Анизотропные тензорные функции и критерии предельности

Следуя работе [1], рассмотрим шестимерное пространство S = sym E ® E c T 2 = E ® E симметричных тензоров второго ранга. Здесь E - векторы 3-мерного евклидова векторного пространства E ³ .

В шестимерном пространстве S существует такой ортонормированный базис м(к) (к = 1,2,к,б), при котором любой симметричный тензор второго ранга а представим в виде а - У а, о(к) о(к) • о(1) - о)(к)^1) Л 0 k * l х.а            х.а            ,                                                                              , к=1                                         I1, k=1

где а _k e R - координаты симметричного тензора в данном тензорном базисе.

При этом

а к = а -о.

Помимо линейных операций сложения тензоров и умножения тензора на число введем операцию умножения двух тензоров в фиксированном базисе м^{( к} ) ( к = 1,2, к ,б ) .

Определение 1. Произведением двух симметричных тензоров второго ранга а и в в базисе Jк) (к = 1,2, к ,6) называется тензор ав e S, определяемый равенством ав = Еаквк j(к), к=1

где а _к, в _к - координаты тензоров а и в в базисе ю^{( к} ) ( к = 1,2, к ,б ) .

Дадим еще одно определение.

Определение 2. Директором ортонормированного базиса ю^{( к} ) ( к = 1,2, к ,б ) называется тензор ⁶

J Ум к).

к = 1

Базис м^{( к} ) ( к = 1,2, к ,6 ) инвариантен относительно преобразований симметрии векторного пространства E ³ .

В случае ортотропной симметрии ортонормированный базис

to(1)_

to ( 1 )	0		0			to ( 2 )	0	0
0	to 21 )		0	,	to( 2 ) =	0	to 2 2 )	0
0	0		to 31 )			0	0	to 3 2 )
	1	0	0	0		_ 1	00	1
to( 4 ) =		0	0	1	, to1 5 1		00	0	,
	2					2
		0	1	0			10	0

,

to(3)_

to(3)

to(23)

to33)

,

1 to( ) = —i=

.

Используя кватернионное представление числовых троек составляющих ортонормированный базис в пространстве R ³ [2], имеем

( _m i k ) , _ю 2 ^к ) , ™ 3 ^k ) ) ,

to(1)_

to(2)_

to(3) =

p 0 ⁺ p 1

2 p ₂

2 p ₃

^{2 (} p 1 p 2 - p 0 p 3 )

^{2 (} Г 0 p 2 ⁺ Г 1 p 3 )

^{2 (} p 0 p 3 ⁺ p 1 p 2 )

^{2 (} p 1 p 3 ^в p 0 p 2 )

p 0 ²

p 2 + p 2

p 3 ²

,

1 to⁽ ) = —p=

,

^{2 (} p 0 p 1 ⁺ p 2 p 3 )

w(5> = -1=

,

p 0 ²

p ₁ ²

p ₂ ²

⁺ p 3

,

1 to⁽ ) = —;=

.

При этом p 02 + p 2 + p 2 + p 3 = 1.

Ортотропия при объемной изотропии шаровым)

(один

из базисных

тензоров является

to(2 ) =

2V ¹ + q 2 + q 2

1 to⁽ ) = —

где q 2 3 = t ± 4 1 + t + t ²

ю(ч= 1

,

q ₂ 0

¹ “ q 2

, to(3) =

q ₃ 0

¹ “ q 3

,

,

to(5) =

,

»( 6 '= -L

,

.

Тетрагональная симметрия и трансверсальная изотропия

где q _1,2

to^{( 1 )} =

= t ±

1 to⁽ ) = _:

q ₁

, to

,

. ^{(2 )} =

to⁽ 5 ) =

q ₂

,

V 2 + t ² .

, to⁽ ) = -/=

to⁶'= 4

,

,

Кубическая симметрия to(il=4

1 to⁽ ) = —;=

,

1 to⁽ ) = —^

,

1 to⁽ ) = —^

,

,

to^{s 5} =2=

,

1 to⁽ ) = —;=

.

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что полученные базисы являются ортонормированными.

Можно также убедиться, что при соответствующих преобразованиях симметрии пространства E ³ произведение тензоров не меняется, а скалярное произведение а -р -это скалярное произведение тензора ар с директором тензорного базиса, то есть:

а -р = ( ар ) -to .

Определение 3. Анизотропным тензорным пространством S ^~ называется тензорное пространство S, в котором введена операция умножения двух тензоров в фиксированном тензорном базисе.

