Об одной математической модели электропотребления с учетом данных мониторинга

На производство и потребление электроэнергии оказывают влияние множество факторов. При построении модели в качестве объясняющих переменных рассмотрены номер наблюдения, длина светового дня, температура (для сопоставимости их масштабов нормируем электропотребление в 0,0001 раза), приведенные на рис 1.

Для анализа были использованы среднемесячные показатели за 3 года, приведенные в табл. 1 [1, 2].

Бытовое потребление электроэнергии, длина светового дня, температура

Таблица 1

Номер наблюдения (N)	Месяц	кВт.ч/10000 (Е быт. )	Длина дня, ч (L)	Температура, 0С (t)
1	2	3	4	5
1	Январь	510123	7,030	-20,7
2	Февраль	382345	9,083	-10,2
3	Март	400023	11,400	-3,5
4	Апрель	251288	14,012	4,0
5	Май	229338	16,356	10,2
6	Июнь	270146	17,983	18,1
7	Июль	251154	17,639	17,6
8	Август	166987	15,706	16,6
9	Сентябрь	273114	13,217	10,3
10	Октябрь	292400	10,728	-1,0
11	Ноябрь	355809	8,267	-14,3
12	Декабрь	532584	6,683	-17,0

Окончание табл. 1

1	2	3	4	5
13	Январь	523887	7,030	-23,4
14	Февраль	399125	9,083	-13,7
15	Март	392113	11,400	-5,3
16	Апрель	313420	14,012	6,2
17	Май	260102	16,356	15,1
18	Июнь	205578	17,983	22,0
19	Июль	121214	17,639	21,5
20	Август	249374	15,706	23,2
21	Сентябрь	378690	13,217	14,3
22	Октябрь	634957	10,728	9,2
23	Ноябрь	729843	8,267	-5
24	Декабрь	880214	6,683	-12,4
25	Январь	826095	7,030	-6,4
26	Февраль	627282	9,083	-4,1
27	Март	500250	11,400	1,4
28	Апрель	296211	14,012	7,1
29	Май	222954	16,356	18,4
30	Июнь	178092	17,983	18,6
31	Июль	171468	17,639	22,8
32	Август	208548	15,706	17,8
33	Сентябрь	293791	13,217	11,2
34	Октябрь	511710	10,728	2,63
35	Ноябрь	615869	8,267	-4,9
36	Декабрь	712594	6,683	-14,04

-5

-10

-15

-20

-25

19 часы

Температура

Длина дня

Рис. 1. Электропотребление, длина дня, температура

График потребления электроэнергии показывает, что оно происходит с некоторой периодичностью, связанной со сменой времени года, т.е. сезонностью. Для определения ее периода построим и исследуем периодограмму (рис. 2), значения которой вычисляются как

Pk = N ■ (Ak2 + Bk2 ), (k = 1-W (N = 36), где Аk – коэффициент при косинусе, а Вk – коэффициент при синусе на частоте k в разложении Фурье; N – количество наблюдений. Значения периодограммы можно интерпретировать как дисперсию (вариацию) данных на соответствующей частоте [3].

Рис. 2. Периодограмма

На ней присутствует отчетливый пик с периодом, равным двенадцати. Для определения тенденции потребления электроэнергии построим парную регрессию, зависящую от N по методу наименьших квадратов (рис. 3) [4, с. 62–64]:

Е = 30,6384 + 0,4713 ■ N ,      ( N = 1...36 ).

Рис. 3. Линейная регрессия

По наклону линии регрессии и по коэффициенту при N можно сказать, что потребление электроэнергии за рассматриваемый период имеет незначительную тенденцию к увеличению.

Произведем вычисление описательных статистик для потребления электроэнергии, приведенные в табл. 2.

Таблица 2

Среднее Е ср.	39,3575
Нижняя граница для среднего (-95 %)	32,6632
Верхняя граница для среднего (+95 %)	46,0517
Стандартное отклонение среднего ( o < )	19,7849
Стандартная ошибка среднего (SE)	3,2975
Минимум (E min )	12,1214
Максимум (E max )	88,0214
Медиана	33,4615
Асимметрия	0,8607
Эксцесс	-0,1035

Описательные статистики

Значение асимметрии показывает, что распределение сильно отличается от нормального (сдвинуто вправо). Это можно объяснить тем, что объем электропотребления растет из года в год. При этом график потребления электроэнергии не имеет резко выраженного пика (показатель эксцесса близок к нулю).

По графикам продолжительности светового дня и температуры видно, что между потреблением и температурой, а также длиной дня, присутствует отрицательная корреляция, т.е. при увеличении температуры или длины дня потребление снижается. Рассчитаем корреляции между этими величинами. Результаты приведены в табл. 3.

