Анализ временных рядов в прогнозировании (на примере валютного курса доллара к рублю)

This article analyzes the time series of the dollar exchange rate – this is the process of studying changes in the dollar exchange rate against the ruble in a certain period of time. The relevance of the topic is due to the economic importance of the dollar, as it is the key reserve currency of many countries and has a huge impact on the global economy. Also, forecasts based on the study of the dollar’s variation series allow investors to make informed decisions about the allocation of capital. By calculating the autocorrelation of the 1st and 2nd order, the author found out the dependence of the current levels of the series on the immediately preceding levels. And based on other econometric indicators and auxiliary calculations, conclusions were drawn whether there is a linear trend in the time series being studied and whether seasonality affects it.

Анализ временных рядов в прогнозировании – это процесс изучения данных, упорядоченных во времени, с целью выявления закономерностей и паттернов, которые мо- гут помочь спрогнозировать будущие значения этого ряда. Анализ временных рядов является важной методикой в прогнозировании, которая позволяет изучать изменения данных во времени и выявлять тренды. Этот анализ включает в себя исследование трендов, сезонности, цикличности и случайных колебаний временного ряда. На основе этих характеристик можно строить модели для прогнозирования будущих значений ряда, что является важным инструментом в различных областях, таких как финансы, экономика, маркетинг и других.

Цель исследования временного ряда курса доллара – на основе оценки влияния фактора времени на колебания валютного курса доллара, а также оценки зависимости текущих уровней ряда от им предшествующих уровней сделать расчёт прогнозного значения курса доллара на 1, 2 и 3 кварталы 2024 года.

В качестве методико-материальной базы для прогнозирования временных рядов обычно используются различные статистические методы и модели, такие как экспоненциальное сглаживание и машинное обучение. Анализ временных рядов играет важную роль в прогнозировании валютного курса рубля. Для этого обычно используются методы статистического анализа и исследования временных рядов, такие как авторегрессионные модели, модели ARIMA и прочие.

Для начала анализа временного ряда курса рубля необходимо собрать достаточное количество данных по курсу доллара к рублю за период времени с 2020 по 2023 год [1]. Построим вспомогательную таблицу 1 на основе ежемесячных данных курса доллара в рублях, представленных в архиве ЦБ России.

На основе таблицы 1 можно сделать выводы, что с января по декабрь 2020 года курс доллара вырос с 61,8 до 74,1 рублей, на это повлияла высокая степень неопределённости: влияние пандемии коронавируса, рекордный обвал нефтяного рынка и цен на нефть, политические факторы. Впрочем, благодаря мерам российских властей по поддержке экономики, а также новости о разработке вакцин от COVID-19 курс доллара в среднем составил 73,7 рублей. 2022 год сопровождался резкими колебаниями курса доллара – от предельного повышения до наибольшего ослабления за последние пару лет. Правительство РФ обязало экспортёров продавать 80% своей валютной выручки, ЦБ ограничил вывоз капитала за рубеж и повысил ключевую ставку до 20% годовых – все это укрепило курс рубля [1]. Однако в 2023 году курс доллара начал уверенно расти и уже в апреле составил 80,9 руб. за 1 доллар. Одной из основных причин такой динамики был усилившийся дисбаланс между спросом на иностранную валюту и её предложением.

Арифметическая средневзвешенная используется для вычисления среднего значения, учитывая различные веса для всевозможных элементов. Это позволяет учесть разную значимость каждого элемента при расчёте общего среднего.

Таблица 1

Курс долл. к руб. за период с 2020 по 2023 год

Кол-во дней	Год Месяц	2020	2021	2022	2023
31	Январь	61,7823	74,2291	75,8837	69,2325
28	Февраль	63,8836	74,3842	77,4048	73,0284
31	Март	73,3183	74,4151	104,081	76,0852
30	Апрель	75,2321	76,0977	77,9146	80,8947
31	Май	72,6187	74,0438	64,7770	78,9516
30	Июнь	69,2239	72,5106	57,2694	83,1614
31	Июль	71,2853	73,9194	58,1515	90,4214
31	Август	73,7998	73,5942	60,3522	95,2847
30	Сентябрь	75,6621	72,8914	59,8006	96,6524
31	Октябрь	77,5924	71,4981	60,9064	97,0400
30	Ноябрь	77,0462	72,6024	60,8781	90,5918
31	Декабрь	74,0563	73,7172	65,4395	90,7659

