Аппроксимация сопряжения кривых Безье с сохранением порядка гладкости и дополнительными ограничениями

Кривые Безье являются обязательной составляющей геометрического ядра современных систем автоматизированного проектирования (CAD - Computer-Aided Design). В статье предлагается математический подход, позволяющий выполнить аппроксимацию сопряжения (соединения) кривых Безье произвольной степени таким образом, чтобы в точке сопряжения выполнялись условия гладкости (непрерывности) до порядка, равного степени заданных Безье кривых. Данный подход позволяет представить сопряженные кривые одной кривой Безье со степенью, равной степеням заданных кривых. На сопряженные кривые и аппроксимирующую кривую могут быть наложены дополнительные ограничения в виде полного совпадения с одной из заданных кривых или прохождения аппроксимирующей кривой через заданную точку и равенства производных заданным значениям в этой точке. Для решения указанных задач вводятся две различные метрики разности между заданными кривыми и аппроксимирующей кривой, формулируются оптимизационные задачи с ограничениями в виде равенств, для решения которых применяется метод множителей Лагранжа, который сводится к решению соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Для представления кривых Безье предлагается использовать базисные функции В-сплайнов, что позволяет пользоваться программными функциями входящих в геометрическое ядро современных CAD-систем. Это существенно упрощает получение производных всех степеней для кривых и без существенных изменений в последующем позволит распространить результаты на задачи сопряжения B-сплайнов. Приводятся примеры аппроксимаций с использованием различных метрик и с учетом ограничений.