Корреляционная таблица

Таблица 3

Показатель	Потребление	Номер наблюдения	Длина дня	Температура
Потребление	1	0,2510	-0,8478	-0,6999
Номер наблюдения	–	1	-0,0228	0,1795
Длина дня	–	–	1	0,9349
Температура	–	–	–	1

Наиболее значимые корреляции наблюдаются между потреблением и длиной дня, температурой и потреблением, а также между температурой и длиной дня. Поэтому целесообразно включить в модель переменные – длину дня (L) и температуру (t). В то же время достаточно высокая корреляция между потреблением электроэнергии и температурой (около 70 %) возникает оттого, что температура и длина светового дня очень тесно коррелированны (R = 93,5 %), поэтому включение в модель одновременно этих переменных может привести к получению ненадежных оценок регрессии (мультиколлинеарности) [4, с. 155]. Также температура является случайной величиной, поэтому лучше включить в модель только длину светового дня (неслучайную величину).

В общем виде линейная регрессия примет вид (рис. 4, табл. 4):

• •    Регрессия 1: E = b + a 1 L + u ,                                                         (1)

где b – свободный член; a 1 – параметр; u – случайная составляющая.

Оценка параметров регрессии 1

Таблица 4

Параметр	b	a 1
	91,8001	-4,2491
Стандартная ошибка	5,8979	0,4557
t-статистика (df=34)	15,5650	-9,3235
p-уровень	0,0000	0,0000
Коэффициент корреляции (R)	84,78 %
Коэффициент детерминации (R2)	71,88 %
Скорректированный коэффициент детерминации (R a 2)	71,06 %
Сумма квадратов отклонений (SS)	3851,98

По полученным результатам построим график:

E = 91,8001 - 4,2491 • L

.

Сформулируем нулевую гипотезу о том, что коэффициенты регрессии равны нулю, а затем попытаемся опровергнуть ее (для принятия гипотезы должно выполнятся неравенство: -t крит. < t < t крит. ). По значениям t-статистики можно сказать, что величины оценок свободного члена b и коэффициента a отличаются в действительности от нуля, так как их t-статистики не попадают в интервал [-t крит. < t < t крит. ] (критическое значение для t при 5-процентном уровне значимости с 34 степенями свободы равняется 2,032), что также следует из уровня значимости р (р < 0,05) [4, с. 97].

Хотя зависимость электропотребления от номера наблюдения невелика (25,10 %), для улучшения регрессии включим его в модель, тогда получим (рис. 5, табл. 5):

• Регрессия 2: E = b + a 1 L + a₂ N

Оценка параметров регрессии 2

Таблица 5

Показатель	b	a 1	a 2
Параметры	83,4217	-4,2226	0,4352
Стандартная ошибка	6,1652	0,4162	0,1560
t-статистика (df=33)	13,5310	-10,1456	2,7907
p-уровень	0,0000	0,0000	0,0087
R	87,89 %
R 2	77,25 %
Ra 2	76,58 %
SS	3113,50

Значения t-статистики и р-уровня показывают, что оценки параметров регрессии значимы на уровне 0,05. Коэффициент R2 увеличился примерно на 5,37 %, что связано с добавлением в уравнение дополнительной переменной N.

E = 83,4217 - 4,2226 • L + 0,4352 • N .

Электропотребление Регрессия (R2=77,25%)

Рис. 5. Регрессия 2

Уравнение регрессии можно интерпретировать следующим образом. При увеличении какой-либо независимой переменной на единицу, электропотребление увеличится (уменьшится) на величину коэффициента этой переменной. Например, при увеличении длины дня (L) на 1 ч и неизменном номере месяца (N) электропотребление изменится на -4,2226 (кВт.ч/10000).

При визуальном анализе графика электропотребления заметно его сходство с периодической функцией. Поэтому добавим в уравнение какую-либо из функций, например, такого вида: cos ( a - X + а ) или sin ( a - X + а ) , которую определим экспериментально (для регрессии (2) наилучшей является функция sin ( a - N ) ) (рис. 6, табл. 6). Тогда получим уравнение:

• •    Регрессия 3: E = b + а 1 L + а 2 N + а 3 sin ( а 4 N ) . (3)

  Е = 77,8461 - 4,2076 - L + 0,7273 - N - 10,6711 - sin ( 12,223 - N )

  

  Электропотребление

  Регрессия 3 (R2=90,04%)

  
  

Оценка параметров регрессии 3

Таблица 6

Показатель	b	a 1	a 2	a 3	a 4
Параметр	77,8461	-4,2076	0,7273	-10,6711	12,2230
Стандартная ошибка	4,3325	0,2855	0,1170	1,7669	0,0078
t-статистика (df=31)	17,9679	-14,7396	6,2154	-6,0394	1574,0656
p-уровень	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
R	94,89 %
R2	90,04 %
Ra 2	89,75 %
SS	1364,15

Рис. 6. Регрессия 3

Одновременно с этим электропотребление носит нелинейный характер, поэтому преобразуем независимые переменные, возведя их в некоторую степень n . (рис 7, табл. 7). Модифицированное уравнение будет выглядеть следующим образом:

Регрессия 4: E = b + a 1 Ln ¹ + a 2 N^{n 2} + a 3 sin l a 4 N^{n 3}

Электропотребление Регрессия (R2=92,29%)

