Аппроксимация значений коэффициентов опор балки при колебаниях и потери устойчивости

Рассмотрена проблема расчета первой собственной частоты колебаний и первой критической силы для балки с упругими опорами. Аналитический обзор литературы по решению таких задач показал, что в теории колебаний и теории устойчивости стержней учет условий закрепления основан на использовании коэффициентов опор, значения которых были получены после решения соответствующего дифференциального уравнения. В рассмотренной литературе содержится только ограниченный набор значений этих коэффициентов, в основном для идеальных опор простых типов: шарниры, заделка и др. Учет жесткости опор можно найти только в отдельных изданиях и только для ограниченного числа вариантов значений. В данной работе выполнен расчет коэффициентов опор в зависимости от жесткости закрепления балки для первой собственной частоты колебаний и первой критической силы. Полученные значения были разделены на три зоны жесткостей и аппроксимированы внутри каждой зоны квадратичными функциями. Использование квадратичной аппроксимации позволило получить простые аналитические зависимости, пригодные для инженерных прикладных расчетов, а разбиение жесткости на зоны обеспечило приемлемую погрешность получаемых значений. Также квадратичные зависимости позволили решать обратные задачи по определению жесткостей опор для заданного значения первой собственной частоты колебаний или первой критической силы. Проведено подробное исследование погрешности полученных аппроксимирующих функций по всему рассмотренному диапазону жесткостей, которое показало, что погрешность определения коэффициента опор при колебаниях составляет не более 2 %, а при потере устойчивости - 6 %. Погрешность зависит от сочетания жесткостей опор и может увеличиться, если жесткости различаются более чем на порядок. Также была установлена высокая чувствительность решения обратной задачи к входным данным, что является следствием высокой нелинейности зависимости коэффициентов опор от жесткости. Полученные результаты можно использовать при инженерных расчетах первой собственной частоты колебаний и первой критической силы балки с упругими опорами.