Аппроксимативные свойства полиномиальных систем Чебышёва из синк-функций

Предметом рассмотрения в настоящей статье являются аппроксимативные свойства синк-приближений, используемые в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона. Дается общее представление об истории изучения проблемы синк-аппроксимаций в исследовательской литературе. Подробно рассматриваются аппроксимативные свойств полиноминальных систем Чёбышева из синк-функций.

Предметом исследования в настоящей работе являются аппроксимативные свойства синк-приближений, используемые в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона. Необходимости развития теории кодирования сигналов обусловила формлировку Э.Борелем и Е.Т.Уитткером понятия кардинальной функции, сужение с оси на отрезок [0, π] описывается следующим уравнением:

T \ _ V_П sin(nx-kTi) _f (ктЛ _ _vn (-1)^к sinnx г (ктЛ ,. _п L _n ⁽ r,x)-L k=₀ п к. T⁽-)-L k=° п к. Т(-). (1.1)

Значимость изучения синк-приближений определяется широтой их практического применения, которое осуществляется при построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной так и нескольких переменных [6], [7], [8] в теории квадратурных формул [3], теории вейвлет-преобразований или всплесков [1], [2], [4].

Предваряя обзор результатов проведенного исследования, необходимо обратиться к истории изучения проблемы синк-аппроксимаций, которой посвящен значительный корпус научных текстов.

Ряд исследований посвящен проблеме модификации синк-приближений (1.1), которые позволяют осуществлять приближение произвольные равномерных непрерывных функций, ограниченных на оси.

На сегодняшний день с достаточной полнотой исследованы свойства синк-аппроксимаций аналитической на действительной оси функции, экспоненциально убывающей на бесконечности. История изучения этого вопроса отражена преимущественно в зарубежной исследовательской литературе. В частности, работа [3] содержит обзор результатов научных исследований по этому направлению, полученных до 1993 года, а также рассматривает значимые приложения синк-аппроксимаций. Исторический обзор научного изучения этой проблемы содержит также [5].

Результаты исследований [11], [12] убедительно доказывают возникновение явления Уилбрейама-Гиббса при использовании классических синк-аппроксимаций (1.1) вблизи концов отрезка [0, п].

До публикации исследований [13], [14], [15], [16], [17], [12] приближение данными операторами на отрезке или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [3], (18] путем сведения к случаю оси с помощью конформного отображения. Результатом работы [17] является оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0, п], функций линейными комбинациями синков.

Результаты исследований [19] показывают, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1.1) возможно появление „резонанса", приводящего к неограниченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0, π), а также выявляется отсутствие равносходимости значений операторов (1.1) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.

В работах [20], [21] и [22] рассматриваются различные варианты модификации синк-приближений (1.1), которые дают возможность приближать произвольные непрерывные функции на отрезке [0, п]. Исследование [21], посвященное проблеме полноты системы синков (1.1) в пространствах С[0, л] и С0[0, л] = {/:/'£ С[0, л],/(0) = /(л) = 0} приводит к выводу о тщетности попыток построения оператора в виде линейных комбинаций синков, допускающий возможность равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции на отрезке. Также в названных исследованиях [21], [22] обосновываются новые необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1.1) и некоторых их модификаций на всём отрезке [0, п].

Работа [23] рассматривает аппроксимативные свойства операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. Предлагаемые в данной работе операторы, предложенные представляют собой обобщение классических синк-приближений (1.1). Исследование [24] содержит ряд приложений результатов работы [23] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов Якоби Р“^п’^^п с параметрами, зависящими от n.

Работа Крамера [25] положила начало изучению аналогов теорем отсчётов для операторов интерполяции Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [26].

В тесной связи с синк-приближениями находятся интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. В работе Г.И. Натансона [27] был получен признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, п) -равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, π), процессов Лагранжа- Штурма-Лиувилля.

