Аппроксимация значений коэффициентов опор балки при колебаниях и потери устойчивости
Автор: Кудрявцев И.В., Рабецкая О.И., Митяев А.Е.
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau
Рубрика: Авиационная и ракетно-космическая техника
Статья в выпуске: 3 т.23, 2022 года.
Бесплатный доступ
Рассмотрена проблема расчета первой собственной частоты колебаний и первой критической силы для балки с упругими опорами. Аналитический обзор литературы по решению таких задач показал, что в теории колебаний и теории устойчивости стержней учет условий закрепления основан на использовании коэффициентов опор, значения которых были получены после решения соответствующего дифференциального уравнения. В рассмотренной литературе содержится только ограниченный набор значений этих коэффициентов, в основном для идеальных опор простых типов: шарниры, заделка и др. Учет жесткости опор можно найти только в отдельных изданиях и только для ограниченного числа вариантов значений. В данной работе выполнен расчет коэффициентов опор в зависимости от жесткости закрепления балки для первой собственной частоты колебаний и первой критической силы. Полученные значения были разделены на три зоны жесткостей и аппроксимированы внутри каждой зоны квадратичными функциями. Использование квадратичной аппроксимации позволило получить простые аналитические зависимости, пригодные для инженерных прикладных расчетов, а разбиение жесткости на зоны обеспечило приемлемую погрешность получаемых значений. Также квадратичные зависимости позволили решать обратные задачи по определению жесткостей опор для заданного значения первой собственной частоты колебаний или первой критической силы. Проведено подробное исследование погрешности полученных аппроксимирующих функций по всему рассмотренному диапазону жесткостей, которое показало, что погрешность определения коэффициента опор при колебаниях составляет не более 2 %, а при потере устойчивости - 6 %. Погрешность зависит от сочетания жесткостей опор и может увеличиться, если жесткости различаются более чем на порядок. Также была установлена высокая чувствительность решения обратной задачи к входным данным, что является следствием высокой нелинейности зависимости коэффициентов опор от жесткости. Полученные результаты можно использовать при инженерных расчетах первой собственной частоты колебаний и первой критической силы балки с упругими опорами.
Балка, колебания, устойчивость, коэффициент опор, жесткость опор, аппроксимация
Короткий адрес: https://sciup.org/148325782
IDR: 148325782 | УДК: 534.11 | DOI: 10.31772/2712-8970-2022-23-3-461-474
Approximation of beam support coefficient values at vibrations and buckling
The problem of calculating the first natural frequency of vibration and the first critical force for a beam with elastic supports is considered. An analytical review of the literature on solving such problems showed that in the theory of vibrations and the theory of stability of beams, consideration of the support conditions is based on the use of support coefficients, the values of which were obtained after solving the corresponding differential equation. The reviewed literature contains only a limited set of values of these coefficients, mainly for ideal supports of simple types: hinges, fixed, etc. Consideration of the stiffness of supports can only be found in individual editions and only for a limited number of values. In this work, the calculation of the support coefficients depending on the stiffness of the beam supports for the first natural frequency of vibrations and the first critical force is made. The obtained values were divided into three zones and approximated within each zone by quadratic functions. The use of quadratic approximation made it possible to obtain simple analytical dependencies suitable for engineering applied calculations, and the division of stiffness into zones provided an acceptable error of the obtained values. Also, quadratic dependencies made it possible to solve inverse problems for determining the stiffness of supports for a given value of the first natural frequency of vibrations or the first critical force. A detailed study of the error of the obtained approximating functions over the entire considered range of stiffness was carried out, which showed that the error in determining the coefficient of supports during fluctuations is not more than 2%, and in case of loss of stability - 6%. The error depends on the combination of stiffness of the supports, and can increase if the stiffnesses differ by more than an order of magnitude. The high sensitivity of the solution of the inverse problem to the input data was also established, which is the result of the high nonlinearity of the dependence of the coefficients of the supports on the stiffness. The obtained results can be used in engineering calculations of the first natural frequency of vibrations and the first critical force of a beam with elastic supports.
Список литературы Аппроксимация значений коэффициентов опор балки при колебаниях и потери устойчивости
- Некоторые аспекты моделирования динамики трансформируемых космических конструкций / Ц. Джан, В. Н. Зимин, А. В. Крылов, С. А. Чурилин // Сибирский журнал науки и технологий. 2019. Т. 20, № 1. С. 68-73. DOI: 10.31772/2587-6066-2019-20-1-68-73.
- Кудрявцев И. В. Обеспечение динамического состояния прямолинейных волноводных трактов при нагреве с помощью расстановки опор // Вестник Московского авиационного института. 2021. Т. 28, № 4. С. 92-105. DOI: 10.34759/vst-2021-4-92-105.
- Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 591 с.
- Ильин М. М., Колесников К. С., Саратов Ю. С. Теория колебаний. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. 272 с.
- Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.
- Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.
- Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991. 256 с.
- Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теории колебаний. СПб.: Лань, 2003. 254 с.
- Доев В. С. Поперечные колебания балок. М.: КНОРУС, 2016. 412 с.
- Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.
- Клаф В. К. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.
- Balachandran B. Vibrations. Toronto: Cengage Learning, 2009. 737 p.
- Benaroya H., Nagurka M., Han S. Mechanical vibration. London: CRC Press, 2017. 602 p.
- Bottega W. J. Engineering vibrations. New York: CRC Press, 2006. 750 p.
- Clough R. E. Dynamics of Structures. New York: McGraw-Hill College, 1995. 752 p.
- Geradin M., Rixen D. J. Mechanical vibrations. London: John Wiley & Sons, 2015. 617 p.
- Hagedorn P. Vibrations and waves in continuous mechanical systems. New Jersey: John Wiley & Sons, 2007. 388 p.
- Inman D. J. Engineering vibration, Pearson Education: NJ, 2014. 720 p.
- Kelly S. G. Advanced vibration analysis. New York: CRC Press, 2007. 650 p.
- Jazar R. N. Advanced vibrations. A modern approach. Springer: NY, 2013. 695 p.
- Kelly S. G. Mechanical vibrations. Theory and applications. Cengage Learning: NY, 2012. 896 p.
- Leissa A. W. Vibration of continuous systems, McGraw-Hill: New York, 2011. 524 p.
- Meirovitch L. Fundamentals of vibrations. McGraw-Hill,Book Co: New York, 2001. 826 p.
- Rades M. Mechanical vibrations II. Structural dynamic modeling. Printech Publisher: Turin, 2010.354 p.
- Rao S. Mechanical vibrations. Pearson Education Limited: London, 2018. 1295 p.
- Shabana A. S. Theory of vibration. Springer-Verlag: New York, 2019. 382 p.
- Hibbeler R. C. Free vibration of a beam supported by unsymmetrical spring-hinges. J. Appl. Mech, 1975. Vol. 42(2), P. 501-502. DOI: 10.1115/1.3423612.
- Алфутов Н. А., Колесников К. С. Устойчивость движения и равновесия. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. 256 с.
- Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 807 с.
- Farshad M., Stability of Structures. Elsevier Science B.V. Amsterdam, 1994. 434 p.
- Ziemian R. D., Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. John Wiley & Sons: NY, 2010. 1117 p.
- Timoshenko S. P., Gere J. M., Theory of Elastic Stability. Dover Publications: New York, 2009. 560 p.
- Jerath. S., Structural Stability Theory and Practice: Buckling of Columns, Beams, Plates, and Shells. John Wiley & Sons: Chichester, 2020. 672 p.
- Thomsen J. J. Vibrations and stability. New York, 2003. 420 p. 404 p.
- Yoo C. H. Stability of structures. Elsevier: London, 2011. 529p.
- Биргер И. А., Пановко Я. Г. Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3. М.: Машиностроение, 1988. 567 с.
- Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.
- Коренев Б. Г. Справочник по динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1972. 511 с.
- Уманский А. А. Справочник проектировщика. Т. 2. М.: Стройиздат, 1973. 415 с.
- Wang C. M. Exact solutions for buckling of structural members. CRC Press: New York, 2005. 212 p.
- Blevins R. D. Formulas for dynamics, acoustics and vibration. John Wiley & Sons, Ltd: Chich-ester, 2016. 458 p.
- Lin Y. K. Free vibration of a continuous beam on elastic supports. International Journal of Mechanical Sciences. 1962. Vol. 4. P. 409-423.
- Lin H., Chang S. C. Free vibration analysis of multi-span beams with intermediate flexible constraints. Journal of Sound and Vibration. 2005. Vol. 281(1-2). P. 155-169. DOI: 10.1016/j.jsv.2004.01.010.
- Luo J., Zhu S., Zhai W. Exact closed-form solution for free vibration of Euler-Bernoulli and Timoshenko beams with intermediate elastic supports. International Journal of Mechanical Sciences. 2022. Vol. 213. Р. 106842. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2021.106842.
- Free vibrations of Bernoulli-Euler beams with intermediate elastic support / M. J. Maurizi, D. V. Bambill, P. M. Belles et al. // Journal of Sound and Vibration. 2005. Vol. 281(3-5). P. 12381239. DOI: 10.1016/j.jsv.2004.06.014.
- Hibbeler R. C. Erratum: "Free Vibration of a Beam Supported by Unsymmetrical Spring Hinges" (Journal of Applied Mechanics, 1975, 42, pp. 501-502)". ASME // J. Appl. Mech. 1981. Vol. 48(2). P. 449. DOI: 10.1115/1.3157647.
- Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: URSS, 2014. 352 с.
- Дрейпер Н.? Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Вильямс, 2016. 912 с.
