Закономерности термообработки вязких продуктов в пластинчатом скребковом аппарате

Пластинчатые скребковые аппараты широко используются для термообработки вязких пищевых продуктов. Закономерности термообработки были изучены в пластинчатом аппарате скребкового типа.

Рис. 1. Основные детали теплообменного элемента: 1 – сварная теплообменная пластина; 2 – уплотнительное кольцо; 3 – нож-мешалка

Основной частью скребкового аппарата является теплообменный элемент (рис. 1). Он представляет собой конструкцию из двух соосных сварных теплообменных пластин 1 вместе с лопастным ножом-мешалкой 3.

Набор последовательно соединенных теплообменных элементов образует теплопередающую поверхность аппарата для нагревания или охлаждения высоковязкого продукта. Внутри охлаждающего элемента поток продукта принудительно закручивается с помощью крестообразных вращающихся лопастей ножа-мешалки, захватывающих практически все пространство между дисками.

Продукт поступает в пространство между дисками как из центрального отверстия, так и из отверстий, расположенных на периферии дисков. При этом лопасти могут вращаться как по отношению к неподвижным дискам, так и совместно с одним из дисков по отношению к другому неподвижному диску.

Траектория течения продукта внутри теплообменного элемента сложная. В связи с этим изучение распределения температуры продукта в теплообменном элементе проведено на основе дифференциальных уравнений теплопереноса в движущихся жидких средах.

показана на рис. 2.

Рис. 2. Расчетная схема: 1 - теплообменные пластины; 2 - продукт; D0 - размер, ограничивающий продуктовую зону; D1 - диаметр входного отверстия; D2 - диаметр, на котором расположены выходные отверстия; Р 1 -давление продукта на входе в теплообменный элемент; Р2 - давление продукта на выходе из теплообменного элемента; T 0 - температура продукта; Т 1 - температура пластины 1; Т 2 - температура пластины 2

Для определения радиальной скорости воспользуемся дифференциальным уравнением стационарного осесимметричного течения несжимаемой вязкой жидкости, полагая в нем коэффициент вязкости µ и плотность продукта ρ не зависящими от температуры для данной пары дисков (охлаждающего элемента)

- L +1 др = r р д r

Данные уравнения записаны для цилиндрической системы координат при осесимметричном распределении температуры без учета диссипации энергии дT    дT   (д2 T  1 дT  д2 T)

vr     + vz= a\ 2- ++   2- I, дr      дz    l дr2   r дr   dz2 )

где T – температура в точках продукта, оС; r, z – цилиндрические координаты точки продукта;

v_r , v_z - проекции скорости точек продукта на оси r, z ; а – коэффициент температуропроводности, м ² /с.

Полагаем, что осевая скорость продукта vz значительно меньше радиальной vr и окружной vL скоростей, поэтому в уравнении

(1) положим

определения течении в

д T v — ~ о. Расчетная схема для z дz температуры продукта при его продуктовых каналах аппарата где p – давление в точках продукта, Па; ν -коэффициент кинематической продукта, м2/с, равный

Ц v = —.

Р

Учитывая принудительное продукта, примем, что его угловая вязкости вращение скорость

равна угловой скорости to вращения лопастей, т. е.

д2 v   1 д vr д2 v, г +    - + r д r2   r д r   дz2

-

vr

,(2)

v L « to r .

В силу этого два слагаемых в левой части уравнения (2) можно представить в следующем

искомых функций. Решив эти уравнения,

найдем

виде: 2

- v^. + 1 d p = 1 d P ,      (4)

r p 9r p dr где Р - модифицированное давление, Па.

Модифицированное           давление

У ⁽ z ) =

^ ^{( z} ) =

P i - P 2

R ^, u ln—

R 2

P ₁ In R ₂ — P ₂ In R₁

представляет разность между истинным давлением продукта и давлением, которое было бы в нем только при его вращении с угловой скоростью [1]. Оно равно

P = p - 2 pro ² r ² .

R ln 1

R 2

На основании (10) выражение для модифицированного давления (8) запишем в

виде

При условии постоянства расхода продукта через любое цилиндрическое сечение пространства между пластинами теплопередающего элемента будем искать решение уравнения (2) в виде vr = 1 f (z ).         (5)

r

_ , г _ . г

P ln-- P , ln —

1 _R 2 _R

P = 2 1

R ln ¹

.