Исследования [28], [29], [30] выявили возможность сильного изменения аппроксимативных свойств процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля при сколь угодно малом изменении параметров задачи Штурма-Лиувилля (потенциала q, или констант h, H). В работе [31] доказывается существование непрерывной на [0, π] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-Штурма-Лиувилля которой неограниченно расходится почти всюду на [0, п].

Настоящее исследование посвящено проблеме аппроксимативных свойств полиноминальных систем Чебышева из синк-функций, на наш взгляд, недостаточно разработанной в современной литературе.

Пусть /ЕС [0, л] и последовательности положительных чисел ?п и гп удовлетворяют соотношениям

Y n = 0(1),

lim  I" „ = го;  En=1expi--Д^т-1}.(2Л)

'""(/^        ”

(В случае f = const считаем yn = 0,  cn = —). Например, в качестве ?n можно взять lw (f, - ), тогда en= — exp - < , 1>.

^ v n) n e-

Для любого натурального я и хе [0, тт] обозначим через p, m i , m 2 такие целые числа, что

”1 = [22] +1,  .   [Ь],   ^<х<^(2.2)

где числа k 1 и k 2 определяются из неравенств:

т(к-а)<х- £„ < Д ^ <х + £„ < т^И) я               я      яя следующим образом к1 = max(0, к2), к2 = тт(я — 1, к2).(2.3)

Если не оговорено иное, будем пользоваться обозначением х_кп =

/СТТ      т          л              — нт

—, к = 0,1, „.я, я е N. п

Теорема 2.1. Если функция f непрерывна на отрезке [0, π], то для всех x е[0, п], имеют место следующие сношения lim I /(х) — п^м

lim [ /(х) — п^м 1 lim | /(х) — П^м 1 1п-1                  \ Ьп(/,х) — -^ (/(хк+1,п))/к,п(х) ) = 0,             (2.4) 2=0                  / ^п(/,х) — |^ (/(хк-1,п))/к,п(х)] = 0,             (2.5) 2=i п-1

^х к+1,п )    ^2/(х к,п ) ^+/(х к-1,п )) ^ к,п ^(х))     0,    ^(2.6)

^п(у,х)   4 ^ (/(-

2=1

где

(—1)^к sinях ^{1 кд (х)} =  ях — кт .

Сходимость в (2.4), (2.5), (2.6) поточечная на отрезке [0, π] и равномерная внутри интервала(0, π), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.

Доказательство. Справедливость равенства (2.4) установлена в ([14, Теорема 2] и [15, Теорема 6]). Для доказательства соотношения (2.5), рассмотрим функцию

5 ⁽ z) = f ⁽ n — z).

(2.7)

В силу (2.4)

lim {g ⁽ -)- У g(—)

n^m 1              Tn /

3=0

lj,n (-)

—

ЗМ^-дйН..

Сделаем замену переменной z= π – x

nm {д(я - x) - У g I;?) li.n(™ - x) - |y (g f-1-—)- g (tt)) V™ - x)}

— 0.

В силу чётности функции s¹^ , получаем

nim{f(x) - у f (?- Э     x ■- IZ(f (?- (^^n1?)- f (”  ;T:) in-3,n(x)}—°-

Отсюда следует (2.5), так как

/кпл lim !f(x) - У f (—) 1кд(х)

n^m            T k=0

Здесь сходимость такая же как и в (2.4), то есть поточечная на отрезке [0,

π] и равномерная внутри интервала (0, π). Сложим (2.4) и (2.5) и разделим пополам.

-

^2f(x k,n ) + ^{f (x} k-i,n ))

~                   ^k,n ^(x)

1 V f (xk+i,n lim f (x) - Ln(f,x) - - У -------- n^m                 2

k=i

^((f(x i,n ) ^f(x 0,n )) ^ 0,n ^{(x) + (f(x} n-1,n )    ^f(x n,n )) ^ n,n ^(x))) — ⁰¹

Так как

|(f(X1,n)   f(X0,n)) ^0,n(x)| + |(f(xn,n)) ^n,n(x)| — 2<^(f, и), то равномерно внутри (0, π) справедливо (2.6).

Теорема 2.1 доказана.