Таблица 2

Поквартальный курс доллара к рублю за период 2020-2023 годы

Год	Квартал	t	Курс долл./руб.	Среднегодовое значение курса долл./руб.
2020	Q 1	1	66,4095	72,1383
	Q 2	2	72,3611
	Q 3	3	73,5598
	Q 4	4	76,2228
2021	Q 1	5	74,3414	73,6594
	Q 2	6	74,2155
	Q 3	7	73,4746
	Q 4	8	72,6059
2022	Q 1	9	86,0693	68,6394
	Q 2	10	66,6330
	Q 3	11	59,4308
	Q 4	12	62,4246
2023	Q 1	13	72,7738	85,1673
	Q 2	14	80,9800
	Q 3	15	94,0920
	Q 4	16	92,8232

На основе вышеуказанных данных из таблицы 1 с помощью средневзвешенной арифметической рассчитаем курс доллара к рублю по кварталам в каждом году за период с 2020 по 2023 год (формула 1).

X =Xxf

где X – средневзвешенная арифметическая;

x_i – значение признака в группе или середина интервала значений;

f_i – количество объектов в группе.

После сбора данных необходимо:

• 1.    Построить график временного ряда;

• 2.    Рассчитать коэффициент автокорреляции первого и второго порядка;

• 3.    Аргументировать выбор типа уравнения тренда и рассчитать его параметры;

• 4.    Провести осмысление параметров тренда и сделать выводы о динамике курса доллара, а также спрогнозировать значение курса на 1, 2 и 3 кварталы 2024 года.

Линейный тренд – это математическая модель, которая показывает направление и скорость изменения переменной во времени [2]. Он используется для предположения будущих значений на основе прошлых данных. Его преимущества заключаются в простоте, интуитивной интерпретации и возможности использования для прогнозов. Линейный тренд показывает, в какую сторо- ну (повышения или снижения) изменяется курс доллара во времени. Для построения графика используем данные из таблицы 2.

Как представлено на рисунке в начале 2022 года курс доллара резко подскочил вверх, что связано с экономическими санкциями Европейских стран в сторону России, которые затронули как энергетический рынок, так и финансовый, банковский, торговый секторы. Это сильно повиляло на курсы национальных валют, доллар в 1 квартале 2022 года совершил резкий скачок вверх, однако далее после ряда мер правительства и ЦБ России по повышению ключевой ставки, ограничению проведения операций с долларом и снятия наличной валюты со счетов произошел спад курса доллара вплоть до начала 2023 года. В ходе сложившейся ситуации рост глобальной экономики замедлился почти вдвое. На основе графического изображения можно сделать вывод, что временной ряд курса доллара к рублю содержит тенденцию близкую к линейной, однако случаются резкие колебания, связанные с различными геополитическими факторами. В связи с этим для имитации его тенденции используем линейную функцию (2) и строим вспомогательную таблицу 3 для расчёта параметров линейного тренда.

y_t = a + bt (2)

Динамика курса 1 доллара в рублях

Таблица 3

Кварталы	Курс долл./руб. ( y )	t	t 2	y 2	yt	y с домиком Т
Q 1 2020	66,4095	1	1	4410,23	66,41	68,67
Q 2 2020	72,3611	2	4	5236,13	144,72	69,50
Q 3 2020	73,5598	3	9	5411,04	220,68	70,33
Q 4 2020	76,2228	4	16	5809,91	304,89	71,16
Q 1 2021	74,3414	5	25	5526,65	371,71	71,99
Q 2 2021	74,2155	6	36	5507,93	445,29	72,82
Q 3 2021	73,4746	7	49	5398,52	514,32	73,66
Q 4 2021	72,6059	8	64	5271,62	580,85	74,49
Q 1 2022	86,0693	9	81	7407,93	774,62	75,32
Q 2 2022	66,6330	10	100	4439,96	666,33	76,15
Q 3 2022	59,4308	11	121	3532,02	653,74	76,98
Q 4 2022	62,4246	12	144	3896,83	749,10	77,81
Q 1 2023	72,7738	13	169	5296,03	946,06	78,64
Q 2 2023	80,9800	14	196	6557,77	1133,72	79,47
Q 3 2023	94,0920	15	225	8853,30	1411,38	80,30
Q 4 2023	92,8232	16	256	8616,15	1485,17	81,13
Итого:	1198,42	136,00	1496,00	91172,02	10468,99	1198,42
Сред. знач.	74,90	8,50	93,50	5698,25	654,31	74,90

Вспомогательная таблица для расчёта параметров линейного тренда

Чаще всего в исследовании применяется линейная форма связи между двумя переменными вследствие наглядности и понятной экономической трактовки параметров уравнения [3]. Для расчёта параметров ли- нейного тренда a и b используем метод наименьших квадратов (формулы 3-5):

b = yt - y*^ t ² - ( t )

654,31 - 74,9*8,5

93,5 - 8,5²

= 0,83 (3)

a _ y - b * t _ 74,9 - 0,83*8,5 = 67,84 (4) y = 67,84 + 0,83 /          (5)

Таким образом, коэффициент регрессии b = 0,83 показывает, что в среднем курс доллара за период с 2020 по 2023 год увеличился на 0,83 рубля.

