О динамическом деформировании вязкоупругой двухкомпонентной среды

Распространению упругих волн в двухкомпонентных средах посвящены работы [1-3], в которых изучаются стационарные и нестационарные волны.

Систему уравнений движения двухкомпонентной среды в перемещениях для одномерного случая запишем в виде [1]:

г         2     —'   Х"г21          -— I          . г2

[712° + 6712G I a + i— I ]C1 + [y22-+

I

+ ⁷2₂ G ² 1 a + i ^- I ] C ₂ — 0

V       c J

Здесь

p

7 ц —-

11 _H

–

упругий оператор,

а2 и111   „а2 и(2)        а2 и111        д2 и |2> p 1й+Q x— £1 ~а?"+ р12 ~

~

Q ^~

H

и

~

R ^~

— - оператор коэффициентов

д ² и ^{( 1 )}     _Dd² и ^{( 2 )}         д ² и ^{( 1 )}         д ² и ^{( 2 )}

Q--+ R--= £2--+ Р22--V дX2        дX2      12 дt2      22 дt2

где ц - модуль сдвига; Q = (1 - m)R o , R = mR o , m - пористость, R o - модуль сжимаемости жидкости; p i2 - коэффициент динамической связи твердой компоненты и жидкости; p ii = p i -p i2 , Р 22 = p 2 - p i2 ; p ii и P 22 - плотности компонент; t - время.

Индексы в круглых скобках относятся: 1 - к вязкоупругой компоненте, 2 - к жидкости.

Запишем систему (1) в безразмерной форме:

Q и R .

Решая однородную систему (4), получим

Г     - 1

биквадратное уравнение относительно I a + i — I : V       c J

1          ^— I

~ "11722 ^- < ~ 12 ) G I ^{a +} i- I ^{+ (} / 11 < ~ 22 ⁺ Y 22 ~ 11 ^-

V       c J

~      2 1        • ^— I           4 zx

2 / 12 7 ^12 ) G | a + 1— I + a— — 0,       (5)

^{a —} Y 11 Y 22 ^- Y 1²2

(      ~,2   ( 1 )            д2   ( 2 ) Л           д2   ( 1 )           д2   ( 2 )

„ ₂1 д W      д и ’ I      д и ¹     д и ’

G ^I 7 +           I Y + Y

I ¹¹   дx ^{2      12}   дx ²  J         дt ²           дt ^{2   (2)}

Упругий оператор ~_и выразим через

ядро последействия Абеля, который в пространстве Фурье выражается формулой (4):

( Я 2/ у(1 )           Я²/ /( 2 )^          Я²/ 7(1 )           Я²/ 7(2 )

2      д и         д и          д и        д и

^{G I 7} 12 - 2 ^{+ 7} 22 _я 2 I ^{— Y} 12        ^{+ Y} 22 я,²

V     д x          д x    )       д t          д t

~ 11 ^{( - )—} 1

^{1 +V} P

( i —т ) Y

Здесь:

H ^— д ⁺ 2 ^{Q +} R , р — р ₁₁ + 2 р ₁₂ + р ₂₂,

G ² — Я/ р ,

-Q     R

¹¹ H ’    ¹² H ’     ²² H ’

v p — J ^r J^ ,  0 <  Y ^ 1

J №

у = £ 11  у =£ 11

/ 11            ,     / 12

рр

у = £ 22

/ 22

£

Решение системы (2) будем искать в виде затухающих волн:

где т - время ретардации, ю - частота, J « - не-релаксированное значение податливости; J o -релаксированное значение податливости; y -параметр дробности, учитывающий структурные изменения, связанные с различными видами обработки и эксплуатации материалов. Операторы ^— ₁₂ и ~₂₂ в данной задаче равны ко

, ,           i — t -I a + i— I x        , .           i — t -I a + i— I x

и ^{( 1 )} — C e ¹ c ¹ ,   и ^{( 2 )} — C ₂ e   ¹ c ^J , (3)

где C i ( i =1,2) - амплитуда волн; a - коэффициент затухания; с - скорость волны; ю - круговая частота; i - мнимая единица ( i — £-1); t - время; х - координата.

Подставим значения и ⁽¹⁾ и и ⁽²⁾ в систему (2), получим:

эффициентам 7 ,₂ и 7 ₂.

С учетом (6) уравнение (5) запишем в виде:

О ⁴

( Y 1 - i Y 2 ) G I a + i —I + ( Г 1 + ir 2 ) •

V       c J

1          — I

• G — \ a + i — I + a— — 0

V       c J

Г 1

г       2     —      21         • ^° I 1        г       2

[ У н — + о*_nG I a + i — | ] C + [ уц— + V       c J

d ₁

+ ^ G ² 1 a + i - I ] C ₂ — 0       _ш

I       c J                    ⁽⁴⁾

^— Y 11 ⁷ 22 ⁺ Y 22 d 1   2 Z 12 ⁷ 12 ,

Г 2 ^— Y 22 d 2

^— k [ ^{( —} r у ^{+ v} „ c^os sr ,

1..   • ny d2 — —Vs, sin — 2 k p 2

k = J ^

^(ют^ + V cos ^Y + ^ °^{) -Y}

- тангенс угла механических потерь

Y - = ^ 22 d 1 - ^   Y 2 = О" d 2

tg Ф 2 =

Г - ±

Для получения характеристик звуковых ²

I         ю ]

волн разделим (7) на l a + z — I и введем обо- l       c J

r cos ¹ 1₂

Коэффициент затухания звуковых волн можно выразить через скорость распространения волны, используя (14):

значение:

* z

ю ф a = tg 2           (17)

с 2

где z - комплексное число.

Тогда (7) сводится к квадратному уравнению относительно z * :

аю⁴ z *² + ( Г 1 + 1Г ₂ G² о ? z * + ( / _- + z / ₂ ) ⁴ = 0 (9)

Из (9) находим:

^z ’ = ^- T G 2 ⁽ b - ⁺ ib 2 )        ⁽¹⁰⁾

2aю b, = Г, ± Л/Г cosф, b = Г ± л/Г sin ф 11  1     22  1

Рисунок 1. Зависимость скорости распространения звуковых волн от температуры

2    2"              a              п r- = V а- + а 2, ф- = arctg -2, 0 < ф- < — a2

а - = Г -2 - Г 22 - 4 ау - ,  а 2 = 2 ( Г - Г_г - 2 a_Z 2 )

Из (10) следует, что в двухкомпонентной среде существует два типа звуковых волн.

Отсюда с учетом (8) имеем:

_ . о .   2ао2 г—— а + ic " ‘\G2(b2 + b,2)ib2

ю  ю 2.а I  фф а + z =         l sin 2 + z cos 2 I c   G^ r2 l 2        2 J (12)

------ Г 2 ± T r - sin ^{ф -}

Г = a /b |2 + b22, Ф = arctg—, г- ± TT-cosф(13)

0 <  Ф <  ⁿ

Рисунок 2. Зависимость коэффициента затухания

Равенство (12) позволяет определить характеристики звуковых волн:

- скорость с = G^H^sec фг         (14)

V2 a     2             ^{v 7}

- коэффициент затухания

распространения звуковых волн от температуры

Рисунок 3. Зависимость тангенса угла механических потерь от температуры

a =

ю 2a . ф sin 2

Gr  2

На рисунках 1-3 показаны зависимости скорости, коэффициента затухания и тангенса угла механических потерь от логарифма температуры при следующих данных: J ∞ = 1, ν µ = 1, σ 12 = 0.05, σ 22 = 0.5, γ 11 = 0.9, γ 12 = -0.025,