В пространстве S выполняются аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей и делителями нуля:

• 1.    а + р = р + а ;

• 2.    ( а + р ) + 5 = а + ( р + 5 ) ;

• 3.    3 0 : а + 0 = а ;

• 4.    V ае S 3 ( -а ) : а + ( -а ) = 0;

• 5.    ар = ра ;

• 6.    ( ар ) 5 = а ( р5 ) ;

• 7.    ( а + р ) 5 = а5 + р5 ;

• 8.    аto = а .

• 9.    Vае S > ( п *^ = 1 а k * о) за^{- 1}: аа^{- 1} =to ;

• 10.    ^а' ар    ( П k = 1 р к * 0).

Кроме того, для элементов, не являющихся делителями нуля:

Директор базиса – это тензорная единица пространства S , а в силу принятых аксиом в этом пространстве можно выполнять алгебраические, функциональные, дифференциальные и интегральные операции.

Легко проверяются алгебраические тождества

(а + в)2 = а2 + 2ав + в2; а-1 - (а + го)-1 = а-1 (а + го)"1, Пк=1ак * 0, а * -го.

В тензорном пространстве S может быть введена метрика, при этом расстояние между двумя точками (элементами) пространства определим формулой

р ( а' , а" ) = V а'-а" , а также может быть введен угол разориентации между двумя тензорами а' и а'' соотношением

а' - а''

.

ф = arccos—;=      ,—----

Vа' - а'л/а" - а''

Аналогичным образом может быть определено анизотропное пространство 7 4 = S ~ ® ,~ тензоров четвертого ранга, симметричных по первым двум и последним двум индексам и парам крайних индексов. Базисом данного пространства, инвариантным относительно преобразований симметрии векторного пространства E ³ , является система го^{( к} ) ® го^{( к} ) ( к = 1,2, к ,6 ) , а тензорной единицей - тензор 66

I = ^ ^го( ) ® ^го( ) Или I_ljmn = £ ^го ij W m J .

= 1                                          = 1

При этом

ю( k) ® ю( k) - w( 1) ® го( 1)=го j готго j цn =

0,

1,

к * l к = l

.

Анизотропные тензор-функции тензорного аргумента

~

~

Областью D с S анизотропного тензорного пространства S назовем ⁶

множество тензоров а = ^ а _к го^{( к} ) , а _к е М_к с R .

к = 1

Будем говорить, что в области D пространства S ^~ задана анизотропная тензор-функция f ( а ) соответствующей симметрии, если указан закон, по которому каждому тензору а из D ставится в соответствие тензор f ( а ) е S . В базисе го^{( к} ) ( к = 1,2,...,б ) этот закон может быть представлен в виде

f(а) = ^Фк(«1,а2,к,а6)го(к) , фк(а,а2,к,а6) = f(а) -го(к), к=1

где ф _к ( а 1 , а ₂, к , а 6 ) - скалярные функции, определенные при а _к е М_к .

Введем в рассмотрение элементарные анизотропные тензор-функции тензорного аргумента, как обобщение обычных элементарных функций, равенствами:

• 1.    Степенная функция

• 2.    Логарифмическая функция

• 3.    Основная показательная функция

• 4.    Тригонометрические функции

а p = ^ а ^Рр го^{( к} ) , p е R .

к = 1

In a = ^ In a _k m^{( k} ) .

k = 1

e ^a = £ e ^{a k} m ' ^k ) .

k = 1

• ( k )                                        ( k )

• 5.    Полином

• 6.    Рациональная функция

sin a = ^ sin a _k m ' ^k ) ,    cos a = ^ cos a _k m^{( k} ) .

k = 1                                  k = 1

Pn (a) = ^ Pn (ak )m(k), n - целая степень тензорного полинома, Pn (ak) - k=1

полиномы над полем вещественных чисел.

P ^(a) V¹ Pn ^(ak ) n =     « k m     n , m — целые степени тензорных полиномов.

Qm (a) Й Qm (a k)                              P

Данная функция не определена для значений a _k , являющихся корнями уравнений Q m ( a k ) = 0.

Нетрудно убедиться, что для введенных элементарных анизотропных тензор-функций выполняются аналогичные обычным элементарным функциям свойства n In a = In an,       In e a=a, eaep = ea+p,      sin2 a + cos2 a = w.