На основе таблицы 3 рассчитаем корреляцию. Корреляция – это статистическая мера, которая описывает степень взаимосвязи между двумя переменными. В эконометрике корреляцию рассчитывают для изучения связи между различными экономическими переменными. Она помогает определить, насколько сильно они связаны между собой [3]. Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда. Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на один, два и более периодов. Для ее расчёта воспользуемся формулами, представленными ниже (6-10).

E 16

y₂yt 1198,42 - 66,41

У 1 = —=-----------= 75,47 ⁽⁶⁾

n - 1           15

E 16

_ 110556 _ 73,70 (7) n - 1       15

Q t = 7 1 ² - ( t ) ² = ^3^ = 4,61 (8)

Q t = a/ y ^ - ( У ? = 7569825 - 749 2 = 9,39 (9)

_ 0,41 (10)

_ yt - 1 * y _ 654,31 - 8,5*74,9 r y‘ = Q t *Q y ”    4,61*9,39

Коэффициент корреляции показывает, что связь между параметром времени и курсом доллара слабая и прямая. Если во временном ряду выявлены тенденции и циклические колебания, то каждое значение последующего уровня ряда зависит от предыдущих [4].

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле 11:

D _ r ² *100% _ 0,41 ² *100% =16,8% (11)

Коэффициент детерминации показывает, что 16,8% изменений курса доллара объясняются уравнением тренда (фактором времени). Остальные 83,2% приходятся на прочие факторы, такие как пандемия, цены на нефть, геополитические и другие факторы.

Таблица 4

Вспомогательная таблица для расчёта показателя автокорреляции

Кварталы	Курс долл./руб. (у)	y t –1	( yt – y 1)	( yt –1 – y 2)	4*5	4*4	5*5
Q 1 2020	66,41	-	-	-	-	-	-
Q 2 2020	72,36	66,41	-3,11	-7,29	22,67	9,67	53,15
Q 3 2020	73,56	72,36	-1,91	-1,34	2,56	3,65	1,79
Q 4 2020	76,22	73,56	0,75	-0,14	-0,11	0,57	0,02
Q 1 2021	74,34	76,22	-1,13	2,52	-2,85	1,27	6,36
Q 2 2021	74,22	74,34	-1,25	0,64	-0,80	1,57	0,41
Q 3 2021	73,47	74,22	-2,00	0,52	-1,03	3,98	0,27
Q 4 2021	72,61	73,47	-2,86	-0,23	0,65	8,20	0,05
Q 1 2022	86,07	72,61	10,60	-1,09	-11,60	112,35	1,20
Q 2 2022	66,63	86,07	-8,84	12,37	-109,31	78,09	153,00
Q 3 2022	59,43	66,63	-16,04	-7,07	113,35	257,26	49,94
Q 4 2022	62,42	59,43	-13,05	-14,27	186,15	170,18	203,61
Q 1 2023	72,77	62,42	-2,70	-11,28	30,40	7,27	127,13
Q 2 2023	80,98	72,77	5,51	-0,93	-5,10	30,36	0,86
Q 3 2023	94,09	80,98	18,62	7,28	135,57	346,78	53,00
Q 4 2023	92,82	94,09	17,35	20,39	353,87	301,13	415,83
Итого:	1198,42	1105,59	-	-	714,41	1332,33	1066,63
Среднее:	74,90	73,71	-	-	-	-	-

Рассчитаем также ошибку аппроксимации, чтобы оценить относительное отклонение расчетных значений от фактических (формула 12).

A = 1 x ^{У У} ny_i

*100% =

= X *144,37 = 9,02%      (12)

Таким образом, модель найденного уравнения регрессии хорошо подобрана и точно обосновывает связь между фактором времени и курсом доллара, так как величина средней ошибки аппроксимации не превышает 10%.

Далее заполним вспомогательную таблицу 4 для расчёта коэффициента автокорреляции первого порядка.