Оценка параметров регрессии 4

Таблица 7

Показатель	b	a 1	a 2	a 3	a 4
Параметр	222,0121	-131,7167	24,9494	10,9948	0,3448
Стандартная ошибка	14,3706	7,5532	3,4317	1,5016	0,0060
t-статистика (df=31)	15,4491	-17,4385	7,2703	7,3218	57,8154
p-уровень	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
n1	0,22300
n2	0,22306
n3	1
R	96,07 %
R 2	92,29 %
R a 2	92,07 %
SS	1056,01

E = 222,0121 - 131,7167 • L’²² 2 + 24,9494 • ^ °’²²³⁰⁶ +10,9948 • sin ( 0,3448 • N )

Рис. 7. Регрессия 4

В результате включения в регрессию (2) функции синуса и преобразования переменных коэффициент R² вырос на 15,04 % (R a ² – на 15,49 %). Оценки параметров регрессии значимы на уровне 0,05, и мы получили достаточно высокое значение коэффициента детерминации.

Теперь проверим, превышает ли R² то значение, которое может быть получено случайно. Для этого проверим, является ли значимой совместная объясняющая способность k (k =2) независимых переменных при помощи F-теста (т.е. выполняется ли условие F > F крит. ):

F =

= 197,57; .

Критический уровень F с 2 и 33 степенями свободы при уровне значимости в 1 % составляет 5,31. Таким образом, F-статистика, равная 197,57, указывает на значимый уровень объяснения [4, с. 160].

Для того чтобы модель была адекватна описываемым данным, должны выполняться четыре условия Гаусса-Маркова [4, с. 80–81]:

• -    математическое ожидание остатков равно нулю;

• - дисперсия остатков в каждом наблюдении постоянна (гомоскедастична);

• - отсутствие автокорреляции остатков;

• - остатки должны быть распределены независимо от объясняющих переменных.

Так как большой проблемой при моделировании временных рядов является проблема автокорреляции остатков, то первым проведем тест на ее наличие.

В регрессии (1) количество объясняющих переменных равно единице (k = 1) и статистика Дарбина-Уотсона (d крит. ) равна 0,47 при верхней границе (D U ), равной 1,32, и нижней границе (D L ), равной 1,21, при уровне значимости в 1 %. Значит, можно сделать вывод о том, что остатки положительно коррелированны (d крит. < D L ) и модель будет неадекватной. То же можно сказать и о регрессии (2), в которой имеется две объясняющих переменных, d крит. = 0,58, а D U = 1,38 и D L = 1,15 (d крит. < D L ).

Модели (3) и (4) содержат две объясняющих переменных. Для третьей модели d крит. = 1,16, для четвертой – d крит. = 1,29 находятся между нижней и верхней границами (1,15 < d крит. < 1,38). То есть мы не можем ни подтвердить, ни отклонить гипотезу о наличии автокорреляции.

Это можно заметить по графикам автокорреляционных функций остатков (рис. 8) [4, с. 221].

Regress 1

Regress 2

Regress 3

Рис. 8. Автокорреляционные функции остатков регрессии (1),(2),(3) и доверительные интервалы

Так как регрессия (4) более точно соответствует наблюдаемым данным, то проверку выполнения остальных трех условий Гаусса-Маркова сделаем только для нее.

• •    Первое условие о том, что математическое ожидание остатков равно нулю, выполняется автоматически, так как если в уравнение регрессии включен постоянный член, то он ''компенсирует'' систематические смещения остатков.

• •    Гипотезу о том, что дисперсия остатков в каждом наблюдении постоянна, проверим с помощью теста Голдфелда-Квандта. После его проведения мы не отклоняем ее при однопроцентном уровне значимости [4, с. 207–208].

• •    Четвертое условие Гаусса-Маркова о том, что остатки должны быть распределены независимо от объясняющих переменных (или более сильное предположение, что объясняющие переменные не являются

стохастическими) также выполняется автоматически, так как в модель включены переменные, не имеющие случайную составляющую.

Наряду с условиями Гаусса-Маркова обычно предполагается нормальность распределения остатков. Проверим это с помощью исследования показателей асимметрии (S), эксцесса (K) и их стандартных ошибок ( σ _S , σ _K ), (табл. 8).

Показатели асимметрии, эксцесса и их стандартные ошибки

Таблица 8

Показатель	Значение	Стандартная ошибка
Асимметрия	-0,3027	0,3925
Эксцесс	-0,5667	0,7681

При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса равны нулю и по расчетам видно, что по абсолютной величине они имеют тот же порядок, что и их ошибки. Следовательно, ни одна из полученных величин не значима и гипотеза о нормальном характере распределения принимается [3, с. 134]. Это также видно по стандартному нормальному вероятностному графику (рис. 9).

Рис. 9. Стандартный нормальный вероятностный график остатков регрессии 3

Заключение. Модель (4) достаточно адекватна, и ее можно использовать для описания потребления электроэнергии.