z( t ), в результате усреднения окончательно получим уравнения для моментов параметров порядка:

V u 2-X 1 (k u )(fk u ) =

—t               ' 1

= 1 / to; (k u , k u , k s )to; ( k u , k u ' , k ' ) g ;;(| k s | )X

2 ;,k uk"uksk s x8(ku + ks -ku)8(ku + ks' -ku)8ks,ks (fk1’u) +

+ Уи (1)fk k' k'^/^1)^1) \fifk' +k"-k 3+ П 73 + / ° 11 (k u ,k u ,k u Д f k ' u f k "u /8 (k u + k u k u ) + (1/) k u k ′′ u

+ / to(k u ,k u ,k u ,k:,k s )( f k u f® fk1) u^ 8(k u +k u +k u -k u ).

k u k u k u

В системе (1/) возникают дополнительные слагаемые, пропорциональные f k u ( t)^ , что приводит к изменению собственных чисел каждой моды, и, как следствие, к изменению области неустойчивости. Выделим из первой суммы правой части (1/) слагаемые, дающие вклад в собственное значение данной моды. В результате получим дисперсионное уравнение для усреднённых амплитуд неустойчивых мод:

X = X 1 ( k u ) + I ^ ® 2 ( k u , k u ,0) g ее (0).

2 Е

В выражения g ЕЕ = 2пОЕ / k f E входят параметры случайного поля, а ® 2 ( k u , k u ,0) >0, поэтому из (18) следует, что увеличение интенсивности и радиуса корреляции случайного поля увеличивает инкременты неустойчивых мод (действительные части собственных значений) и область неустойчивости системы, что должно приводить к ускорению процесса структурообразования в поле флуктуаций.

Ниже изложен метод получения обобщённых уравнений Гинзбурга-Ландау для систем типа (3), находящихся в поле мультипликативных флуктуаций параметров для случая, когда в автономной системе реализуются условия неустойчивости типа мягкой моды. Рассмотрим систему уравнений:

∂x

—2 = Q ( x 1 , x 2 , П 0 .... П m ) + d 2 V x 2 .

∂t

Пусть х 1 и п 1 — внешние параметры, входящие

в систему (19) линейно. Тогда

∂x

1 = P 1 ( x^ x 2 , X о , X 2- X k ) + д t

+ X 1 P 2 ( x 1 , x 2 , X k + 1 ,." X n ) + d 1 V 2 x 1 ,

∂x

  • " = Q 1 ( xb x 2 , П о , П 2 ... П k ) +

∂t

  • + n Q 2 ( x 1 , x 2 , П k + 1 ,... n m ) + d 2 V 2 x 2 .

Здесь

P ( X 1 , x 2 , X 0 , X 10 ... X n ) = P ( X 1 , x 2 , X 0 , X 10 ... X n )/ X 0 ,

Q ( X 1 , x 2 , П 0 , П 10 ... П m ) = Q ( X 1 , x 2 , П 0 , П 10 ... П m )/ X 0 ,

P 2 ( x 1 , x 2 ,X k + 1 ,."X n ) = P 2 ( x 1 , x 2 ,X k + 1 ,".X n )/X 0 ,

Q 2 ( x 1 , x 2 ,n k + 1 ,"n m ) = Q 2 ( x 1 , x 2 ,n k + 1 ,"П m )/X 0 ,

D = d 2 / d 1 . Далее везде штрихи опущены.

Обозначим, как и ранее, через x 10 и x 20 устойчивые состояния равновесия системы (19) и представим (22) в операторном виде (7). Линейный оператор K ( V 2 ) и нелинейная часть g ( q ) будут иметь вид (8) и (9) соответственно. Остановимся более подробно на векторе F , содержащем случайные компоненты

I f t f T T ) Q 2 ( x 1 , x 2 , П k + 1 ,- П m ) J .

В него входят нелинейные функции P 2 и Q 2. Чтобы иметь возможность использовать представление решения в виде (11), необходимо разложить эти функции в ряд Тейлора по степеням компонент вектора q . Ограничимся в разложении P 2 и Q 2 квадратичными слагаемыми. Как будет показано в дальнейшем, слагаемые такого порядка необходимы для получения дисперсионных уравнений для усреднённых амплитуд неустойчивых мод с точностью до слагаемых, квадратичных по интенсивностям флуктуаций.

В результате вектор, содержащий случайные компоненты, приобретёт вид

Под действием флуктуирующего окружения параметры x i и n становятся случайными функциями, и можно положить X 1 = X 10 + f 1 ( r , t ) , П 1 = П 10 + f 2 ( r , t ) , где поля f i ( r , t ) имеют корреляционный тензор (ft ( r , t ) f j ( r , t З) = Ф i ( r - r ' ) 8 (| t - 1 ' ) S j . Здесь для простоты учтено, что времена корреляции случайных полей существенно меньше всех характерных времён задачи (19). Уравнения (20) приобретают вид

∂x

1 = P ( x 1 , x 2 , X 0 , X 10 ... X n )+

d t

+ f ^r t ) P 2 ( x 1 , x 2 , X k + 1 >." X n ) + d 1 V 2 x 1 ,

f , ( r , t )

F =

f 2( r , t ) l

P((0) + £ P(® q ^ + £ p iC q p. q v

Ц= 1                u . v 1

p ?’ + £ p ( ,i q , + £ p s2 iv q , q v

^= 1

H , v= 1

где p (0) = P 2 ( x 10 , x 20 ), p 2 0) = Q 2 ( x 10 , x 20 ),

p °) = ^ P^- 1, P    д x ,

n (1) _ д Q 2 , p 2, , =

x 1 0 , x 20

∂xµ

x 1 0 , x 20

A

f

n (2) - p 1, ,v =

д 2 P 2

2! д x , д x v

x , 0 , x v 0

. p (2) =     д 2 Q 2

2, ,v 2! д x , д x v

x , 0 , x v 0

.

∂x

—2 = Q ( xb x 2 , П 0 , П 10 ... П m ) +

∂t

+ f 2 ( r , t ) Q 2 ( x 1 , x 2 , П k + 1 ,... П m ) + d 2 V 2 x 2 .

Среди параметров х0 ... x n , П 0 П m есть параметр,

имеющий размерность, обратную времени. это x 0 . Введём безразмерные переменные: и r '= r -VX0/ d 1 . Тогда система (20) примет вид:

∂x

1 = P ( x 1 , x 2 , X 0 , X 10 ... X n )+ дт

+ f 1 ( r ' ,т) P 2 ( x 1 , x 2 , X k + 1 ,... X n ) + V ' 2 x 1 ,

∂x

," = Q ( x 1 , x 2 , П 0 , П 10- П m ) +

дт                      m 2

+ f 2 ( r ' ,т) Q 2 ( x 1 , x 2 , П k + 1 ,... П m ) + D V ' 2 x 2 .

Пусть

Т = Х о t

Снова представим вектор q в виде суперпозиции по собственным формам оператора K ( V 2 ) (11) и, используя описанную ранее процед уру построения волновых пакетов, получим систему уравнений для медленно меняющихся амплитуд ( j )

d^k--Xy(k )E,f =

dT     j

( j )                       ( j ’)?( j

= £ ° j j "( k k k ) S k - Su - ° ( k + k - k ) + j j ',k k "

( j )              V''^^j ')pc j " )p( j

+    £ ° j'j'j”Vk,k , k , k T ^ k ' S k ' S k" 0( k + k + k k )

jjj , k k k

+ £ o ; ( j ) ( k ) p ^ z ф , и ( т ) +

Статья научная