Соответствующим образом можно определить коэффициенты автокорреляции на порядок выше. Так как коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции, то по нему можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции [4]. Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка смещен на одну единицу времени и определяется по формуле 15.

Для начала рассчитаем выборочные средние:

- X n y 1198,42

У1 =       = ie = n -1       15

ⁿ        1105,59

y 2 ^x- y- =     ,— = 73,71. (14)

n -1        15

Теперь определим коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

X n = ₂ ( y - y ) * ( У - - i - У 2 )

ной тенденции и коэффициента сезонности, необходимо рассчитать автокорреляцию уровней второго порядка по формуле 18, для чего сначала рассчитать выборочные средние по формулам 16-17.

_ X y .105965^0 (16)

,

• ³    n - 2      14

X ^ t = 1011,50 = 72,25 (17) y ⁴ = n - 2        ¹⁴

Теперь определим коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

r ₂

X n = ₃ ( У - - У 3 ) * ( У - - 2 ^- У 4 ) 7 X n = 3 ⁽ У - y 3 ^{) 2} * X n = 3 ⁽ У - 2 - y ^{4 ) 2}

- 1,89

= 1321,99*621,37 = -0,002  (18)

Исходя из того, что наиболее высокое значение оказалось у коэффициента автокорреляции первого порядка, исследуемый временной ряд содержит только тенденцию, а сезонность не явно выражена.

Рассчитаем прогнозное значение среднего курса доллара в рублях для 1, 2 и 3 кварталов 2024 года путем подстановки в уравнение линейного тренда значения t = 17, 18 и 19 соответственно:

-—'

У_пр = 67,84 + 0,83*17 = 81,95

y_np = 67,84 + 0,83*18 = 82,78

У_пр = 67,84 + 0,83*19 = 83,61   (19)

Однако, точный прогноз нереален, поэтому он дополняется расчетом интервальной оценки с учетом 95%-й доверительной вероятности (формула 20):

^y -t ^yu < y <^y +t *m (20)

ynp a     yt ynp     ynp a У где ta – критическое значение t-критерия Стъюдента при уровне значимости α и числе степеней свободы = n – 2

Вычислим стандартную ошибку прогноза по формуле 22. Она используется в эконометрике для оценки точности прогнозов, которые делаются на основе статистической модели [5]. Она позволяет понять насколько близко прогнозируемое значение к фактическому. Чем ниже стандартная ошибка, тем выше точность модели и прогнозов, которые она делает.

Для нначала рассчитаем S_ocm ² по формуле 21:

S 2 = 4 y -^y2 ) = 1174,61 = ocm n - 2         14

m 1 y_t

- ‘2)

= S ² (- + ^t

\ ocm \   S ( t - T )

ïð

)

83,9*( — + ⁽¹ 7 8 ) ) = ^10,56 16     64

m 2

yt

1 ( t л — t ² )

2 1 ïð

S ocm ^{(  +} _ /   _x 2

n  Д t — t )

—

)

83,9*( — + ⁽¹ 8 8 ) ) = ^11,68 16     64

m 3

yt

S ² ocm

( ^- + n

( tn - t 2) Д t—t )2

)

83,9*( — +

= 12,80

При t a = 0,05; df = 14 = 2,14.

Итак, прогноз на 1, 2 и 3 кварталы 2024 года будет выглядеть следующим образом:

1 квартал:

81,95 - 2,14*10,56 <  У_П р < 81,95+2,14*10,56

59,35 <  У „р < 104,55

2 квартал:

82,78 - 2,14*11,68 <  У „р < 82,78+2,14*11,68

57,78 <  У пр < 107,78

3 квартал:

83,61 - 2,14*12,80 <  ^y np < 83,61+2,14*12.80

56,22 <  У пр < 111,00        (23)

Таким образом, цель данного исследования достигнута и с доверительной вероятностью 0,95 можно утверждать, что средний курс доллара в рублях в 1 квартале 2024 года будет находиться в интервале от 59,35 руб. до 104,55 руб. за 1 доллар, во 2 квартале 2024 года в интервале от 57,78 до 107,78 руб. за 1 доллар, в 3 квартале 2024 года в интервале 56,22 до 111,00 руб. за 1 доллар.

Использование эконометрических методов для анализа и прогнозирования курса доллара позволило учесть влияние фактора времени и прочих факторов, а также визуально увидеть колебания курса доллара под влиянием экономических и геополитических событий, происходящих в мире. Анализ временного ряда курса доллара является актуальной и важной задачей для широкого круга участников финансовых рынков и экономики в целом.