Аналогично определяется анизотропная тензорная функция тензорного аргумента в пространстве T ^~ ₄ ,

f(a) = ^Tk(ai,a2,...,a6)m(k)®ro(k) , фk(ai,a2,k,a6) = f(a) -to(k)®ro(k), k=1

~~

a e T4, f (a)e T4.

Критерии предельности

Воспользуемся предложенным математическим аппаратом для получения феноменологических критериев предельности некоторых анизотропных материалов.

Рассматривая пространство напряжений S , элементами которого являются тензоры напряжения в данной точке анизотропного тела ( о e S с S ), предельную поверхность представим равенством

f(о) -ю = 1.

Для ортоторопных материалов, представляя, в частности, функцию f ( о ) тензорным полиномом второй степени

f (о) = ao2 + во

( a = ^ a k m^{( k} ) , P = ^ P k to^{( k} ) , о = ^ о k to^{( k} ) , о ² = ^ о k m^{( k} ) ) k = 1                      k = 1                   k = 1                      k = 1

и совмещая векторы базиса пространства E ³ с главными осями анизотропии, имеем

a1o12 +a 2о 2 +a 3о2 +a 4 о 4 +a 5 о2 +a 6 о 2 ++ Р.1о1 +в 2 о 2 +в зо 3 +в 4 о 4 +в5о 5 +Р 6 о 6 = 1.

В предположении, что предельное состояние инвариантно к смене заданного направления сдвига на противоположное, имеем

• a, a, + a 2 a 2 + a 3 a 3 + a 4 a 4 + a 5 a 5 + a 6 a 6 + 3^ +p 2 a 2 +P 3 a 3 = 1 -

• Данное феноменологическое уравнение предельной поверхности содержит девять размерных материальных констант и три безразмерных параметра, определяющих вид базисных тензоров ю(k) (k = 1,2,3) анизотропного тензорного пространства. При дополнительных гипотезах физического характера число параметров, подлежащих экспериментальному определению, может быть уменьшено.

Для пространственно-армированного композита кубической симметрии, направления армирования которого совпадают с осями симметрии третьего и четвертого порядка куба в E ³ , с учетом возможного разрушения по разным физическим механизмам (разрыв армирующих волокон при растяжении и потеря их устойчивости при сжатии) приходим, в простейшем случае, к четырехконстантной поверхности прочности в шестимерном пространстве напряжений

a1a2 +a 2 a 2 +a 3 a| +a 4 a 4 +a 5a2 +a 6 a 2 + P1a1 = 1, a 2 =a 3 a 4 =a 5 =a 6,ax = a • ®(1) = —U(an + a22 + a33), a2 = a • w(2) = —J=(an + a22 - 2a33),

1                   3     11     22     33        2                    6     11     22       33

a3 = a • mi;) = ' (a|| -a22), a4 = a^ro(4) = V2a23, a5 = a^ro(5) = V2a31, 2

a 6 = a^ro(6) = V2a12.

Физический смысл материальных констант этого уравнения становится ясным, если рассмотреть четыре независимых напряженных состояния:

1)    an = a 22 = a 33 = d +, a 23 = a31 = a12 = 0; 2)    an = a 22 =a33 =- d _, a 23 =a 31 = a12 = 0; 3)    an = -a22 = T1, a33 = a23 = a31 = a12 = 0; 4)    a23 = т2, an = a22 = a33 = a31 = a12 = 0, где p + и p- - предельные напряжения всестороннего растяжения и сжатия; т1 и т2 -предельные напряжения простого сдвига в плоскости, проходящей через оси симметрии второго и четвертого порядка, в направлениях осей второго и четвертого порядка соответственно.

Подстановка этих соотношений в уравнение поверхности прочности дает 3a1 p + + V3p1 p + = 1; 3a1 p- - V3P1 p- = 1; 2a2т2 = 1; 2a4т2 = 1, откуда

• 1           p_ - p₊           1          1

• ^a 1 = ч----; P 1 =^ —; ^a 2 = ту;^a 4 = yr-

• 3 p+p -       V3 p+p -        2т2       2т2

При независимости предельного состояния от шаровой части тензора напряжений при условии т ₁ = т ₂ = т , переходя к пятимерному пространству чистых сдвигов [3], получаем простейшую поверхность прочности изотропного материала в виде уравнения сферы в пятимерном пространстве

a 2 + a2 + a 4 + a 2 + a 6 = 2 т2, что соответствует широко применяемой энергетической теории прочности или условию текучести Губера–Мизеса–Генки математической теории пластичности.