Аннуляторы и комплексы

Напомним необходимые определения.

Идеалом I в кольце А называется аддитивная подгруппа со свойством

A-1 с i, то есть а • х Е /, для любых а ЕА и любого xeI

Например <0>,<1> являются тривиальными идеалами.

Для любого аЕА ={ax, x£A}- главный идеал порожденного элемента.

Делителем нуля в кольце А называется всякий элемент x, для которого существует у^0 в А, такой что xy=0.

Пара (М,р), где М-абелева группа,/!- отображение АхМ>М называется А модулем, если выполняются следующие аксиомы, в которых вместо p (a,x)(a Е A, х Е M) пишем ax:

• 1.    a(x+y)=ax+ay, Vx,yЕ M;

• 2.    (a+b)x=ax+bx, V a,b Е A,V х Е M;

• 3.    (ab)x=a(bx), V х Е M,V a,b Е A;

• 4.    1x x, где 1- единица А.

Пусть М, N - некоторые А-модули. Отображение f:M ^ N называется гомоморфизмом А-модулей, если

1.    f(x + у) = f(x)+f(y), 2.    f(ax) = af(x) 3.    f(1) = 1,х Е M.

Теорема о гомоморфизм А-модулей: Если отображение f: M ^ N является гомоморфизмом А-модулей следует, что Im / = М(^ev f Imf = ^

Свободным А-модулем Аn называется любая прямая сумма модулей, изоморфных А.

Последовательность А-модулей и гомоморфизм А-модулей

^ ^М к-1 —> М_к ^— М _к+1 —>                 (*)

называется комплексом, если произведение d k • d k-1 = 0, для любых к. Таким образом Imd _k-1 С Kerd _k .В этом случае отображение d k называется дифференциалом комплекса.

Если Imdk=Kerdk, то (*) называется точной последовательностью

Аннулятором модуля М над А называется множество ann(M)={aeA: a^M=0}, который является идеалом.

Делителем нуля в кольце А называется всякий элемент x, для которого существует yA0 в А, такой что xyA0.

Предложение 1: Если выполняются следующие условия

(y) с апп(х') (x)Cann(y), то последовательность (**) является комплексом.

Предложение 2: Комплекс (**) является точной последовательностью, если

• 1)    ann(x)=(y)

• 2)    ann(y)=(x).

Пусть А - векторное пространство над k. Если А также является кольцом, то А называется k-алгеброй. Если dimkA< ю, то такая алгебра А называется конечномерной k-алгеброй.

Теорема (см 3.6 Бурбаки Н. «Гомологическая алгебра», Наука 1987г)

Для заданных элементов а1,а2,..,апеА последовательность гомоморфизмов А- модулей d„              dn-л                     d7          di

0 -лп (лп) —>лп-1 (лп) —1л/г-2 (лп) - - -2л1 (лп) -л° (лп) - о является комплексом, который называется комплексом Козюля.

Теорема : (см 3.6 Бурбаки Н. «Гомологическая алгебра», Наука 1987г) Пусть M-m-мерное гладкое многообразие и А=С”(М)- ^.-алгебра гладких функций на М, тогда последовательность d          d          d7               d            d               d

0 - Н°(М) -n1(M) ->H2(M) -> .„ - HS(M) -HS+1(M) —>Hm-1(M)--->

—^^m(M) - о является комплексом А-модулей, который называется комплексом де Рама.