R 2

Найдем двукратным интегрированием по z функцию f ( z ) из (6) с учетом (7) и (10)

Подстановка выражений (4) и (5) в (2) с учетом (3) дает

1 d P    1 /■„/ \

= -f ^{( z} ) ,       ⁽⁶⁾

U d r  r

f ( z ) = P — P-U ln R^ ^k

R 2

\

z _ + C z + c , (ii) 12

.                       7

где двумя штрихами обозначена вторая

производная по координате z .

Чтобы дифференциальное уравнение (6)

имело решение нужно

1 | P = ¹ ^ ( z ) .        (7)

U 8 r r

Интегрируя левую и правую части равенства (7) по координате r , получим для модифицированного давления выражение

P = ( u ln r > ( z ) + < ( z ) .               (8)

Для определения произвольных функций y ( z )   и ^ ( z )    воспользуемся граничными

где C1 , C2 - постоянные интегрирования, которые находятся на основании (5) из условия прилипания продукта к стенкам дисков z = 0, Vr(r,0) = 0, f (0) = 0; , (i2) z = h, Vr (r, h ) = 0, f (h ) = 0 ’ где h – расстояние между дисками. Подставив в равенство (11) граничные условия (12), найдем

C =— h , C = 0.    (i3)

Наконец, на основании (11) и (13) выражение радиальной скорости (5) примет вид

условиями

r = R 1 , P = P i ;

r = R 2 , P = P 2 ,

„ = -Ti^ P 2_ 1(_z2. r 2 u ln R i r (

R 2

Выразим радиальную секундный расход продукта

скорость через q , используя

где Р 1 – модифицированное давление на входе продукта в междудисковое пространство; Р 2 – модифицированное давление на выходе продукта. Эти давления равны

P = ^p i ^— 2 ^p® R i ,

формулу для расхода q = 2^rjv dz • Подставив 0r сюда выражение vr из (14) и интегрируя его по

^P2 = ^p 2 2 ^P® R 2 ’

где р 1 , р 2 – истинные давления продукта во входном и выходном сечениях.

Подставив граничные условия (9) в равенство (8), получим систему двух алгебраических уравнений относительно

координате z , находим

P — P 2 _ 3 q .     ⁽ⁱ⁵⁾

------— —--—

2 u ln R ^{i    n h}

R 2

Таким образом, с учетом (15) выражение радиальной скорости (14) примет вид

vr

3 q 1

n h ³ r

Перейдем к определению температуры в т        5 T л продукте по уравнению (1) с учетом v —® 0.

z d z

Для этого подставим в левую часть данного уравнения выражение радиальной скорости из (14) или (15) и разделим его левую и правую части на коэффициент температуропроводности а . После этого получим

--^ ¹ ( z — hz )T =

2ца In R r          ^r

R 2

d ² t 1 e t e² t

+1 . d r ² r dr   8z ²

Поскольку точного аналитического решения данного уравнения получить нельзя, воспользуемся приближенным решением, заключающимся в частичном осреднении его конвективной части по области течения и использовании метода последовательных приближений. Для этого в левой равенства (16) положим

P - P 2

R

2 ц a ln—^L

R 2

¹ ( ² 2 — ^hz )f ” r         /5 r

1 d T 1 » P i - P ₂ ( _z 2 r 8 r h oi , R '

0 2 ц а ln—¹ R 2

- hz ) dz =

=-< P z P E .1 ”.

n , R r 8 r

12 ц а ln—¹ R 2

Введем обозначение

.     ( P - P 2 ) h 2

A =^- R

12 ц а In —

R 2

или с учетом (15)

A =        -

2 nha части

(18 ^* )

В дальнейшем для практических расчетов будем использовать формулу (18 ^* ), поскольку расход продукта может быть определен гораздо точнее, чем разность модифицированных давлений, т.к. в эту разность войдут потери давления на различные вредные сопротивления.

Подстановкой соотношения (17) с учетом (18) или (18 ^* ) в левую часть уравнения (16)

придем к однородному уравнению теплопроводности d T+1 dT(1 - A)+^L = 0. (19)

6r ² r dr          dz ²

Данное уравнение решаем при следующих граничных условиях:

r = R 1 , T = T^ z = 0, T = T 3 , z = h , T = T 4

где T3 и T4 - температура продукта на стенках дисков.