Справедлив также «локальный» вариант теоремы 2.1:

Теорема 2.2 Пусть функция f непрерывна [0, π], и последовательности положительных чисел у_п и г_п удовлетворяют соотношениям (2.1). Для всех х е [о, я] справедливы соотношения

lim ( /(х) — П^М 1 lim I /(х) — П^М 1 lim | /(х) — П^м 1 где номера k1 и к2                                        \ ^П(/,х)   ~ '  (/(хк+1,п)   /(хк,п)) ^к,п(х) 1 = о,             (2.8) к=к1 к2                                    \ ^п(/,х)   ~ '  (/(хк-1,п)   /(хк,п)) ^к,п(х) 1 = о,             (2.9) к=к1                               у к2                                       \ ^п(/, х)  ~ ' (/(хк-1,п) + /"С^к-^п^^клОО 1 = о,          (2.10) 4 к=к1 к2 определяются с помощью неравенств (2.3). Если к1 < к2, то суммы в (2.8), (2.9), (2.1о)отсутствуют. Сходимость в (2.8), (2.9), (2.10) поточечная на отрезке [0, π] и равномерная на интервале (0, π), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.

Доказательство. Поточечная сходимость в (2.8) на отрезке [0, π]и равномерная внутри интервала (0, π) установлена в [15]. Учитывая (2.5), (2.6) после замены z= π - x, аналогично устанавливаем справедливость (2.9) и (2.10).

Теорема 2.2 доказана.

Для функций из пространства С_о[о,я] результаты теорем 2.1 и 2.2 могут быть усилены.

Теорема 2.3 Пусть функция / е С_о[о,я], то есть непрерывна на отрезке [0, п], и /(о) = /(я) = о. Положим, /(х) = о для любого х е R \ [о, т] , числа k i и k 2 будем определять с помощью соотношений (2.3). Тогда сходимость в формулах (2.4), (2.5), (2.6), (2.8), (2.9), (2.10) равномерны по хе [о, я] .

Доказательство. Сделаем замену независимой переменной t = ^-^х = 2t — л. И рассмотрим новую функцию

f(t) = {^;^

при te [^лт], при te^).

Из непрерывности функции f и того, что f(o) = f(n) = о, следует признать принадлежность f пространству С_о[о, п] и t e [ П , п]

п                          п х (—1)ksinих V - Л ^п(Ах) = / f(xk,J          = / fl

■ х_{к л} + л\ (-1)^k sin и(2" — л)

²      И^2" —л

— ^Л)

И

:ЁД ⁽ ^^? ^л )

к=о

(—1)к+п sin2Иt

И (21

-

(и + к)л \

И /

2п

/тл\ (—i)m sin 2иt '

т=п          ^2,1 у"

_ тл ^ 2И )

2п

= ^ ’ ^{f (} " т,2п ) т=о

(—1)mSin2Иt         .

= Mf.t).

^2И( "   " т,2п )

воспользуемся утверждением теоремы 2.1

п-1

lim max п^“ хе[о,2)

№ ^— ^ 2п (Л ") ^— |^ ( ^f(z k+i,n ) ^{— f(} ^ k,n )) 1 к,п ⁽ Х)

2п-1

= jlim  max ri ^{|f(t) —} ^ 2n ^(f , ") ^— “ ^  ^(f(t m+1,2n ^{) — f(t} m,2n ⁾⁾ ^ т,2п ⁽ ")| = ^о.

^te[ 2,T^] ।                       т=о                                     I

Аналогично, или с помощью замены z = п — x, устанавливается справедливость соотношения lim max п-" xe [^]

f(x)

—

L n (f,х)

—

-

^ ⁽ У^{? (х} к+1,п ^{)   f (х} к,п )) ^ к,п ^(х) =

о.

Таким образом, равномерность х e [о, л] в (2.4) установлена.

Вновь, сделав замену переменных (2.7) как в доказательстве теоремы 2.1, убеждаемся в равномерности сходимости (2.5) и (2.6).

Теорема 2.3 доказана.