Решение линейного уравнения (19) найдем методом разделения переменных, добавив к его общему решению частное решение специального вида. Для этого положим T ( r , z ) = R ( r ) . Z ( z ) + T 3 + z ( T ₄ - T 3 ) .      (21)

h

Подстановкой этого выражения T в (17) и разделением переменных получим для функций R ( r ) и Z ( z ) обыкновенные дифференциальные уравнения

Z " + Я² Z = 0,          (22)

rR " + R ' ( 1 - A ) - Я rR = 0. (23) где Я² - константа разделения.

Решение уравнения (22) имеет вид

Z ( z ) = C ₁ cos Я z + C ₂ sin Я z . (24)

В силу двух последних граничных условий (20) и выражения (21) функция Z ( z ) должна обращаться в ноль при z = 0 и z = h . Отсюда следует

C = 0, Я = — , k = 1,2,...® ,(25) h т. е. общее решение уравнения (19) будет представлено рядом Фурье по синусам.

Уравнение (23) является уравнением Бесселя произвольного порядка, зависящего от константы А . Поскольку такие функции не табулированы, то дальше будем решать уравнение (19) методом последовательных приближений. Для этого проведем оценку порядка слагаемых в этом уравнении, приведя его к безразмерному виду. Напишем соотношения между размерными и безразмерными величинами

T = T0 T', r = R0 r', z = hz', где T0 - характерная размерная величина искомой функции; T' - безразмерная искомая функция; r - безразмерная радиальная координата; R 0 - характерный радиальный размер; z' - безразмерная осевая координата. В качестве характерной осевой координаты взято расстояние h между дисками.

Перейдя в уравнении (19) к безразмерным величинам, получим h2 d2T' (1- A)h2 j_ dT' ё2Г_ R2 Ir'2"+ R2 r7 "ёй ^"dz^

Таким образом, в безразмерном уравнении (26) порядки слагаемых будут определяться только порядками коэффициентов в этих слагаемых. Для оценки порядка этих коэффициентов примем следующие порядки конструктивных параметров охладителя и обрабатываемого продукта:

h ~0,01м , R ₁~0,01м , R ₂~0,1м ,

- Т 3 - z ( Т 4 - Т 3 ) = h

да

Z С к в

^{к 2} п ² 2

R

2 Ah ^{2 1}

к =1

■ к п sin     z.

h

Используя формулу для определения коэффициентов ряда Фурье на интервале 0 <  z <  h , найдем

q ~ 10 ⁴ м 3 / c, ^ ~ 1 Па ■ с, a ~ 10 ⁶ м²/c.

Коэффициент А во втором слагаемом, согласно (18 ^* ) будет иметь порядок 10 ⁴ , т. е. А >>1. Коэффициент в последнем слагаемом уравнения (26) имеет порядок 1. Принимая во 22

внимание, что h <<  Ah ~ 1 , оставим в R 0²       R 0²

уравнении (26), а значит и в уравнении (19) два последних слагаемых. На этом основании уравнение (19) для нулевого приближения при условии А >>1 примет вид

^{к 2 п} 2 _Л2

R

2                         2 Ah ^{2 1} (32)

C, =— Т - T - Т - Т_л cos к п в Л ' ^к к п L 1 ³ И 4/ J

Таким образом, распределение

Решим

разделения решение в

A d Т

r dr

a2 т n

+— =o o . d z ²

уравнение переменных,

методом

представив его

виде (21). После разделения

переменных для функций R ( r ) и Z ( z ) получим обыкновенные дифференциальные уравнения

R*

R

я2

Ar,

и (22), решением которого будет функция (24) при значениях констант (25). Решение уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (28) запишем в виде

- ^L r ²

R ( r ) = C з в ² A ,

где С ₃ - постоянная интегрирования. Таким образом, на основании (21), (24), (25) и (29) получим решение уравнения (27) в виде ряда

к ² п ²

X

T ( r , z ) = Z С к в ² Ah к =1

■ кп .

sin— z + h

+ Т з + z ( T ₄ - T 3 ) , h

где С к = С ₂ С ₃ и индекс к показывает, что эта константа будет зависеть от номера к собственных чисел Я из (25).

Найдем постоянные интегрирования С_к , используя первое граничное условие (20), т. е. Т ( R 1 , z ) = Т 1 . На основании этого условия и соотношения (30) получим уравнение для определения С_к :

температуры в пространстве между дисками в нулевом приближении на основании (30) и (32) примет следующий вид:

1                                                         ( R 2 - r 2 )

2 " ГЕ Т - Т 3 - ( Т 1 - Т 4 ) cos к п ] в ² Ah      х

Т ( r , z ) = -Z ^- '                      "

^к * xsin —2 + Т + z(T ₄ - T ).

h ³ h ^{( 43} )

Для нахождения первого приближения решения уравнения (24) подставим найденное решение нулевого приближения в ранее отброшенное слагаемое ^d 2 ^T этого уравнения.

d r²

После этого придем к неоднородному линейному уравнению в частных производных:

A 8T d ² T

1= r dr d z z"

2п «V T - T 3 - ( T 1 - T 4 )'

—2 Z к

Ah к = 1 cos кп

2 2 x k^ 2 2,

1 к п ₂ I 2 A hRR ^{1 r} ) ■ кп

1-- _r re ² A ^h      sin— z .(33)

Ah ²    J                h

Будем искать решение этого уравнения в таком же виде, как и решение уравнения (27) нулевого приближения, т. е.

^{T ( r} , ^z ) =

«                    z             (34)

= Z Fk ( r ) sin --z + T 3 - -( T 3 - T 4 ) , к = 1             h           h

где   f_- ( _r ) - неизвестная пока функция,

зависящая от координаты r и номера к собственных чисел Я из (25). Подстановкой выражения т ( _r , _z ) из (34) в левую часть уравнения (33) и приравниванием коэффициентов при sin ^{k п} _z в левой и правой h

частях уравнения (33) получим обыкновенное линейное уравнение первого порядка относительно функции F ( r ) .

A dF, k ² n ² „

'       Fk rdr h2

с * = - k | T - T 3 - ( T - T 4 ) cos k n ] x

= - Ah [ T — T — ( T — T 4 ) cos k n ]x

x

+ R i

k n 4

R

A k 2 n l R ² e ^{2 Ah} 2

.

x

1 -

k П2

Ah ²

^{k n} 2

2 I Ph?R¹- r ) r I e

Решением этого уравнения является функция

^Fk ( r ) = -S[ T - ^T 3 - ( T i - T 4 ) cos k n ]x

Подставив данное выражение С к в правую часть равенства (36), приведем его к виду

k n ₄

4 Ah ²

^{k 2 n 2} , „2   2,

k ² П ² 2 ^r + C * e ^{2Ah 2}

T ( r. z ) = тг ” f                                    -iT             к2 тт2                   A2 h2 1

= - -272 Z 1 ^k I T i - T 3 - ( T i - T 4 ) cos kn 1 r ² - ^R 2 - --^ ( r ² - R i⁴ ) -        lx

A h k = 1 I                             ^          2 Ah              k n ]

+ T 3 - z ( T 3 - T 4 ) -                       (37)

h

^{k 2 П 2} (П2 _r2 x e "A^ ( R ¹ - r

. kn sin z h

C *

k

- постоянная интегрирования.

На основании (34) и (35) имеем

П

^T ( ^r > z ) = - ДТ^ 1 ^k [ T ^- T 3 ^- ( T ^- T 4 ) ^{cos k n} ]|

w

A ² h ² k = 1

- k ² П ² r 2 1

+ C * e ^{2 Ah}2^r [ sin k n z + T 3 - z ( T 3 - T 4 ) . I h h

1 k n 4¹ • 'r^r 4 e'

2 Ah ² 1

^{k 2} » ² ,„2 j, , 2 A ?⁽ R ¹ - r )

Постоянную интегрирования C k * находим так

же,

как

и

постоянную

С к

для нулевого

приближения, т. е. из условия T ( R ₁, z ) = T ₁.

Точно так же, как и в равенстве (31), получим разложение функции, стоящей в левой части этого равенства в ряд Фурье по синусам. Из формулы для определения коэффициентов этого

ряда находим:

+

Формула (37) представляет решение уравнения (19) при граничных условиях (20) в первом приближении. Эта формула может быть применена для расчета температуры продукта как при центральном, так и при периферийном способе подачи в пространство между дисками. В первом случае R ₁ <  R 2 , P₁ >  P₂ , а во втором случае наоборот R ₁ >  R 2 , P ₁ <  P ₂ .